第18章《正比例函数与反比例函数》单元测试（培优提升卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列对反比例函数y＝的图象的描述，正确的是（ ）
A．与坐标轴有交点 B．有两支，分别在第二、四象限
C．经过点（1，3） D．函数值y随x的值增大而减小
3．点、点在正比例函数的图像上，当时，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
4．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中点（ ）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．
A．A B．B C．C D．D
5．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，则该函数图象经过的象限是（ ）
A．第一、三象限 B．第一、四象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
6．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用下面的一个函数图像近似地刻画，这个函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．如图，两个反比例函数y和y在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．无法计算
9．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程、都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②时，甲龙舟队处于领先位置；③当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距，其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
10．定义：表示不超过实数的最大整数例如：，，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）
A．函数的定义域是一切整数
B．函数的图像是经过原点的一条直线
C．点在函数图像上
D．函数的函数值随的增大而增大
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是双曲线y＝上的两点，当x1＞0＞x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是 ___ ．
12．已知反比例函数y＝﹣，当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ___．
13．函数y＝的定义域为 ___．
14．已知函数，那么________．
15．平面直角坐标系中，函数与函数的图象在第一象限相交于点，则___．
16．我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________．
17．用新买的50元5G电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t分钟（t大于等于3分钟），那么电话费用w（元）与时间t（分钟）的关系式可以表示为 _________________．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数的图象上，如果∠AOE＝45°，那么直线OA的表达式是_____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．）
19．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．
20．如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象．
（1）水池原有水_________；
（2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨；
（3）________小时把水排空；每小时排水________万吨．
21．已知y是x的反比例函数，且当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y值；
（3）当时，求x值．
22．（2021·上海·八年级期末）如图，已知直线OA与反比例函数的图像在第一象限交于点A．若，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
23．某药品研究所研发一种抗菌新药，测得成人服用该药后血液中的药物浓度（微克/毫升）与服药后时间x（小时）之间的函数关系如图所示，当血液中药物浓度上升（）时，满足，下降时，y与x成反比．
（1）直接写出a的取值，并求当时，y与x的函数表达式；
（2）若血液中药物浓度不低于3微克/毫升的持续时间超过4小时，则称药物治疗有效，请问研发的这种抗菌新药可以作为有效药物投入生产吗？为什么？
24．己知：如图，点在反比例函数的图像上，且点的横坐标为2，作垂直于轴，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）若、在该函数图像上，当时，比较与的大小关系．
25．如图，直线与函数的图象相交于点，与轴交于点，且，点是线段上一点．
（1）求的值；
（2）若与的面积比为2∶3，求点的坐标；
（3）将绕点逆时针旋转90°得到，点D/恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
26．如图，过直线上的点A作轴的垂线，垂足为点B（4，0），与双曲线交于点C，且点A、C关于轴对称．
（1）求该双曲线的解析式；
（2）如果点D在直线上，且是以AB为腰的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如果点E在双曲线上，且的面积为20，求点E的坐标．
答案
一、选择题．
1．D
【分析】
根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】
根据反比例函数解析式的三种形式：，，，其中；
A. 为正比例函数，错误；
B. 为正比例函数，错误；
C. 不是反比例函数，错误；
D. 是反比例函数，正确；
故答案选D.
2．C
【分析】
根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】
解：A、反比例函数y＝的图象与坐标轴无交点，故A错误；
B、∵k＝3＞0，
∴双曲线的的两个分支，分别在第一、三象限，故B错误；
C、∵1×3＝3＝k，
∴反比例函数y＝的图象经过点（1，3），故C正确；
D、∵k＞0，
∴函数值y在每个象限内随x的值增大而减小，故D错误，
故选：C．
3．B
【分析】
根据函数增减性即可求解．
【详解】
∵正比例函数中y随x增大而减小
∴当时，
故选B．
4．C
【分析】
根据正比例函数的定义知，函数值与自变量的比值为定值，所以求得四个点的纵坐标与横坐标的比，即可知结果．
【详解】
由于点A、B、D三个点的纵坐标与横坐标的比相等，即，但点C的纵坐标与横坐标的比
即点C与其它三个点不在同一正比例函数的图象上．
故选：C．
5．D
【分析】
根据正比例函数的定义知，且，由此可求得m的值，从而可知正比例函数图象所经过的象限．
【详解】
由题意知：且
由得：
由得：
∴m=-1
此时正比例函数解析式为y=－2x
∵－2<0
∴函数图象经过第二、四象限
故选：D．
6．B
【分析】
根据国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大可得出答案．
【详解】
国旗上升的高度随着时间的增长而逐渐变大，可知图象如B选项，
故选：B．
7．B
【分析】
设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，
∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（），
S△ABC=，
故选：B．
8．A
【分析】
根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【详解】
∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1.
故选：A．
9．C
【分析】
①观察图象信息，可知乙队在到达，甲队在到达，据此判断；
②结合图象信息，在时，甲队的行进路程大，据此解题；
③根据图象信息，甲队以同一速度匀速行进到终点，乙队先以一个速度匀速行进，之后改变速度再匀速行驶到终点，根据速度=路程时间，可判断甲、乙队变速前后的速度；
④根据图象信息，分三段研究：当、、时，分别解得甲、乙两支龙舟队相差的距离．
【详解】
①乙到达终点，甲到达终点，故①正确；
②由图像可得，时甲行驶路程大于乙，故②正确；
③当时，甲的速度为，乙的速度为，故③错误；从直线的倾斜程度也可得；
④当时，甲乙相距，所以在、时各有一次相距，当时，甲乙相距，所以共有次，故④正确，
故正确结论的序号是：①②④，
故选：C．
10．C
【分析】
根据题意描述的概念逐项分析即可．
【详解】
A、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；
B、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；
C、由题意可知，则点在函数图像上，故正确；
D、例如，，即当，时，函数值均为，不是随的增大而增大，故错误；
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】
由反比例函数的增减性可得，解不等式求解即可．反比例函数的性质：对于反比例函数y＝，当k＞0时，函数图像在第一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图像在第二，四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵当x1＞0＞x2时，有y1＞y2，
∴双曲线y＝的图像在第一，三象限，
∴，解得：．
故答案为：．
12．
【分析】
利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答，即可．
【详解】
解：∵ ，
∴反比例函数y＝﹣，在每一个象限内， 随 的增大而增大，
∵当x=﹣1时， ，
∴当自变量x≤﹣1时，函数值y的取值范围是 ．
故答案为：
13．x>2
【分析】
根据二次根式中被开方数非负，同时注意分母不为零，即可求得函数的定义域．
【详解】
由题意得：且x－2≠0
解得：x>2
故答案为：x>2
14．-1
【分析】
把x=-1代入函数即可求解．
【详解】
∵
∴
故答案为：-1．
15．
【分析】
将分别代入和中，求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】
解：将分别代入和中，
得：，
解得：或，
又∵第一象限，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（5，2）或（﹣5，﹣2）．
【分析】
根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论．
【详解】
解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b，
∴ab＝10，
∵这两个点之间的距离为3，
∴AB＝＝3，
∴a﹣b＝3，
由解得或，
∴A（5，2），B（2，5）或A（﹣5，﹣2），B（﹣2，﹣5），
∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）或（﹣5，﹣2），
故答案为（5，2）或（﹣5，﹣2）．
17．w＝0.3t＋0.3（t≥3）
【分析】
由题意知，前3分钟话费是固定不变的，若通话时间小于3分钟，则话费是1.2元，若大于等于3分钟，则所需费用是1.2加上超过的部分，依此可求电话费用w．
【详解】
解：由题意得：w＝1.2＋0.3(t﹣3)＝0.3t＋0.3（t≥3）．
故答案为：w＝0.3t＋0.3（t≥3）．
18．
【分析】
将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，即可求得D的坐标，进而求得F的坐标，先求得反比例函数的解析式，然后求得直线DE的解析式，进而求得直线OA的解析式．
【详解】
解：如图，将OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，作DM⊥y轴于M，作EN⊥x轴于N，由旋转可知，∠DOE=∠MON，OD=OE，
∴∠DOM=∠EON，
∴△DOM≌△EON，
∴OM=ON，DM=EN，
∵点E（6，﹣2），
∴D（﹣2，﹣6），
∵∠AOE＝45°，
∴∠AOD＝45°，
∵OD＝OE，
∴OA⊥DE，DF＝EF，
∴F（2，﹣4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
三、解答题
19．
解：设y1=，y2=，则y=+，
把x=1，y=5；x=3，y=分别代入得 ，
解得 ，
所以y与x的函数关系式为y=+=+=+
∴y=+；
20．
解：（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的100万吨
故答案为100万吨；
（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水150÷3=50万吨
故答案为3，50；
（2）根据函数图象直接可以得经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水250÷5=50万吨
故答案为5，50．
21．
（1）设把， 代入解析式的左右两边，解得，故函数解析式是；
（2）把代入右边，解得；
（3）把代入的左边，解得．
22．
解：（1）作AD⊥x轴于点D，则，
∵，∴，
∴OD=，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）∵点A在的图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）点P在x轴上时，
①∠OPA=90°时，点P与点D重合，OP=OD=2，
∴点P坐标为(2，0)；
②∠OAP=90°时，设P（x，0），
∵，
∴，
∴x=8，
∴点P坐标为(8，0)；
点P在y轴上时，
①∠OPA=90°时，OP=AD=，
∴点P坐标为(0，)，
②∠OAP=90°时，设P（0，y），
∵，
∴，
∴，
∴点P坐标为．
23．
（1）由图象知，；
∵当时，y与x成反比，
∴设，
由图象可知，当时，，
∴；
∴；
（2）把分别代入和得，和，
∵，
∴抗菌新药可以作为有效药物投入生产．
24．
解：（1）∵点的横坐标为2，
∴OH=2
∵
∴OH·AH=3
解得：AH=3
（2）∵OH=2，AH=3
∴点A的坐标为（2，3）
将点A的坐标代入中，得
解得：k=6
（3）∵k=6＞0
∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小
∵、在该函数图像上，且
∴＞．
25．
解：（1）将点代入中，得
解得k=-6；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N
∵与的面积比为2∶3
∴
∴
∵
∴AN=6，ON=1
∴DM=4
∵
∴ACN和DCM都是等腰直角三角形
∴CN=AN=6，CM=DM=4
∴OM=CN－CM－ON=1
∴点D的坐标为（1，4）；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D/作D/G⊥x轴于G
设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a
∵ACN和DCM都是等腰直角三角形
∴CN=AN=6，CM=DM=a
∴OM=CN－CM－ON=5－a
∴点D的坐标为（5－a，a）
∵∠D/GO=∠OMD=∠D/OD=90°
∴∠GD/O＋∠D/OG=90°，∠MOD＋∠D/OG=90°，
∴∠GD/O=∠MOD
由旋转的性质可得D/O=OD
∴△GD/O≌△MOD
∴GD/=OM=5－a，OG=DM=a
∴D/的坐标为（-a，5－a）
由（1）知，反比例函数解析式为
将D/的坐标代入，得
解得：
∴点D的坐标为（3，2）或（2，3）．
26．
解:(1)由题意知：点A横坐标为4，将代入得，，点坐标为（4，8），
点A、C关于轴对称，
点C坐标为（4，-8）．
设双曲线解析式为，将（4，-8）代入得，
（3）是等腰三角形，且AB为腰，设点D坐标为
①
，
解得：
点D坐标为或
②
解得：，
点D不能与点A重合，舍去
点D坐标为
（3）设点E的坐标为
由题意可知，
解得：，
E点坐标为或
