第19章《几何证明》单元测试（培优提升卷）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）．
1．下列选项中的值，可以作为命题“，则”是假命题的反例是
A． B． C． D．
2．在中，有下列条件：不能确定是直角三角形的条件是
A． B．
C． D．
3．如图，的三条高，，相交于点，下列结论不正确的是
A． B． C． D．
4．如图，在中，已知和的平分线相交于点．过点作，交于点，交于点．若，，则的周长为
A．8 B．9 C．10 D．13
5．下列说法：①有一边及其中一边上的高对应相等的两个直角三角形全等；②有两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等；③有两边及其中一边上的高对应相等的两个钝角三角形全等；④有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．其中是真命题的个数有个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在中，，，于，于，则三个结论：①；②；③中
A．全部正确 B．仅①和③正确 C．仅①正确 D．仅①和②正确
7．已知，中，，，，边的长为
A．3 B． C．3或 D．
8．如图，圆柱的底面周长是，高是，在圆柱的侧面上，过上底面的点和下底面上的点镶嵌一圈金属线，则这圈金属线的最小长度是
A． B． C． D．
9．已知和按如图方式摆放，，、、在一条直线上，，，，，是线段上的动点，是线段上的动点，的长度不可能是
A．9 B．12 C．14 D．16
10．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，与交于点，交于，交于，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．对于命题“如果，那么．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”
12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系上有，，三点，若是三边垂直平分线的交点，则点的坐标为 ．
14．如图，已知的周长是10，和的平分线交于点，过点作的垂线交于点，且，则的面积是 ．
15．如图，平分，，．若，，则的长为 ．
16．一船向东航行，上午到达一座灯塔的西南的处，上午到达这座灯塔的正南的处，则船的航行速度为 （结果保留根号）．
17．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等．
18．如图，在中，，，为上一点，连接，过点作，取，连接交于．当时，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点拉回点的位置（如图）．在离水面高度为的岸上点，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子的长为，工作人员以0.35米秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点的位置，问此时游船移动的距离的长是多少？
20．如图，，，点是上一点，于，于，，求证：．
21．如图，已知点，在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若点在线段的垂直平分线上，，求的度数．
22．如图，中，平分线，平分．
（1）求证：点到三边的距离相等；
（2）连接，求证：．
23．问题：在中，，，分别是线段，上的一点，且．探究和的数量关系．
（1）特殊情况，如图1，若，是中点，则的度数为 ，的度数为 ．
（2）一般情况，借助图2，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论．
24．如图，中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于，交直线于，设，．
（1）如图1，若，分别平分和，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）如图2，若，且，求的长．（用含，的式子表示）
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则解答．
【解答】解：当时，，而，
说明命题“，则”是假命题，
故选：．
2．
【分析】根据三角形内角和定理，分别求出各选项中最大角的度数即可判断．
【解答】解：，，
，
，
故能确定；
，，
，
，
，
故能确定；
，，
，
，且，也不等于，
故不能确定；
，，
，
，
故能确定，
故选：．
3．
【分析】根据高的定义得出，，，，再根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等逐个判断即可．
【解答】解：．的三条高，，相交于点，
，
，，
，故本选项不符合题意；
．的三条高，，相交于点，
，
，，
，故本选项不符合题意；
．的三条高，，相交于点，
，
，，
，故本选项不符合题意；
．的三条高，，相交于点，
，
，，
根据已知条件不能推出，
和不一定相等，故本选项符合题意；
故选：．
4．
【分析】根据角平分线的定义得到，，平行线的性质得到，，等量代换得到，，根据等腰三角形的判定定理得到，，即可得到结论．
【解答】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长为：．
故选：．
5．
【分析】利用全等三角形的判定定理分别对四个命题进行判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①有一边及其中一边上的高对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②有两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，是真命题；
③有两边及其中一边上的高对应相等的两个钝角三角形全等，是真命题；
④有两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定全等，原命题是假命题．
故选：．
6．
【分析】易证，可得，再根据，可得和全等，即可解题．
【解答】解：在和中，
，
，
，①正确；
，
在与中，
，
，
，
，故③正确；
无法得出，所以得不出，故②错误．
故选：．
7．
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【解答】解：，，，
边为直角边，
由勾股定理得，
故选：．
8．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长为，圆柱高为，
，，
，
，
这圈金属丝的周长最小为．
故选：．
9．
【分析】根据已知条件易求，，再确定的最大值及最小值可求出的取值范围，进而可求解．
【解答】解：，，
，
，
，
，
当点与点重合，点与点重合时，如图，
，，
；
当点与点重合，点与点重合时，如图，
，
∴9≤MN≤15,
的长度不可能是16，
故选：．
10．
【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解．
【解答】解：平分，平分，
，，
，
，
；故①正确；
过作于，于，于，
，
平分，
同理可得，，
，
，
，
，
，故⑤正确；
；故②不正确；
，平分，
垂直平分（三线合一），故③正确；
，
，
平分，
，
，故④正确．
本题正确的有：①③④⑤，
故选：．
二．填空题
11．
【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
【解答】解：命题“如果，那么．”，它的逆命题是“如果，那么．”，
是假命题，
故答案为：假．
12．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再求解即可．
【解答】解：是的垂直平分线，
，，
的周长，
的周长为，
，
即的周长为．
故答案为：13．
13．
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答．
【解答】解：如图所示：分别作线段、的垂直平分线交于点，
点的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】过点分别作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可求，结合三角形的周长，利用可求解．
【解答】解：过点分别作，，垂足分别为，，连接，
和的平分线交于点，，
，
的周长是10，
，
．
15．
【分析】过作于，根据角平分线的性质求出，根据平行线的性质得出，，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出即可．
【解答】解：过作于，
平分，，，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：4．
16．
【分析】证是等腰直角三角形，则，，再由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：，，
是等腰直角三角形，
，，
设，
则，
解得：，
，
则船的航行速度为，
故答案为：．
17．
【分析】设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【解答】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
①若，则，
，，，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
18．
【分析】分两种情形：如图1中，过点作于．证明，可得结论，如图2中，当时，点与重合，此时．
【解答】解：如图1中，过点作于．
，，
，
，
，
，，
，
在和，
，
，
，．
在和中，
，
，
，
，
，
如图2中，当时，点与重合，此时．
综上所述，满足条件的的长度为2或6．
故答案为：2或6．
三．解答题
19．解：在中，，，，
，
工作人员以0.35米秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点的位置，
，
，
．
答：此时游船移动的距离的长是．
20．解：连接，
，
在和中，
，
，
，
于，于，
，
在和中，
，
．
21．（1）证明：如图，过点作于．
，．
，，
．
（2）解：点在线段的垂直平分线上，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是的外角，
，
，
．
22．（1）证明：过作于，于，于，
平分线，平分．
，，
，
点到三边的距离相等；
（2）证明：，
由（1）知，，
．
23．解：（1），，
，
，
，，是中点，
，
，
即，
；
故答案为：；．
（2）．
证明：，
，
，
，
，，
，
即．
24．解：（1）如图1，平分，
，
同理，，
，
，
，
；
（2）如图1，在上取一点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）如图2，在上截取，连接，
，，
为等边三角形，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
．
