湖北省十堰市2024年中考数学考前冲刺试题（含解析）
一、选择题(共10题，每小题3分，共30分. 在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)(共10题；共30分)
1．（3分）“神舟十六号”载人飞船上有一种零件的尺寸标准是300±5（单位：mm），则下列零件尺寸不合格的是（ ）
A．295mm B．298mm C．304mm D．310mm
2．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．6种
6．（3分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1=60°，则∠2=（ ）
A．20° B．60° C．30° D．45°
7．（3分）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．100° C．108° D．110°
8．（3分）如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆， ，点P在数轴上运动，若过点P且与 平行的直线与⊙O有公共点，设 ，则x的取值范围是（ ）
A． ≤ ≤ B． ≤ ≤
C． ≤ ≤ D． ＞
9．（3分）如图，在 中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC.若 ， ，则 的度数为（ ）
A．132° B．120° C．112° D．110°
10．（3分）若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）
二、填空题（共5题，每题3分，共15分.）(共5题；共15分)
11．（3分）计算的结果是 .
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y＝﹣x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y＝x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为 ．
13．（3分）宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率 .
14．（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
15．（3分）如图，将一张长方形纸片如图所示折叠后，如果∠1=126°，那么∠2等于 .
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共9题；共66分)
16．（6分）计算：.
17．（6分） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数其中的图象相交于，两点．
（1）（1分）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）（1分）过点作轴，交轴于点，过点作交轴于点，连接，求四边形的面积．
18．（6分）某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？
19．（8分）2015年3月，“一带一路”规划出台，郑州市是内陆开放型经济高地之一．某数学小组就本校九年级学生对“一带一路”的了解程度进行了一次调查测试，经过对测试成绩的分析，得到如图两幅不完整统计图．（A等级：特别了解；B等级：十分了解；C等级：一般了解；D等级：不大了解；E等级：不了解）
请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该校共有九年级学生多少名，其中B等级占的百分比为多少 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求E等级部分所对应的圆心角的度数；
（4）该校九年级任选一名学生，则B等级的概率为多少？
20．（8分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A（a，3）和B（-3，1）.
（1）（4分）求k、b的值.
（2）（4分）点P是x轴上一点，连接PA，PB，当△PAB的周长最小时求点P的坐标.当 的周长最小时，点P的坐标为 .
21．（8分）如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）连接AE，试证明：AB CD=AE AC．
22．（10分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元， 每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？
小明同学， 为了完成以上问题，小明分析： 调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况， 下面是小明的思路， 请你帮助小明完善以下内容：
（1）（3.5分）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为 ； 其中x的取值范围是 ； 在涨价的情况下，定价 元时，利润最大，最大利润是 ．
（2）（3.5分）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？
（3）（3分）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？
23．（2分）两张等腰直角三角形纸片和按图1所示位置放置，直角顶点重合在点O处，保持纸片不动，将纸片绕点O逆时针旋转角度，如图2所示．
（1）（4分）利用图2，求证：；
（2）（3.5分）如图3，当与在同一直线上时，，求的长．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别是AC，BC的中点，点P是直线DE上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，连接AM，CM.
（1）（4分）问题发现
如图（1），当点P与点D重合时，线段CM与PE的数量关系是 ，∠ACM＝ °.
（2）（4分）探究证明
当点P在射线ED上运动时（不与点E重合），（1）中结论是否一定成立？请仅就图中的情形给出证明.
（3）（4分）问题解决
连接PC，当△PCM是等边三角形时，请直接写出的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A：295-300=-5，，所以A的尺寸合格；
B：298-300=-2，，所以B的尺寸合格；
C：304-300=4，，所以C的尺寸合格；
D：310-300=10，，所以D的尺寸不合格。
故答案为：D.
【分析】根据尺寸标准，零件尺寸只要与300的差不超过5mm就是合格，所以可以分别计算各选项尺寸与300的差即可得出答案。
2．【答案】C
【解析】【解答】该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形，
故答案为：C
【分析】主视图能看出列数，层数.
3．【答案】B
【解析】【解答】
∵解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为-2＜x≤2，
在数轴上表示为 ，
故答案为：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出选项．
4．【答案】B
【解析】【解答】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项正确；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方分别进行计算，然后判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，
故选：C．
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=60°（两直线平行，同位角相等），
∵EF⊥AB于E，
∴∠2=90°﹣60°=30°，
故选C．
【分析】利用平行线的性质和垂线的定义计算．
7．【答案】B
【解析】【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
8．【答案】B
【解析】【解答】设切点为C，连接OC，则
圆的半径OC=1，OC⊥PC，
∵∠AOB=45°，OA∥PC，
∴∠OPC=45°，
∴PC=OC=1，
∴OP= ，
同理，原点左侧的距离也是 ，且线段是正数
所以x的取值范围是0＜x≤
故答案为：B．
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是 ．所以x的取值范围是0≤x≤ ．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ，
又
∴∠ACB=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∴∠AOB=2∠ACB=112°
故答案为：C
【分析】由三角形的外角的性质先求出∠ACB的度数，再根据同圆中圆周角和圆心角的关系即可求出∠AOB的大小.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线过点（0，﹣3），
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
A、抛物线的二次项系数为1＞0，抛物线的开口向上，正确．
B、根据抛物线的对称轴x=﹣ =﹣ =1，正确．
C、由A知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当x=1时，y的最小值为﹣4，而不是最大值．故本选项错误．
D、当y=0时，有x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．正确．
故选C．
【分析】A根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．
B利用x=﹣ 可以求出抛物线的对称轴．
C利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．
D当y=0时求出抛物线与x轴的交点坐标．
11．【答案】3
【解析】【解答】.
故答案为：3.
【分析】同分母分式相减，分母不变、分子相减，再约分即可.
12．【答案】4≤m≤4
【解析】【解答】解：∵点M在直线y＝﹣x上，
∴M（m，﹣m），
∵MN⊥x轴，且点N在直线y＝x上，
∴N（m，m），
∴MN＝|﹣m﹣m|＝|2m|，
∵MN≤8，
∴|2m|≤8，
∴﹣4≤m≤4，
故答案为：﹣4≤m≤4．
【分析】根据直线y=-x上的点的坐标特点得出M点的坐标（m，-m），再根据垂直于x轴直线上的点的坐标特点及直线y=x上点的坐标特点得出N点的坐标（m，m），从而表示出MN的长|﹣m﹣m|＝|2m|，根据MN≤8，列出不等式|2m|≤8，求解即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
由图可知共有9种等可能性的情况，其中小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况有3种，
∴小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为，
故答案为：.
【分析】画出树状图，找出总情况数以及小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的情况数，然后根据概率公式进行计算.
14．【答案】
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
15．【答案】72°
【解析】【解答】解：如图，由折叠知：∠4=∠5，
∵AB∥CD，
∴∠5=∠3，∠5+∠4+∠2=180°，
∴∠4=∠3=180°-∠1=180°- 126° =54°，
∴∠2=180°-∠4-∠3=72°，
故答案为：72°.
【分析】由折叠知∠4=∠5，由平行线的性质可得∠5=∠3，∠5+∠4+∠2=180°，利用邻补角求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
16．【答案】解：原式=1＋1－2＋
＝
＝.
【解析】【分析】根据有理数的乘方运算法则、零指数幂、算术平方根、特殊角三角函数值分别进行计算，接着计算二次根式的乘法，最后计算有理数的加减法即可得出答案.
17．【答案】（1）解：将点代入反比例函数，得，
反比例函数的表达式为：，
将点代入，得，
点的坐标为，
将点，代入一次函数，
得：，解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：设一次函数与轴交于点，如图：
点，，轴，
，，点的坐标为，
轴，
四边形为平行四边形，
，
；
对于，当时，，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
又点，
轴，
，
，
．
【解析】【分析】（1）把 点代入反比例函数求出k2，把 点 代入反比例函数求出m，再用待定系数法求一次函数的解析式；
（2） 先证明四边形为平行四边形， 再利用平行四边形的性质，结合一次函数求出点M、Q的坐标，最后求平行四边形的面积和三角形AMQ的面积即可求解。
18．【答案】解：设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工个零件，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解；
答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．
【解析】【分析】设该车间技术革新前每小时加工x个零件，则技术革新后每小时加工2.5x个零件，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“提高工作效率后， 再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ”建立方程，求解并检验即可.
19．【答案】解：（1）该校共有九年级学生有：300÷30%=1000（人）；
其中B等级占的百分比为：200÷1000×100%=20%；
故答案为：1000，20；
（2）A等级的人数是：1000×10%=100（人），
D等级的人数是：1000×35%=350（人），
补图如下：
（3）E等级部分所对应的圆心角的度数是：360°×（1﹣10%﹣20%﹣30%﹣35%）=18°；
（4）∵九年级共有1000人，B等级的人数是200人，
∴B等级的概率为=．
【解析】【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用B等级的人数除以总人数即可求出B等级占的百分比；
（2）用总人数乘以各等级所占的百分比，即可补全统计图；
（3）用360度乘以E等级所占的百分比即可；
（4）根据概率公式和九年级总人数，B等级的人数，即可得出答案．
20．【答案】（1）解：由题意，将点 代入反比例函数 得 ，解得
将点 代入一次函数 得 ，解得
综上， ， ；
（2）解：由（1）知，一次函数的解析式为
反比例函数的解析式为
将点 代入一次函数 得 ，解得
则点A坐标为
由两点之间的距离公式得：
因此， 的周长为
要使 的周长最小，只需
如图，作点B关于x轴的对称点 ，连接 ，交x轴于点 ，连接
由对称性得：
由两点之间线段最短可知，当点P与点 重合时， 取得最小值，最小值为
设直线 的解析式为
将点 ， 代入得
解得
则直线 的解析式为
当 时， ，解得
则
即当 的周长最小时，点P的坐标为 .
【解析】【分析】（1）将点 分别代入反比例函数和一次函数的解析式即可求出k、b的值；
（2）先由（1）可得出一次函数和反比例函数的解析式，从而可得点A坐标，再利用两点之间的距离公式可得AB的长，然后根据轴对称性、两点之间线段最短确认 的周长最小时，点P的位置，最后利用一次函数的性质求解即可得.
21．【答案】证明：（1）∵BE∥AD，
∴∠E=∠ADE，
∵∠BAD=∠E，
∴∠BAD=∠ADE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴ED∥AC；
（2）连接AE，
∵∠CAD=∠ADE，∠ADE=∠ABE，
∴∠CAD=∠ABE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，∠ADB+∠AEB=180°，
∴∠ADC=∠AEB，
∴△ADC∽△BEA，
∴AC：AB=CD：AE，
∴AB CD=AE AC．
【解析】【分析】（1）由圆周角定理，可得∠BAD=∠E，又由BE∥AD，易证得∠BAD=∠ADE，然后由AD是△ABC的角平分线，证得∠CAD=∠ADE，继而证得结论；
（2）首先连接AE，易得∠CAD=∠ABE，∠ADC=∠AEB，则可证得△ADC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
22．【答案】（1）；；65；6250元
（2）解：设每件降价元，则每星期售出商品的利润元，
则，
函数的对称轴为，
当（元时，则（元；
（3）解：，
∴用涨价方式比降价方式获得利润大，
当定价为65元时，利润最大．
【解析】【解答】(1)y=（60-40+x）×（300-10x)=-10x2+100x+6000，
又300-10x≥0且x＞0，
∴0≤x≤30；
∵-10＜0，
∴当x=时，函数y的值最大，最大值=（元），
此时定价为：60+5=65（元）；
故第1空答案为：y=-10x2+100x+6000；第2空答案为：0≤x≤30；第3空答案为：65；第4空答案为：6250元；
【分析】（1）根据利润=单件利润×销量，可得利润y=-10x2+100x+6000；根据题意得出自变量x的取值范围；利用二次函数的性质，即可求得定价为65元时，利润最大，且最大利润为6250元；
（2）设每件降价元，则每星期售出商品的利润元， 根据利润=单件利润×销量，即可得出：， 根据二次函数的性质，即可得出当（元）时， 最大利润为6125元 ；
（3）根据（1）、（2）的结果，可知用涨价方式比降价方式获得利润大，当定价为65元时，利润最大．
23．【答案】（1）证明：如图，延长BD交OA于点G，交AC于点E．
由题意知，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
同（1）可证，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）延长BD交OA于点G，交AC于点E，易得OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°，由等式的性质得∠AOC=∠DOB，从而用SAS判断出△AOC≌△BOD，得∠CAO=∠DBO，然后结合对顶角相等及三角形的内角和定理可推出∠AEG=∠AOB=90°，从而根据垂直的定义得出BD⊥AC；
（2）由等腰直角三角形的性质及邻补角定义可得∠ODB=135°，同（1）可证△AOC≌△BOD，得∠ODB=∠ACO=135°，AC=BD=7，由角的和差得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，用勾股定理算出BC，最后根据线段的和差由CD=BC-BD可算出答案.
24．【答案】（1）；45
（2）解：一定成立.
证明：在中，，，点E是的中点，连接，如图，则.
∵点D，E分别是，的中点，
∴.
∴.
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴.
（3）的值为或
【解析】【解答】解：（1）∵点D，E分别是，的中点，
∴.
由旋转知，，即.
易知，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴.
故答案为：，45；
（3）当是等边三角形时，分两种情况讨论.
①当点P在BC上方时，如图，过点P作于点H，延长交直线于点.
由（2）知，易得和均为等腰直角三角形.
设，则，，∴，
又由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴.
②当点P在下方时，如图，连接，
同（2）易得，
∴，，
∴，.
过点P作于点H，延长交直线于点Q.
易得和均为等腰直角三角形.
设，则，，∴，
∴.
∵，，
∴，
∴.
综上可知，的值为或.
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质解答即可；
（2）结论不变，连接AE，证明△CAM∽△EAP，推出 ，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当点P在BC上方时，②当点P在BC下方时，设，则，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质，通过线段的转化用a表示出AC和PE，即可求出结果.
