高三数学考试
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意是的子集，从而求解.
【详解】，
因为的充分条件是，所以，
则，
故选：B.
2. 复数的虚部是（ ）.
A. B. C. 8 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的概念可求得选项.
【详解】因为，所以复数的虚部是，
故选：A.
【点睛】本题考查复数的除法和乘法运算，以及复数的概念，属于基础题.
3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案.
【详解】连结DE，
由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A
4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲 乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳 射击 体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.
【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，
②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，
所以不同的安排方法有种.
故选：C
5. 把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到图象关于原点对称的函数，则（ ）
A. B. 为的一个对称中心
C. D. 为的一条对称轴
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移变换和周期变换的原则求出函数，再根据余弦函数的性质及诱导公式逐一判断各个选项即可.
【详解】把函数的图象向右平移个单位长度，
得，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，
得，即，
由函数图象关于原点对称，得，得，
由，当时，得，则，故A错误；
因为，故B错误，D正确；
，C错误.
故选：D.
6. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D. 的周期为3
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值.
【详解】令 ， 得得 或 ，
当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ；
令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ；
令 ， 得 ， 所以 ，
所以 ， 则，则，
所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ；
令 ， 得 ， 因为
所以 ，所以 ， 故C正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性，并依此性质求出函数值即可.
7. 已知曲线，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用，可求的最大值．
【详解】曲线，，
又，当且仅当时取等号，
，
，，
，
的最大值为．
故选：．
8. 已知双曲线，以右顶点为圆心，为半径的圆上一点（不在轴上）处的切线与交于、两点，且为中点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求双曲线的渐近线，利用双曲线中点弦及切线斜率可得答案.
【详解】
由题意得双曲线渐近线，，圆，
切点在双曲线左支和右支之间，由对称性，不妨设切点在轴的上方；
设，，，则，
因为直线的斜率，所以切线斜率.
因为①，②；
②—①得，
可得，
所以 ，，，故.
又在圆上，
所以.
因为切点在轴的上方，切线与双曲线交于两点，一条渐近线的斜率为，
所以有，代入，可得，
故，
即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点差法找到半径与的关系式；二是利用直线与双曲线的位置关系确定的范围.
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在直三棱柱中，点是的中点，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值是
C. 点到平面距离是
D. 线段长的最小值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】可先证，，进而可证得平面，则选项A可判定；将两异面直线平移到相交，在三角形利用余弦定理处理，即可判定选项B；利用等积法即可求出点到平面的距离，则选项C可判定；先求出点轨迹，在利用等面积法求出线段长的最小值，则选项D可判定.
【详解】在直棱柱中,
在中，
可得
，
所以，可得,
又,且两直线在平面内，
可得平面，
由平面,
所以，故必选项A正确；
已知,
点D到平面的距离为，
所以,
,
所以，
设到平面的距离为，
则，可得，故C选项正确；
取中点，连接又点是的中点
在直棱柱中可得,,
所以四边形为平行四边形，
则,，
取中点,连接，又中点为，
可得，，
在直角三角形中,
在直角三角形中,
在直角三角形中
在三角形中,
又，，所以直线与直线所成角为的补角，
所以直线与直线所成角的余弦值是，
故选项B错误;
取中点,连接可得,
又不在平面，在平面，
所以平面，
同理平面，
又,
所以可得平面平面，
所以点的轨迹为线段，
因为,,
所以在三角形中由余弦定理可得,
可得,
所以,
设B到的距离为，由等面积法可得
,解得，
可得长的最小值是，
故选项D正确；
故选：ACD.
10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆上的点到原点的最大距离为
B. 圆上存在三个点到直线的距离为
C. 若点在圆上，则的最小值是
D. 若圆与圆有公共点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】先求得三角形“欧拉线”，根据“欧拉线”与圆相切求得，根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、斜率的范围、圆与圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意，的欧拉线即的垂直平分线，，，
的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，
即“欧拉线”为.
由“欧拉线”与圆相切，
到直线的距离，
则圆的方程为：，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设过与圆相切的直线方程为，即，
由，解得的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，解得，故D正确.
故选：BD
11. 已知有三个不相等的零点且，则下列命题正确的是（ ）
A. 存在实数 ，使得
B.
C.
D. 为定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简方程，令，得，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根， ，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．
【详解】由方程，可得．
令，则有，即，
令函数，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，作出图象如图所示，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，
且，
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，或，，
令，若，，
则，故，
若，，则，无解，
综上：，故C正确；
由图结合单调性可知，故B正确；
若，则，又，故A不正确；
，
故D正确，
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数，利用导数得出函数的单调性，结合图象将，转化成关于t的函数即可求解.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中，，．则的角平分线的长为____．
【答案】2
【解析】
【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长.
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
由余弦定理得，
由题意可得，，，
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
①②得，，则，
在中，由余弦定理得.
故答案为：.
13. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
【答案】
【解析】
【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.
【详解】由题意可知，，事件为，，，
所以，，
，
由条件概率公式得，故答案为.
【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.
14. 数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则______．
【答案】1011
【解析】
【分析】根据题意可求出，由裂项相消法求得代数式和等于，根据的定义即可求出答案.
【详解】，又是的极值点，所以，即，
又，所以，即．
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故．
故，
所以
．
故答案为：1011
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
（2）若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1），优质率为25%
（2）
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中，所有频率之和为1及优质率的定义即可求得结果.
（2）由分层抽样可得质量指标在有件，质量指标在有件，结合古典概型求其概率即可.
（3）由题意知，4件产品中优质产品的件数服从二项分布，即，进而运用公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为25%.
【小问2详解】
因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.
所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有件，质量指标在有件.
所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在的概率为.
【小问3详解】
因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.
所以4件产品中优质产品的件数.
则，，
所以，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
.
16. 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）首先设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点关于轴对称、三点共线得到，从而得到，再利用换元法求解最值即可.
【小问1详解】
由题知：，
所以椭圆
【小问2详解】
如图所示：
设直线，.
.
，解得.
，.
因为点关于轴对称，所以.
设，因三点共线，所以.
即，即.
解得
.
所以点为定点，.
.
令，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）若存在，且，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.
（2）由已知可得，再利用（1）的结论求出函数的最小值，并构造函数探讨函数最大值即得.
（3）根据条件，将问题转化为函数在和存在零点，再分类讨论并借助导数、零点存在性定理探讨零点即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得，递减，由，得，递增，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
依题意，，由恒成立，得，则，
由（1）知，，令，
求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此，由恒成立，得，则，
所以的取值集合为.
【小问3详解】
由，得，
令，依题意，函数在和上存在零点，
求导得，在，当时，，
当时，，函数在上单调递增，，
函数在上无零点，不符合题意，
当时，令，求导得，
当时，，函数，即在上单调递增，
，，则存在，使得，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
因此，，则函数在上存在唯一零点；
当时，令，求导得，
令，求导得，
函数在上单调递增，，
则，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，则，
于是，使得，当时，，函数，即递减，
当时，，函数，即递增，则，
因此，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，则，，
从而函数在上存在唯一零点，
则当，函数在和上各存在一个零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
18. 在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点为，连接，，通过等腰三角形三线合一结合勾股定理可证，，再利用面面垂直的判定方法可得平面平面.
（2）建立合适的空间直角坐标系，首先得到点的轨迹是的中位线，点的轨迹是的中位线，从而得到线面角的正弦表达式，利用函数单调性即可求出其最值.
【小问1详解】
取的中点为，连接，.
因为，，则，
而，，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，且平面，
故平面，
因为平面，故平面平面.
【小问2详解】
在平面内，过作，交于，因为，则.
结合（1）中的平面，且平面，
则，故直线两两互相垂直，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴建如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
故，，.
因为，所以，
又因为点为四棱锥的侧面内的一点（包含边界），
所以点的轨迹是的中位线，
设，则，，
设与平面所成角为，
则，，
当时，取得最小值，
所以与平面所成角的正弦值的最小值为.
19. 已知数列，，即当时，，记．
（1）求的值；
（2）求当，试用、的代数式表示；
（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求得，解不等式，求出满足该不等式的最大整数的值，即可计算出的值；
（2）对分奇数和偶数两种情况讨论，当为奇数时，可得出，当为偶数时，，化简可得出关于、的表达式；
（3）分析可知，为整数，可得出为奇数，然后解不等式，可得出，即可得出中元素的个数.
【小问1详解】
解：依题意：，
由得，，且，
对任意的，，
所以，，
所以
.
【小问2详解】
解：①当为奇数时，为偶数，
；
②当为偶数时，为奇数，
.
综上：.
【小问3详解】
解：由（2）知，当时，
，，.
因为是的整数倍，
所以为整数，所以为奇数，由得，
所以满足条件的的个数为，
所以集合中元素的个数为．
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和；
（5）对于结构，利用并项求和法.高三数学考试
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 集合，若的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
2. 复数的虚部是（ ）.
A. B. C. 8 D.
3. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲 乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳 射击 体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同安排方法共有（ ）
A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种
5. 把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标压缩到原来的倍，纵坐标不变，得到图象关于原点对称的函数，则（ ）
A. B. 为的一个对称中心
C. D. 为的一条对称轴
6. 已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B. 为奇函数
C. D. 周期为3
7. 已知曲线，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线，以右顶点为圆心，为半径的圆上一点（不在轴上）处的切线与交于、两点，且为中点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在直三棱柱中，点是的中点，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线与直线所成角的余弦值是
C. 点到平面的距离是
D. 线段长的最小值是
10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若满足，顶点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆上的点到原点的最大距离为
B. 圆上存在三个点到直线的距离为
C. 若点在圆上，则的最小值是
D 若圆与圆有公共点，则
11. 已知有三个不相等的零点且，则下列命题正确的是（ ）
A. 存在实数 ，使得
B.
C.
D. 定值
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 中，，．则的角平分线的长为____．
13. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）
附参考数据：；；．
14. 数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则______．
四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.
（1）求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
（2）若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
16. 已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点在x轴上，离心率为，点P在C上，且的周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求的面积的最大值．
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值集合；
（3）若存在，且，求的取值范围.
18. 在四棱锥Q－ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD=2，，QC=3.
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）若点P为四棱锥Q－ABCD的侧面QCD内（包含边界）的一点，且四棱锥P－ABCD的体积为，求BP与平面ABCD所成角的正弦值的最小值.
19. 已知数列，，即当时，，记．
（1）求的值；
（2）求当，试用、的代数式表示；
（3）对于，定义集合是的整数倍，，且，求集合中元素的个数．
