第四章 数列 练习题
一、单选题
1．某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是8100元，则6年后，价格降低为（ ）
A．2200元 B．900元 C．2400元 D．3600元
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（ ）
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4
3．对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
4．已知两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A．1460 B．1472
C．1666 D．1678
5．若数列的前n项和,则
A．120 B．39 C． D．
6．等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，…；该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为，则以下结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．76 B．72 C．36 D．32
二、多选题
9．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1），例如，，，则（ ）
A． B．数列是递增数列
C．的前10项中最大项为第3项 D．的前项和，则
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．数列的通项，则中最大项为第项；
B．已知数列中，，那么是这个数列的第项
C．已知等差数列的前项和为，，，则；
D．已知，则数列是递增数列．
11．为数列的前n项和，已知对任意的，，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，则 .
13．已知各项均为正数的数列的前n项和为，满足，且，，则数列的通项公式 ．
14．数列，，，，，和，，，，，均为等差数列，且，则 .
四、解答题
15．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，为数列的前n项和，求．
16．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足,.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，若{bn}是递增数列，求实数a的取值范围.
17．已知数列是等比数列，，且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和，并证明．
18．已知数列与的前项和分别为，，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)，若恒成立，求的取值范围．
19．已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
参考答案：
1．C
【解析】利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低，
所以6年后，价格降低为（元），
故选：C
2．B
【分析】将n＝1时，代入左边即可得出选项.
【详解】当n＝1时，左边的最高次数为1，
即最后一项为a，左边是1＋a，
故选：B.
3．B
【分析】由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】由an＝，则，，，
当时恒有，则，此时递增，
综上，故数列的“谷值点”为2、7，共2个.
故选：B.
4．C
【分析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可.
【详解】有两个等差数列2，6，10，…，198及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182，194是两个数列的相同项.
共有个，也是等差数列，
它们的和为，
这个新数列的各项之和为1666.
故选：C.
5．D
【分析】利用求解.
【详解】由题得
故选：D.
6．B
【分析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.
【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.
故选：B
7．D
【分析】
列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项．
【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；
由题意
则可得：
，所以选项C正确，D错误；
故选：D
8．C
【分析】
根据题意，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
在等差数列的求和公式，可得.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据欧拉函数的定义求出，故A正确；根据欧拉函数的定义求出，由可得数列是递增数列，故B正确；根据数列的第一项大于第三项可知C不正确；根据错位相减法求出，可知，故D正确.
【详解】对于A，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，故A正确；
对于B，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即，因为，所以，所以数列是递增数列，故B正确；
对于C，由B知，，所以，第一项为，第三项为，，故C不正确；
对于D，由C知，，
则，
，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，因为，
所以，故D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】对于A，算出即可判断；对于B，令，计算出，即可判断；对于C，利用等差数列前项和的性质即可判断；对于D，由，即可判断
【详解】对于A，因为，，故中最大项不是第项，故错误；
对于B，令，解得，故是的第项，故正确；
对于C，已知等差数列的前n项和为，
则成等差数列，
所以,即，解得，故正确；
对于D，由可得，即，所以数列为递增数列，故正确，
故选：BCD
11．AC
【分析】根据给定的递推公式，结合前n项和的意义计算判断AC；分析判断BD.
【详解】数列中，对任意的，，
，，AC正确；
由，知的值无法确定，则通项也无法确定，BD错误.
故选：AC
12．0
【分析】首先根据题意得到，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由已知得，故.
故答案为：0
13．
【分析】由，知，两式作差，即可证明为等差数列，从而求出.
【详解】由题意,则，
又，
，
，
，，为等差数列，
，，
，，，
故答案为：
14．
【分析】根据等差数列通项公式得到，，即可表示出，，从而得解.
【详解】解：因为数列，，，，，和，，，，，均为等差数列，且，
所以，，
即，
所以.
故答案为：
15．（1）；（2）.
【分析】（1）当时求出，当时，得到，再作差即可得到，再检验时是否成立，即可得解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可；
【详解】（1）当时，，∴，
当时，，①
，②
①-②得，∴
又满足上式，∴
（2）∵
∴
16．(1)an＝n
(2)(－1，＋∞)
【分析】（1）根据求的方法求得数列的通项公式.
（2）利用是递增数列列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1），，
相减可得
∵an＞0，an－1＞0，∴an－an－1＝1(n≥3).
当n＝2时，
因此n＝2时，an－an－1＝1成立.
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1.
∴an＝1＋n－1＝n.
（2）bn＝(1－an)2－a(1－an)＝(n－1)2＋a(n－1)，
∵{bn}是递增数列，
∴bn＋1－bn＝n2＋an－(n－1)2－a(n－1)＝2n＋a－1＞0，
即a＞1－2n恒成立，∴a＞－1，
∴实数a的取值范围是(－1，＋∞).
17．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）由等差数列定义可得，利用已知条件可构造关于的方程组，解方程组可求得，由此可得所求通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得，结合可证得结论.
【详解】（1），，成等差数列，，
设等比数列的公比为，
则，解得：，.
（2）由（1）得：，
，
，，即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用与的关系求出和，证明是等差数列，即可求出数列的通项公式.
（2）化简，利用裂项相消法求出，再利用数列的单调性即可求出的取值范围.
【详解】（1）由题意， ，
在数列中，
当时，，
解得或．
∵
∴．
∵
∴．
两式相减得．
∴．
∵，
∴．
即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，
∴
即
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，
在数列中，
∴．
∴．
∵恒成立，
∴．
∴的取值范围为
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的递推公式，变形并换元，利用累加法求通项作答.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和作答.
【详解】（1）由，得，
令，有，，
当时，，
又满足上式，于是，则，
当时，，
又满足上式，因此，
所以数列的通项公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
