天津市第四十七中学2023-2024学年高二下学期5月期中数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,或,则( )
A. B. C. D.
2．已知命题和命题,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）,则下面四个图象中,的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4．从0,1,2,5中取三个不同的数字,组成能被5整除的三位数,则不同三位数有( )
A.12个 B.10个 C.8个 D.7个
5．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的,,甲、乙车间的优品率分别为.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为( )
A. B. C. D.
6．袋中有大小完全相同的个红球和 个黑球,不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A, “摸得的两球同色”为事件B,则概率 为( )
A. B. C. D.
7．已知各项均为正数的等比数列满足,若存在两项使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．若函数在区间内有极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9．双曲线的左、右焦点分别为,,点M,N在双曲线上,且,,线段交双曲线C于点Q,,则该双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.
二、填空题
10．已知函数的导函数为,且满足,则_________.
11．在的展开式中,含项的系数为______________.
12．在某市高三的一次模拟考试中,学生的数学成绩服从正态分布,若,则_____________.
13．数学对于一个国家的发展至关重要,发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”,“世界数学通史”,“几何原本”,“什么是数学”四门选修课程,要求数学系每位同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有_____________.
14．函数,若对于区间上的任意,,都有,则实数t的最小值是________________.
15．设定义在R上的函数,满足,为奇函数,且,则不等式的解集为________________.
三、解答题
16．在如图所示的几何体中,四边形是正方形,四边形是梯形,,,平面,且.
(1)求证：平面;
(2)平面与所成角的大小;
(3)在棱上是否存在一点,使得异面直线与所成角的余弦值为,求的长.
17．某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.
18．已知椭圆的左焦点,点在椭圆C上,过点P的两条直线,分别与椭圆C交于另一点A,B,且直线,,的斜率满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明直线过定点.
19．已知数列是等差数列,设为数列的前n项和,数列是等比数列,,若,,,.
（1）求数列和的通项公式;
（2）求数列的前n项和;
（3）若,求数列的前项和.
20．已知,
（1）求在处的切线方程以及的单调性;
（2）对,有恒成立,求k的最大整数解;
（3）令,若有两个零点分别为,且为的唯一的极值点,求证：.
参考答案
1．答案：C
解析：因为或,则集合,
又集合,则.
故选：C.
2．答案：A
解析：命题即
命题即,所以,p是q的充分不必要条件
故选：A.
3．答案：C
解析：由题给函数的图象,可得
当时,,则,则单调递增;
当时,,则,则单调递减;
当时,,则,则单调递减;
当时,,则,则单调递增;
则单调递增区间为,;单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C.
4．答案：B
解析：能被5整除的三位数末位数字得是0或5,
当末位数字为0时,此时有个符合条件的三位数,
当末位数字为5时,此时有个符合条件的三位数,
因此一共有个,
故选：B.
5．答案：A
解析：设分别表示产品由甲、乙车间生产;表示产品为优品,
由题可得：,
故.
故选：A.
6．答案：A
解析：依题意,,,
则条件概率,
故选A.
7．答案：A
解析：,,即,,解得,,,, ,
等号成立的条件为 ,解得 ,所有 的最小值是,
故选：A.
8．答案：C
解析：函数,,
若函数在区间上有极值点,
则在区间内有零点,
由可得,
因为在上单调递减,在上单调递增,
又,,,
所以,
,
当时,,不符合题意,
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
9．答案：D
解析：由,可得,
由,可设,
由,可得,可得,
由N,Q在双曲线上,可得且,
消去t整理可得,,所以.
故选：D.
10．答案：-1
解析：依题意,对两边求导得：,
当时,,解得,
所以.
故答案为：-1.
11．答案：60
解析：由题意,的展开式的通项为,
令,解得,
所以的系数为.
故答案为：60.
12．答案：0.5
解析：因为,且,
所以,所以
所以,
故答案为：0.5.
13．答案：78
解析：根据题意,分2步进行分析：
①将四门选修课程分为3组,
若分为2、1、1的三组,有种分组方法,
若分为2、2、0的三组,有种分组方法,
若分为3、1、0的三组,有种分组方法
则一共有种分组方法,
②将分好的三组安排在三年内选修,有种情况,
则有种选修方式,
故答案为：78.
14．答案：20
解析：因为,
令,得,所以-1,1为函数的极值点.
又,,,,
所以在区间上,.
又由题设知在区间上,从而,所以t的最小值是20.
故答案为：20.
15．答案：
解析：设,
则,
,
,
,
在定义域R上单调递增,
不等式等价为不等式,
即为,即,则,
为奇函数,
当时,,即,得,
又,
等价于,
,
不等式的解集为.
故答案为：.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,
解析：（1）,平面,平面,所以平面,
同理,平面,平面,所以平面,
又,平面,平面,故平面平面,
平面,故平面.
（2）平面,平面,故,故,,两两垂直.
以,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面的法向量为,则,
取得到,
设平面的法向量为,则,
取得到,
,平面与所成角为钝角,故为.
（3）假设存在,设,则,,
则,解得或（舍去）.
故存在H满足条件,.
17．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由已知有,
所以事件A的发生的概率为;
（2）随机变量X的所有可能的取值为0,1,2;
;;
;
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为.
18．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由点在椭圆上,得,
由为椭圆C的左焦点,得,
所以椭圆C的方程为.
(2)依题意,直线不垂直于坐标轴,设其方程为,,,
由消去y并整理得,
,,,
由得,即,
整理得,即有,而,,
解得,满足,直线：过定点,
所以直线过定点.
19．答案：（1）,,,;
（2）,;
（3）.
解析：（1）由题意,设等差数列的公差为d,等比数列的公比为,
则,得,
整理,得,解得（舍去）,或,,
,,,.
（2）由（1）得,,令数列的前n项和为,
则,
,
两式相减,可得
,
,.
（3）由（1）得,, ,
,
数列的前项和为：
.
20．答案：（1）切线方程为;单调递减区间为,单调递增区间为
（2）的最大整数解为
（3）证明见解析
解析：（1）
所以定义域为
;
;
所以切线方程为;
,
令解得
令解得
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）等价于;
,
记,,所以为上的递增函数,
且,,所以,使得
即,
所以在上递减,在上递增,
且;
所以的最大整数解为.
（3）,得,
当,,,;
所以在上单调递减,上单调递增,
而要使有两个零点,要满足,
即;
因为,,令,
由,,
即：,
而要证,
只需证,
即证：
即：由,只需证：,
令,则
令,则
故在上递增,;
故在上递增,;
.
