2024年5月高一数学期中考试
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．若复数z＝﹣i+1，则它在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5≥0}，B＝{x|a﹣3＜x＜a+4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a＞1} B．{a|1＜a＜2} C．{a|a＜2} D．{a|1≤a≤2}
3．已知向量，，若，则x＝（ ）
A． B． C．﹣2 D．2
4．如图，已知A'C'∥y′轴，A'B'∥x'轴，△A'B'C'是用斜二测画法画出的△ABC的直观图，那么△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
5．设函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）在上的最小值为
D．f（x）的图象关于点对称
6．已知a＝20.2，b＝log0.50.2，c＝log0.20.4，则（ ）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．a＞c＞b
7．为了测量某塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走210米到地面B处，测得塔顶T处的仰角为60°，若∠AOB＝60°，则铁塔OT的高度为（ ）米
A． B． C． D．
8．已知圆锥的轴截面为△PAB，P为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为12π，若∠APB＝60°，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，AA1垂直于底面，AA1＝5，底面扇环所对的圆心角为，弧AD的长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．弧AD长度为
B．曲池的体积为
C．曲池的表面积为10+14π
D．三棱锥A﹣CC1D的体积为5
10．设z1，z2是复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1z2＝0
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若|z1|＝|z2|，则＝
11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2，AD＝4，AB＝5，E，F分别在线段AD，AB上，且线段DE与线段BF的长度相等，则（ ）
A．的最小值为﹣4
B．的最大值为18
C．的最大值为﹣1
D．△CEF的面积的最大值为
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．函数y＝sinx+cosx+2sinxcosx+2的值域是 ．
13．已知平面向量，若，则tanθ＝ ．
14．函数f（x）＝，方程f（x）＝k（k＜0）有3个实数解，则k的取值范围为 ．
四．解答题（共5小题，满分77分）
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，c＝3，D是边BC的中点，求AD的长．
16．（15分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若，且对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）＝g（x）成立，求实数a的取值范围．
17．（15分）如图，在高为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，D是棱AB的中点．
（1）求该正三棱柱的体积；
（2）求三棱锥D﹣A1B1C的体积；
（3）设E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，求AF+EF的最小值．
18．（17分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；已知bsinA＝acos（B﹣）．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为2，求△ABC面积的最大值．
19．（17分）在△ABC中，．
（1）证明：G为△ABC的重心．
（2）若AG＝4，BC＝6，求的最大值，并求此时AB的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1-5：DDBBD 6-8：AAA
二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9． AD 10．AC 11．BCD
三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12． [，3]．
13． ．
14．（﹣4，﹣3]．
四．解答题（共5小题，满分45分）
15．【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由于，利用正弦定理，
sinA＝，
故，由于A∈（0，π），
故A＝．
（2）由于D为BC的中点，利用，
故＝＝，
故AD＝．
16．【答案】（1）a＝2；
（2）．
【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，则f（x）的开口向上，对称轴为x＝a，
所以f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，且a＞1，所以f（x）在[1，a]上单调递减，
则，解得a＝2．
（2），又在[0，1]上单调递增，
则y＝g（x）在[0，1]上单调递增，且，
所以当x∈[0，1]时，，
又因为f（x）在[0，1]上单调递减，且f（0）＝5，f（a）＝6﹣2a，
所以当x∈[0，1]时，f（x）∈[6﹣2a，5]，
因为对任意的x∈[0，1]，都存在x0∈[0，1]，使得f（x0）＝g（x）成立，
则，所以6﹣2a≤﹣1，解得，
所以实数a的取值范围为．
17．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解答】解：（1）因为在高为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，D是棱AB的中点．
所以，
即．
（2）因为，，
所以．
（3）将侧面BBC1B1绕BB1旋转至与侧面ABB1A1共面，
E为棱B1C1的中点，F为棱BB1上一点，
如图所示．
当A，F，E三点共线时，AF+EF取得最小值，
且最小值为．
18．（1）B＝．（2）△ABC面积的最大值为．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，
又．∴asinB＝，
即sinB＝＝，
∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝．
（2）结合（1）由正弦定理可知，
由余弦定理可知b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac≥ac，
所以ac≤12当且仅当a＝c时等号成立，
所以，
所以△ABC面积的最大值为．
19．【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：设BC的中点为E，则，
因为，所以，可得，
由此可得A、G、E三点共线，即点G在△ABC的中线AE上．
设AC的中点为F，AB的中点为H，同理可证点G在△ABC的中线BF、CH上，
所以点G为△ABC三条中线的交点，即G为△ABC的重心．
（2）解：由（1）知，因为AG＝4，所以EG＝2．
因为BC＝6，所以BE＝CE＝3，
设∠CEG＝α，则∠BEG＝π﹣α，cos∠BEG＝﹣cosα，
由余弦定理，得CG2＝22+32﹣2×2×3cosα，BG2＝22+32+2×2×3cosα，
则BG2+CG2＝2（22+32）＝26．
设，
可得，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
所以．
