广东省深圳市2024年中考数学考前模拟预测试题（一）
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每题3分，共计30分）(共10题；共30分)
1．（3分）估计 的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）苏州红十字会统计，2004年苏州是无偿鲜血者总量为12.4万人次，已连续6年保持全省第一.12.4万这个数用科学记数法来表示是（ ）
A．1.24×104 B．1.24×105 C．1.24×106 D．12.4×104
4．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2 a3=a6 B．（a2）3=a5
C．a6÷a2=a3 D．（a2 b）2=a4b2
5．（3分）如图，在△ACB中AB=AC=6，BC=4.5，分别以点A、B为圆心，4为半径画圆弧，交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（ ）
A．10 B．6 C．10.5 D．8
6．（3分）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）
A．160钱 B．155钱 C．150钱 D．145钱
7．（3分）若多边形的边数由3增加到n(n为大于3的正整数)，则其外角和的度数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
8．（3分）西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（ ）
A．asin26.5° B． C．acos26.5° D．
9．（3分）二次函数 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若 ， 是图象上的两点，则
B．
C．方程 有两个不相等的实数根
D．当 时，y随x的增大而减小
10．（3分）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：
①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.
其中说法正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）(共5题；共15分)
11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy= ．
12．（3分）如图，一次函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A，B两点，点M在以C(4，0)为圆心，半径为2的 ⊙ C上，N是BM的中点，已知ON长的最大值为3，则k的值是
13．（3分）如果一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，那么数据a+99，b+100，c+101的方差将 S2（填“大于”“小于”或“等于”）.
14．（3分）如图，A、B两点是反比例函数y1＝ 与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝ 上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝ ．
15．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四边形BCED的面积为8，tanC=7，AC= .
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18，19，20题各8分，第21题9分，第22题10分，共55分。）(共7题；共48分)
16．（5分）计算：
（1）（1分）sin30°﹣ cos45°+ tan260°
（2）（1分）2﹣2+ ﹣2sin60°+|﹣ |
17．（7分）先化简，再求代数式的值，其中.
18．（8分）2015年3月3日到3月15日，两会在京矩形，雾霾防治问题受到国民的普遍关注，某报社决定以“对于雾霾，你最关注的话题是什么”为主题，通过街头随访和网络调查两种方式进行调查，根据调查所得数据绘制了表格．
最关注的话题 街头随访/人 网络调查/人 合计/人
雾霾是什么
120 200
雾霾治理 40%a 60%a a
雾霾中自我防护策略
600
其他话题
60
（1）参加本次街头随访和网络调查的总人数是多少人，a的值为多少；
（2）请你将以上表格中空白处补充完整；
（3）若在接受街头随访的人员中随机抽出一人，则抽到最关注“雾霾中自我防护策略”人员的概率是 多少？ ；
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即 ，BE交DC于点F，已知 ，求CF的长 .
20．（8分）某城市的一种出租车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付费10元)，达到或超过5km后，每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计)，现在某人乘这种出租车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路程大约是多少？
21．（2分）八年级下册，我们曾经探究过“一元一次方程、一元一次不等式与一次函数”之间的关系，学会了运用一次函数的图象可以解一元一次方程与一元一次不等式．例如：一次函数y=3x+2与x轴交点的横坐标是方程3x+2=0的解；一次函数y=3x+2在x轴上方部分图像的自变量取值范围是不等式3x+2>0的解集．
（1）（2.5分）【类比解决】
利用图像解下列方程或不等式．
Ⅰ.如图①，方程ax2＋bx＋c－m=0的解为 ；
Ⅱ.如图②，不等式kx＋b< 的解为 ．
（2）（2.5分）【拓展探究】
已知函数y1=|60－x|，y2=|120－x|．
Ⅰ.利用分类思想，可将函数y1=|60－x|先转化为 ，然后分别画出y1=60－x的图像x≤60的部分和y1=x－60的图像x＞60的部分，就可以得到函数y1=|60－x|的图像，如图③所示．请在图③所在的平面直角坐标系中直接画出y2=|120－x|的图像．
Ⅱ.已知min{m，n} =m（m≤n），例如：min{1，－2} =－2．若y=min{y1，y2}的图像为W，请计算图像W与坐标轴围成图形的总面积．
（3）（2分）【实际应用】
有一条长为600米的步行道OA，A是垃圾投放点w1，若以O为原点，OA为x轴正半轴建立直角坐标系，设B（x，0），现要在步行道上建另一座垃圾投放点w2（t，0），点B与w1的距离为d1=|600－x|，点B与w2的距离为d2＝|x－t|，d表示与B点距离最近的垃圾投放点的距离，即：d＝min{d1，d2}．若可以通过函数d的图像与坐标轴围成的总面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利．问：垃圾投放点w2建在何处才能比建在OA中点时更加便利
22．（10分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD.
（1）（3.5分）[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上.若AB＝1，求BC的长.
（2）（3.5分）[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作 交BD于点M，线段D′M与DM相等吗？请说明理由.
（3）（3分）[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】
=
=2+ ，
∵4<6<6.25，
∵2< <2.5，
∴4<2+ <5，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
2．【答案】B
【解析】【解答】A是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
C是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
故答案选B．
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义逐项判定即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】12.4万=12.4×104=1.24×105．
故选B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，计算错误；
B、（a2）3=a6，计算错误；
C、a6÷a2=a4，计算错误；
D、（a2 b）2=a4b2，计算正确．
故选D．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、除法法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则结合选项求解．
5．【答案】C
【解析】解：由题意得：EF是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=6，
∴DC+BD=6，
∵BC=4.5，
∴△BCD的周长为6+4.5=10.5．
故选：C．
【分析】根据作图方法可得EF是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，然后再利用等量代换可得DC+BD=6，进而可得△BCD的周长．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：C．
【分析】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：依题可得：
任何一个多边形的外角和为360°，
∴其外角和的度数不变.
故答案为：C.
【分析】多边形外角和的度数为360°，由此即可得出答案.
8．【答案】B
【解析】【解答】在 中，
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，利用tan∠ABC=，代入相应数据计算即得.
9．【答案】D
【解析】【解答】由函数的图象可知，二次函数 的对称轴为
则当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，选项D不符合题意
由对称性可知， 时的函数值与 时的函数值相等
则当 时，函数值为
，则选项A符合题意
又 当 时，
，即 ，选项B符合题意
由函数的图象可知，二次函数 的图象与x轴有两个交点
则将二次函数 的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数 与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根
即方程 有两个不相等的实数根，选项C符合题意
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
10．【答案】B
【解析】可设大正方形边长为a，小正方形边长为b，所以据题意可得a2=49，b2="4；"
根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正确；
因为是四个全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正确；
根据三角形面积公式可得S△=xy/2，而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积，所以4*（xy/2)+4=49，化简得2xy+4=49，式③正确；
而据式④和式②得2x=11，x=5.5，y=3.5，将x，y代入式①或③都不正确，因而式④不正确。
综上所述，这一题的正确答案为B。
11．【答案】xy（x+2）（x﹣2）
【解析】【解答】解：x3y﹣4xy，
=xy（x2﹣4），
=xy（x+2）（x﹣2）．
【分析】此多项式有两项，有公因式，先提取公因式，再用平方差公式分解即可。
12．【答案】
【解析】【解答】 过点A作AD⊥OC于点D，连接AM，当且仅当AM过点C时，AM才最大．由正、反比例函数的图象的交点关于原点成中心对称，从而OA=OB，又N是BM的中点，于是ON是△ABM的中位线，所以AM= 2ON．根据题意可知ON长的最大值为3，此时AM最大值为6，于是AC=6-2=4．令A(t，2t)，则CD=OC-OD=4-t，AD=2t，
由勾股定理，得(4- t)2+(2t)2=42，整理，得5t-28t=0，解得t1=，t2=0 (舍去)，
于是A(，)．
由双曲线y=过点A，得k= ．
故答案为．
故答案为．
【分析】连接AN，根据反比例函数性质，A、B关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段BM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当ON取得最大值时，AM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当A、C、M三点共线时，AM最大，为6，结合勾股定理进行分析。
13．【答案】大于
【解析】【解答】解：∵一组按从小到大排序的数据a，b，c的平均数是b，方差是S2，
∴ （a+b+c）＝b，
S2＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]，
∵数据a+99，b+100，c+101的平均数是： （a+99+b+100+c+101）＝b+100，
∴数据a+99，b+100，c+101的方差是：
[（a+99﹣b﹣100）2+（b+100﹣b﹣100）2+（c+101﹣b﹣100）2]
＝ [（a﹣b﹣1）2+（b﹣b）2+（c﹣b+1）2]
＝ [（a﹣b）2+1﹣2（a﹣b）+（b﹣b）2+（c﹣b）2+1+2（c﹣b）]
＝ [（a﹣b）2+（b﹣b）2+（c﹣b）2]+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]
＝S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]，
∵a＜b＜c，
∴b﹣a＞0，c﹣b＞0，
∴ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞0，
∴S2+ [2+2（b﹣a）+2（c﹣b）]＞S2，
故答案为：大于.
【分析】先根据平均数的定义即可得到 （a+b+c）＝b，进而即可计算出数据a+99，b+100，c+101的平均数是b+100，再运用方差的定义表示出两组数据的方差，最后比较大小即可求解.
14．【答案】
【解析】【解答】解：联立方程 ，
解得 ， ，
∴点A坐标为（﹣ ，﹣2 ），点B坐标为（ ，2 ），
∵A，B关于原点对称，
∴O为AB中点，
又∵AD＝BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CO⊥AB，
又∵AH⊥x轴，
∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，
∴∠OAH＝∠COH，
作CE⊥x轴于点E，
∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣ ，
∴点C横坐标为﹣3 ，
∵tan∠OAH＝tan∠COH＝ ＝ ＝ ，
∴CE＝ OE＝ ，
∴点C坐标为（﹣3 ， ），
∴k＝﹣3 × ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先联立方程求出点A的坐标，由AD=BD可得CO⊥AB，由OC=3OD得到点C的坐标，再通过tan∠OAH=tan∠COH，求出点C的坐标即可求解。
15．【答案】5
【解析】【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，如图：
∵tan∠ACB＝7，
∴，
设CM＝x，则AM＝7x，
∴AC＝＝AD，
∵∠ABM＝45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝7x，
∴BC＝BM+CM＝8x，
在Rt△BCN中，∠NBC＝45°，
∴△NBC是等腰直角三角形，
∴CN＝BC＝x，
∵∠AED＝∠ANC＝90°，AD＝AC，∠DAE＝∠CAN，
∴△DAE≌△CAN（AAS），
∴DE＝CN＝x，
在Rt△DAE中，AE＝，
∵四边形BCED的面积为8，
∴S△ABC﹣S△DAE＝8，
∴BC AM﹣DE AE＝8，
即×8x×7x﹣×＝8，
解得x＝或x＝（舍去），
∴AC＝．
故答案为：5．
【分析】过A作AM⊥BC于M，过C作CN⊥AB于N，设CM＝x，则AM＝7x，利用勾股定理得出AC的值，可得出△ABM是等腰直角三角形，△NBC是等腰直角三角形，证出△DAE≌△CAN（AAS），得出DE＝CN＝x，再由四边形BCED的面积为8，得出S△ABC﹣S△DAE＝8，代入求解即可。
16．【答案】（1）解：原式＝
＝
（2）解：原式＝
＝
【解析】【分析】（1）将特殊三角函数值代入，再按实数的运算顺序依次计算即可；（2）将特殊三角函数值代入，再按实数的运算顺序依次计算即可.
17．【答案】解：原式，
，
，
∵，
∴原式.
【解析】【分析】先将分式进行化简，再将x的值计算出后代入，即可求得.
18．【答案】解：（1）参加本次街头随访和网络调查的总人数是 2000人，a的值为 300；
（2）请你将以上表格中空白处补充完整；
街头随访/人 网络调查/人 合计/人
雾霾是什么 80 120 200
雾霾治理 40%a 60%a a
雾霾中自我防护策略 800 600 1400
其他话题 40 60 100
（3）若在接受街头随访的人员中随机抽出一人，则抽到最关注“雾霾中自我防护策略”人员的概率是 ；
【解析】【分析】（1）根据关注雾霾是什么的人数除以关注雾霾是什么所占的比例，可得调查总人数，根据调查总人数乘以雾霾治理所占的百分比，可得答案；
（2）根据调查总人数乘以雾霾自我防护策略所占的百分比，可得相应的人数，根据有理数的减法，可得其他话题人数，可得答案；
（3）根据街头随访中“雾霾自我防护策略的人数”除以街头随访的人数，可得答案；
19．【答案】解：∵D为AE的黄金分割点，∴∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，∴△BCF∽△EAB，∴ ，即 ，把AD= AE，AB= +1代入得， = ，解得：CF=2．
【解析】【分析】利用平行四边形的性质，去证∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，BC=AD，就可证得△BCF∽△EAB，利用相似三角形的性质，可得出对应边成比例，再将AD、AB的值代入，就可求出CF的长。
20．【答案】解：设甲地到乙地的路程大约是xkm，据题意，得
，
解得10＜x≤11，
即从甲地到乙地路程大于10km，小于或等于11km．
【解析】【分析】设甲地到乙地的路程大约是xkm，由题意知：行驶路程的车费应比17.2-1.2要大，但不能超过17.2元，据此列出不等式组并解之即可.
21．【答案】（1）x=-1或4；x<-1或0
Ⅱ. 看图可知：，
∴图像W与坐标轴围成图形的总面积=×60×60+×60×30=2700；
（3）解：∵ d＝min{d1，d2} =min{ |600－x| ， |x－t| }，
当d1=d2时，600－x=x－t，得x=0.5t+300，
∴，
∴d与坐标轴围成的面积，如图所示，
∴S=t2+（600-t）2=t2-300t+90000，
当t=300，S=×3002-300×300+90000=67500，
由题可知，S＜S（300）即t2-300t+90000<67500，
整理得：t2-300t+22500<0，
（t-100）（t-300）<0，
解得100
【解析】【解答】解：（1） Ⅰ.∵ax2＋bx＋c－m=0 ，
∴ax2＋bx＋c=m，
看图象可知：当x=1或4时，y=ax2＋bx＋c与y=m的图象有交点，
∴方程ax2＋bx＋c－m=0的解为：x=-1或4；
Ⅱ.一次函数kx＋b在y=下方部分图象的自变量取值范围是不等式kx＋b< 的解集，
∴x<-1或0
Ⅱ. 看图找出一次函数的图象在反比例函数的图象下方时自变量x的范围即可；
(2)、【拓展探究】Ⅰ. 根据题意利用分类思想画出函数图象即可；
Ⅱ. 先确定图象W的位置，然后分块求出两个三角形的面积，再可求出总面积；
(3)、【实际应用】根据题意可得，再根据图象表示出d与坐标轴围成的面积，结合中点的面积列出关于面积的不等式求解即可.
22．【答案】（1）解：如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴ ， ，
又∵点C'在DB延长线上，
∴ ，
∴ ， 即 ，
解得x1= ， x2=（不合题意，舍去），
即；
（2）解：D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵ ，
∴∠AD'M=∠D'AC'，
AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴ ，
∴∠D'AC'=∠ADB，
∴∠ADB=∠AD'M，
∵ ，
∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
（3）解：关系式为： ，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴ ，
∴∠MAD'=∠MAD， ，
∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
∵ ，
∴∠AD'M=∠NAP，
，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质以及矩形的性质可得AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，则D'B=x-1，证明△D′C′B∽△ADB，根据相似三角形的性质可得x的值，即BC的值；
（2）连接DD′，根据平行线的性质可得∠AD'M=∠D'AC'，证明△AC′D′≌△DBA，得到∠D'AC'=∠ADB，根据等腰三角形的性质可得∠ADD'=∠AD'D，推出∠MDD'=∠MD'D，据此证明；
（3）连接AM，易证△AD′M≌△ADM，得∠MAD'=∠MAD，∠AD′M=∠NDA，根据外角的性质以及角的和差关系得MN= AN，证明△NAP∽△NDA，然后根据相似三角形的性质进行解答.
