4.4 数学归纳法（精练）
1 等式证明
1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，其中.
2．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
3．（2022广东）用数学归纳法证明：．
4．（2022云南）用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
2 不等式证明
1．（2022山东）求证：.
2（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．
3．（2022河北）用数学归纳法证明：.
4．（2022云南）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)；
5．（2022湖南）数学归纳法证明：．
3 数列的证明
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
12．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
3（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
4．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
5．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列{an}的前n项和.
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.
4 整除问题
1．（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
2．（2022·江苏·高二课时练习）证明：能够被6整除．
5 增项
1．（2022·四川成都·高二期中（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
3．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
4．（2022·全国·高二专题练习）（多选）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
5．（2022·全国·高二专题练习）（多选）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
6．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是______________．
7．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________．
8．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是_______．
9．（2022·全国·高二专题练习）已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.
4.4 数学归纳法（精练）
1 等式证明
1．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：，其中.
答案：证明见解析.
【解析】（1）当时，左边，
右边，
所以左边=右边，等式成立.
（2）假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
.等式成立
综上，对任何，等式都成立.
2．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：（,）．
答案：证明见解析
【解析】证明：①当 时，，，等式成立；
②假设 时，，
则时，
，
即时，等式成立，
综合①②可知，（，）．
3．（2022广东）用数学归纳法证明：．
答案：见解析
【解析】（1）当时，左边=，右边=，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即＋…＋＝，
当时，
＋…＋+
，
即当时等式也成立.，
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，
故.
4．（2022云南）用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
答案：(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 证明见解析.
【解析】(1)当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时，，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
(2) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时，，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
(3) 当时，等式左边，右边，所以等式成立；
假设时等式成立，即，
则当时， ，
故时等式成立，
综上可知，等式成立.
2 不等式证明
1．（2022山东）求证：.
答案：证明见解析.
【解析】(1)当n=2时，左边=，右边=，显然左边>右边，即原不等式成立，
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N*)时，原不等式成立，即，
则当n=k+1时，
左边=
=右边，
因此，当n=k+1时，原不等式成立，
综合(1)和(2)知，对一切n≥2，n∈N*，原不等式都成立.
2（2021·全国·高二课时练习）已知数列的通项公式为，求证：对任意的，不等式都成立．
答案：证明见解析.
【解析】由，得，
所以,
用数学归纳法证明不等式成立，证明如下：
①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立．
②假设当时不等式成立，即成立，
则当时，左边,
,
右边．
所以当时，不等式也成立．
由①②可得不等式对任意的都成立，
即原不等式成立．
3．（2022河北）用数学归纳法证明：.
答案：证明见解析；
【解析】（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当，时，不等式成立，即有，
则当时，左边
，
又
即，
即当时，不等式也成立.
综上可得，对于任意，成立.
4．（2022云南）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)；
答案：(1)见解析；
(2)见解析.
【解析】（1）当时，1，成立；
当时，假设成立；
当时，左边（），命题正确．
（2）当时，，成立；
当时，假设 成立；
当时，左边 命题正确．
5．（2022湖南）数学归纳法证明：．
答案：详见解析
【解析】（ⅰ）当时，左边=，右边=，左边<右边，即不等式成立；
（ⅱ）假设时，不等式成立，即，
则当时，左边=，
问题可通过证明来实现.
要证，
只需证，只需证
只需证，只需证，
只需证，∵显然成立，∴，
即当是不等式也成立.
由（ⅰ）（ⅱ）可得，对于一切的，不等式恒成立.
3 数列的证明
1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．
答案：(1)，，，；
(2)证明见解析.
【解析】（1）选条件①，
由题意可得，同理可得，，
猜想()．
选条件②，
由题意可得，∵，，∴，，
∴，同理可得，
猜想（）．
（2）
显然当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即（），
当时，由，可得=
（），
即当时，猜想成立，
综上所述，（）．
12．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
答案：(1)，，；
(2)证明见解析.
【解析】(1)因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)
①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
3（2022·河南南阳·高二期末）设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
答案：(1)，；
(2)见解析
【解析】(1)
由可得，又，则，，
则，猜想；
(2)
由（1）得，当时，，
①当时，猜想显然成立；
②假设当时成立，即；
当时，，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即.
4．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
答案：，证明见解析
【解析】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
5．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（理））已知数列{an}的前n项和.
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.
答案：(1)，，，；
(2)，证明见解析
【解析】(1)
由得，
，解得；
由，解得；
由，解得；
由，解得；
所以计算得，，，；
(2)
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想显然成立.
②假设时，猜想成立，
即.
那么，当时，，
即.
又，
所以，
从而.
即时，猜想也成立.
故由①和②可知，猜想成立.
4 整除问题
1．（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？
答案：能被自然数6，1，2，3整除;证明见解析
【解析】
时，原式，时，原式，时，原式，时，原式，这些数都可以被6整除，所以猜想：可以被6整除，那么也可被1，2,3整除；
证明：（1）当时，，命题显然成立；
（2）假设当时，能被6整除．
当时，，
其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除，
由假设知能被6整除,
故，，6分别能被6整除，
所以当时，命题也成立．
据（1）（2），可知可以被6整除．
故能被自然数6,，1，2，3整除.
2．（2022·江苏·高二课时练习）证明：能够被6整除．
答案：见解析
【解析】⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立；
⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除，
当时，
，
由假设知：能够被6整除，
而为偶数，故能够被6整除，
故能够被6整除，
即当时，命题成立，
由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除．
5 增项
1．（2022·四川成都·高二期中（理））用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
【解析】从到成立时，左边增加的项为，
因此增加的项数是，
故选：C
2．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（ ）
A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1
答案：C
【解析】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时
假设当时不等式成立，左边=
则当时，左边=
则由递推到时不等式左边增加了：
共，
故选：C
3．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式 (n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项，
C．增加了两项，，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
答案：C
【解析】n＝k时，左边为＋＋…＋，①
n＝k＋1时，左边为＋＋…＋＋＋，②
比较①②可知C正确.
故选：C
4．（2022·全国·高二专题练习）（多选）设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当成立时，总有成立.则下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则成立
D．若成立，则当时，均有成立
答案：AD
【解析】对于A：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
若成立，则成立，故A正确；
对于B：若成立，则当时，均有成立，故B错误；
对于C：当成立时，总有成立.
则逆否命题：当成立时，总有成立.
故若成立，则成立，所以C错误；
对于D：根据题意，若成立，则成立，
即成立，结合，
所以当时，均有成立，故D正确.
故选：AD
5．（2022·全国·高二专题练习）（多选）已知一个命题p(k)，k＝2n(n∈N*)，若当n＝1，2，…，1000时，p(k)成立，且当n＝1001时也成立，则下列判断中正确的是（ ）
A．p(k)对k＝528成立
B．p(k)对每一个自然数k都成立
C．p(k)对每一个正偶数k都成立
D．p(k)对某些偶数可能不成立
答案：AD
【解析】由题意知p(k)对k＝2，4，6，…，2002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD.
故选：AD
6．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是______________．
答案：
【解析】当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故答案为：．
7．（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是_______________．
答案：
【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了
，
故答案为：．
8．（2022·辽宁·沈阳二中高二期中）证明不等式，假设时成立，当 时，不等式左边增加的项数是_______．
答案：
【解析】当时，左边，
当时，左边，
而，
所以时不等式左边增加了项.
故答案为：
9．（2022·全国·高二专题练习）已知f(n)＝1＋＋ (n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______.
答案：2k
【解析】观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，
f(2k)＝1＋＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项.
故答案为：2k
