2023～2024学年度高一第一学期期末考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：湘教版必修第一册第一章～第五章。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定形式是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.角度化成弧度为（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知为第四象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在范围内，与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
10.下列函数是奇函数的有（ ）
A. B.
C. D.
11.已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.是奇函数
C.是偶函数 D.在上单调递增
12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的单调减区间为，
C.图象的一条对称轴方程为
D.点是图象的一个对称中心
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则______.
14.函数的定义域为______.
15.在半径为10的圆中，圆心角为的扇形所对的弧的长度为______.
16.已知指数函数（且）在区间上的最大值是最小值的2倍，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
18.（本小题满分12分）
化简求值：
（1）已知，求的值；
（2）.
19.（本小题满分12分）
已知函数是幂函数，且.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知函数为偶函数，当时，.
（1）求函数的值域；
（2）求关于的方程：的解集.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.
2023~2024学年度高一第一学期期末考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.D 命题“，”的否定形式是“，”.
2.A .
3.C ，.
4.D .
5.A 由可知函数是偶函数，函数图象关于轴对称，又由，有，可知答案为A.
6.B ，故选B.
7.C 得.
8.C 由，有.
9.AC 由，，可知答案为AC.
10.AC 对于A选项，定义域为，，所以函数为奇函数；
对于B选项，定义域为，，所以函数是偶函数；
对于C选项，定义域为，，所以函数为奇函数；
对于D选项，，不是奇函数.
11.ACD 因为函数的图象过点，所以，所以，故A正确；所以，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确；又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确.故选ACD.
12.ABC 由题可知，，所以，解得，所以，又在的图象上，所以，所以，所以，又，所以，所以，故A正确；令，解得，所以的单调减区间为，故B正确；令，解得，故C正确；令，解得，故D错误.故选ABC.
13.0 ，.
14. 解得.
15. .
16.或2 ①当时，，得；②当时，，得，故或2.
17.解：（1）；
（2）.
18.解：（1）
；
（2）
.
19.解：（1）因为是幂函数，所以
解得或.
当时，，所以，，
所以，不符合题意；
当时，，所以，，
所以，符合题意.
综上，；
（2）因为，所以的定义域为，且在上单调递增，
所以，即，
解得，即实数的取值范围是.
20.解：（1）因为当时，，
又函数为偶函数，
所以函数的值域为；
（2）当时，，而，故，
当时，记，则，方程可化为，解得（舍去），所以.
综上所述，原方程的解集为.
21.解：（1）令，有，
令，有，
可得函数的增区间为；
减区间为；
（2）当时，，
有，
故函数在区间上的值域为.
22.解：（1）函数在上单调递增，
以下给出证明：
任取，则，
因为，所以，，
所以，即，
因此，故函数在上单调递增；
（2）因为，
所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点，
因为和都在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上有唯一零点.
