2024届安徽省鼎尖名校联盟高三5月第三次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知果合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为( )
A. B.
C. D.
2.已知某地区高中生的身高X近似服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.若，，，则( )
A. B. C. D.
4.直线与圆的公共点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
5.已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则( )
A. 29 B. 31 C. 33 D. 35
6.已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段AB，CD分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体ABCD的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如下图所示，若曲线过点，，，，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线与直线交于M，N两点，点P在线段MN上，且，若点在直线OP上，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若复数，是方程的两根，则( )
A. ，实部不同
B. ，虚部不同
C.
D. 在复平面内所对应的点位于第三象限
10.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，，则( )
A.
B. 的外接圆面积为
C. 若，，则
D. 若，，则
11.已知函数其中，且，则( )
A. B. 函数有2个零点
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为__________.
13.已知四棱锥的底面ABCD为矩形，其中，点平面ABCD，点M，N分别在线段AB，SD上不含端点位置，其中，则四面体CBMN的体积最大值为__________.
14.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“友好曲线”.已知，为一对“友好曲线”的左、右焦点，M为两者在第一象限的交点，当时，这一对“友好曲线”中双曲线的离心率为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知函数
求曲线在处的切线方程;
若，求函数在上的最值.
16.本小题15分
近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间;现调查某地区中学生包含初中生与高中生对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
喜欢增加体育运动时间 不喜欢增加体育运动时间
初中生 160 40
高中生 140 60
在犯错误的概率不超过小概率值的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;
以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望
参考公式：，其中
参考数据：
17.本小题15分
如图，已知四棱锥中，点S在平面ABCD内的投影为点A，，
求证：平面平面
若平面SAB与平面SCD所成角的正弦值为，求SA的值.
18.本小题17分
已知椭圆的长轴长为4，左，右焦点分别为，，上顶点为A，其中直线的斜率为
求椭圆C的标准方程;
已知直线l与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线l的距离为1，求周长的取值范围.
19.本小题17分
已知数列的前n项和为，若数列满足：
①数列为有穷数列;
②数列为递增数列;
③，，，，使得
则称数列具有“和性质”.
已知，求数列的通项公式，并判断数列是否具有“和性质”判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论
若首项为1的数列具有“和性质”.
ⅰ比较与的大小关系，并说明理由;
ⅱ若数列的末项为36，求的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交并补混合运算，属于基础题.
由条件求出集合A和B，再由结合运算即可得解.
【解答】
解：由图可知，阴影部分表示的集合的元素为集合A中的元素除去掉集合的元素构成，
而，，
故所求集合为，
故选
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查正态分布的概率计算，属于基础题．
根据题意利用正态曲线的对称性进行解答即可，
【解答】
解：依题意，，
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查比较大小、涉及对数函数的性质，属于基础题.
根据对数函数的性质，可比较a，b，然后a，c再与2比较大小，可得结果.
【解答】
解：依题意，，故而，
故，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点即可判定.
【解答】
解：直线l过定点，而又在圆C上，而直线l的斜率显然存在，
故公共点的个数为2，
故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列和等差数列的综合应用，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属于中档题．
由题意可得①，②，联立①②可解得，，进而即可求解的值．
【解答】
解：设等比数列的公比为q，
，
①
与的等差中项为，
，
即②
联立①②可解得，，
，
故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆台的体积、球的表面积、球的切、接问题，属于一般题.
利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据 四面体ABCD的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果.
【解答】
解：依题意，设圆台 的高为h，
则 ，解得
四面体ABCD的外接球即为圆台 的外接球，
设其半径为R，球心为O， ，
由已知易得圆台 的上、下底面圆半径分别为 ，，
则 ，
故 ，解得，
故 ，
故四面体ABCD的外接球表面积为
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了五点法作图和两角和与差的余弦公式，属于中档题.
利用五点法作图，结合函数的图象得、和，再利用两角差的余弦公式，计算得结论.
【解答】
解：因为，所以，而，因此，即
因为，所以由“五点法”作图得：，解得，因此
因为，所以，
因为由函数的图象，结合“五点法”作图知：，，
所以由和得：，，
因此
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，是中档题.
设直线OM，ON的方程分别为，，由点到直线OM的距离为r，得，设，，则，故，将直线l与抛物线联立，由韦达定理可得k的值.
【解答】
解：已知直线，设直线OM，ON的方程分别为，，
记点到直线OM的距离为r，则，
整理得，
同理可得，，
故，是方程的两根，故，
设，，则，故，
联立
故，故，
则，故，解得，
故选
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查复数集内解方程、复数的模及其几何意义、共轭复数、复数的代数表示及其几何意义、复数的除法运算，属于一般题.
方程可化为，求出，再对各选项逐项判定，即可求出结果.
【解答】
解：方程可化为，
故，则，是共轭复数，实部相同，虚部互为相反数，故A错误，B正确;
而，故C正确;
，
故在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故D错误.
故选
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了向量的数量积、利用正余弦定理解三角形和三角恒等变换，是中档题.
先由向量的数量积、正弦定理和三角恒等变换得，则，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.
【解答】
解：依题意，，
则，
由正弦定理，，
因为，且，
故，故，
因为，故，故A错误;
则，故其外接圆面积为，故B正确;
而，记，
所以，，，，
在中，由正弦定理，，即，
在中，由余弦定理，，
故，解得，
因为，则，，故C、D正确;
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了分段函数和函数零点，是中档题.
先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【解答】
解：，故A正确;
作出函数的图象如图所示，
观察可知，，而，
故，有3个交点，
即函数有3个零点，故B错误;
由对称性，，而，
故，故C正确;
b，c是方程的根，故，
令，则，
故，而，均为正数且在上单调递增，
故，故D正确，
故选
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项展开式中指定项的系数，属于基础题．
由题意利用乘方的几何意义，二项展开式的通项公式，求出展开式中含的项，可得结论．
【解答】
解：要想产生，则出1个，出2个，y出2个，
故所求系数为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，是中档题.
设，，其中，计算四面体CBMN的体积，再研究最值即可.
【解答】
解：在AD上取点G，使得，由，
设，，其中，
由，，平面ABCD，
可得，，，，
因为，故平面ABCD，
在中，，则，
则的面积为，
故，当且仅当时等号成立.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆、双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，同时考查了余弦定理，属于较难题．
分别运用椭圆和双曲线的定义、结合余弦定理，和离心率公式，解方程可得所求值．
【解答】
解：设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，，
双曲线的实半轴长为a，双曲线的离心率为e，则，，
设，，则，
当点M被看作是椭圆上的点时，有，
当点M被看作是双曲线上的点时，有，
两式联立消去xy得，即，
所以，又，
所以，整理得，解得或舍去，
所以，即双曲线的离心率为
15.【答案】解：依题意，，故，
而，故切点为，
则所求切线方程为
由可知，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
而，，，
故所求最大值为，最小值为
【解析】本题主要考查了导数的几何意义及导数与单调性关系的简单应用，属于中档题．
利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出结果；
利用导数与函数单调性间的关系，求出 和 的解集，即可求出函数的单调区间，再求出两端点函数值及极值，通过比较，即可求出结果.
16.【答案】解：零假设不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联;
依题意，X∽，
，
，
，
，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
则
【解析】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，是中档题.
先得出，对照临界值表可得结论；
依题意，X∽，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望
17.【答案】解：设BC中点为E，连接AE，
因为，且，
故四边形ADCE为正方形，
而，，，
所以，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
又SA，平面SAB，，
所以平面SAB，
因为平面SAC，
所以平面平面
以A为坐标原点，AE、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，，
所以，，
设平面SCD的法向量为，
则即
令，所以，
由知，平面SAB的法向量为，
则，，
解得
【解析】本题考查了面面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.
先证明平面SAB，由面面垂直的判定即可得证；
建立空间直角坐标系，设，得出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用空间向量求解即可.
18.【答案】解：依题意，，
联立三式，解得，，
故椭圆C的方程为
设，，
则，
同理可得，，
易知直线l与单位圆相切，设切点为B，
，同理可得，，
故的周长为，
当直线l的斜率不存在时，
l的方程为或，此时的周长为4或；
当直线l的斜率存在时，设l的方程为，
则原点到直线l的距离，故，
联立化简可得，
故，易知，故，同号;
当时，即，此时点M在y轴右侧，所以，，
此时的周长为为定值;
当时，即，此时点M在y轴左侧，所以，，
此时的周长为
，
因为，故，
当且仅当或时取等号，
从而，故的周长的取值范围为
综上所述，的周长的取值范围为
【解析】本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，是较难题.
由条件联立方程组，解出可得椭圆C的标准方程;
设，，易得的周长为，再分直线l的斜率不存在和存在，两种情况求解计算即可.
19.【答案】解：因为，
所以当时，；
当时，，
而当时，满足，
因此数列的通项公式为
该数列具有“和性质”.
因为首项为1的数列具有“和性质”，
所以，，，，使得，且，，
因此，，所以
因此，，，，，，
所以将上述不等式相加得：，即
因为，所以，因此
因为数列具有“和性质”，所以由③得：，因此数列中的项均为整数.
构造数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，
因此这两个数列具有“和性质”，此时
下面证明的最小值为75，即证明不可能存在比75更小的
假设存在性显然，因为满足的数列只有有限个
第一步：首先说明有穷数列中至少有7个元素.
设有穷数列中元素组合的集合为A，
由知：，，，而，因此，，，，，所以
第二步：证明，
若，设
因为，所以为了使得最小，则在数列中一定不含有，使得，因此
假设，根据“和性质”，对，有，，使得
显然，因此，
所以由有穷数列中至少有7个元素得：集合A中至少还有4个不同于，，的元素，
因此，与矛盾，所以，且
同理可证：
根据“和性质”得：存在、，使得
我们需要考虑如下几种情形：
①当，时，至少还需要一个大于等于4的，才能得到8，因此
②当，时，至少还需要一个大于4的，才能得到7，则；
③当，时，此时为：1，2，3，6，9，18，36，因此；
④当，时，此时为：1，2，4，5，9，18，36，因此；
综上所述，的最小值为
【解析】本题考查了数列的前n项和及与的关系和数列的新定义问题，属于难题.
利用数列的前n项和及与的关系得数列的通项公式，再利用题目所给定义对数列是否具有“和性质”进行判断；
利用题目所给定义得，，，，，，再利用数列的前n项和得结论；
构造具有“和性质”的数列：1，2，3，6，9，18，36或数列：1，2，4，5，9，18，36，此时，再利用反证法得具有“和性质”的数列，不可能存在比75更小的，从而得结论.
