5.3.2 极值与最值（精讲）
考点一 极值
【例1】（2022·江西）已知函数
(1)求在处的切线的方程.
(2)求的单调区间和极值.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的驻点，并判断其是不是极值点，若是，求出对应的极值；若不是，请说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)．
2．（2022·浙江·高二期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．
考点二 已知极值求参数
【例2-1】（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．
【例2-2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）函数的极大值是_______
2．（2022·全国·高二课时练习）设函数的极大值为，极小值为，则__________．
考点三 最值
【例3】（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调性；
(3)求函数在上的最小值．
【一隅三反】
1．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最值．
2．（2022·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
考点四 已知最值求参数
【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
2．（2022·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．
3（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若在区间上的最大值为10，则在该区间上的最小值为______．
5.3.2 极值与最值（精讲）
考点一 极值
【例1】（2022·江西）已知函数
(1)求在处的切线的方程.
(2)求的单调区间和极值.
答案：(1)；
(2)增区间为，减区间；极大值为极小值.
【解析】（1）因为，故可得，
，，
故在处的切线的方程为：，即.
（2）因为，
令，解得；令，解得；
则在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的单调增区间为，单调减区间，
且的极大值为的极小值为.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二课时练习）求下列函数的驻点，并判断其是不是极值点，若是，求出对应的极值；若不是，请说明理由．
(1)；(2)；(3)；(4)．
答案：(1)函数的驻点为和；是极值点；极大值为，极小值为．
(2)函数没有驻点；无极值点；无极值；因为在R上恒成立，所以没有驻点．
(3)函数的驻点为和；是极值点； 极大值为，极小值为．
(4)函数的驻点为；是极值点；无极大值，极小值为．
【解析】（1）解：由题意得，，
令，即，
解得或，
即函数的驻点为和．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x 3
0 0
极大值 极小值
∴是的极大值点，且极大值为；
是的极小值点，且极小值为．
（2）解：由题意得，，
令，即， 方程无解，
在R上恒成立，函数没有驻点，无极值点，无极值．
（3）解：由题意得，函数的定义域为R，．
令，即解得或，即函数的驻点为和．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x 1
0 0
极小值 极大值
∴是的极小值点，且极小值为．
是的极大值点，且极大值为．
（4）解：由题意得，函数的定义域为，，
令，即，解得或（舍去），即函数的驻点为．
当x变化时，，的变化情况如下表：
x
0
极小值
∴是的极小值点，且极小值为，无极大值点．
2．（2022·浙江·高二期中）已知函数，满足．
(1)求实数a的值；
(2)求的单调区间和极值．
答案：(1)
(2)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
【解析】（1）由题意，，又，解得
（2）由（1），且为增函数.
令可得，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.故在处有极小值，无极大值.
综上单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值.
考点二 已知极值求参数
【例2-1】（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）函数的极大值与极小值分别为和，则____．
答案：
【解析】，
在区间递增；在区间递减.
所以是的极大值，即，
是的极小值，即，
所以.故答案为：
【例2-2】（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知函数有极值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
【解析】由题意知，定义域为R，，要使函数有极值，则必有两个不等的实根，
则，解得.
故选：D.
【例2-3】（2022·山东泰安·高二期末）已知函数在x=1处取得极值3.
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.
答案：(1)(2)
【解析】（1），
因为在处取得极值3，所以，即，
解得.，经验证，满足题意，所以
（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.
由（1）知，令，解得或.
当变化时，的变化情况如下表所示：
1
0 0
单调递增 3 单调递减 单调递增
因此，当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为.
作函数图象如下：
所以实数的取值范围是.
【一隅三反】
1．（2022·陕西）函数的极大值是_______
答案：
【解析】由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数有极大值，
极大值为：
故答案为：
2．（2022·全国·高二课时练习）设函数的极大值为，极小值为，则__________．
答案：
【解析】，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值；极小值，
，，.故答案为：.
考点三 最值
【例3】（2022·陕西·西安中学高二期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调性；
(3)求函数在上的最小值．
答案：(1).
(2)当时，单调递减；当时，单调递增.
(3)答案见解析.
【解析】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）由题意得，因为恒成立，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
（3）由（2）得，①当时，在上单调递减，；
②当时，在单调递减，在单调递增，；
③当时，在上单调递增，.
【一隅三反】
1．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（文））已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最值．
答案：(1)；
(2)最大值为3，最小值为
【解析】（1）解：因为曲线在处的切线方程为所以．
又，所以，所以.
（2）解：由（1）可知，，
令，解得或，，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又，，，
所以函数在上的最小值为，最大值.
2．（2022·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线方程是，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值．
答案：(1)；
(2)最大值是，最小值是．
【解析】（1）由，得，
因为函数在点处的切线方程是，
所以，解得；
（2）由（1）知，，
令，得或，
当时，的变化情况列表如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
所以的极大值为，极小值为
又，
所以，当时，函数的最大值是，最小值是
考点四 已知最值求参数
【例4】（2022·全国·高二单元测试）已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．
答案：1
【解析】的定义域为，
，
当时，，在区间上递增，没有最小值.
当时，在区间递减；在区间递增.
所以在区间上的最小值为.
故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·全国·高二专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.
答案：1或
【解析】因为，，
当时，，所以是上的减函数，
函数无最小值，不符合题意；
当时，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
函数的最小值为，
由，得，解得或.
故答案为：1或.
2．（2022·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．
答案：
【解析】当时，，函数单调递增，且无最大值，
当时，，，
当时，，当时，，
当时，取得极大值也是最大值为，
要使有最大值，则，，
故答案为：．
3（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若在区间上的最大值为10，则在该区间上的最小值为______．
答案：
【解析】由题得．由可得或．
当时，，单调递减；当时，，单调递增
由，，，
可得，
故在区间上的最大值为，所以，
则在区间上的最小值为．
故答案为：-17.
