2023-2024学年度下期期中考试八年级数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1．要使式子有意义，字母的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中，最简二次根式的是
A． B． C． D．
4．若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
5．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A．三条边的比为2∶3∶4 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2
C．三条边的比为1∶1∶ D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A
6．如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
7．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB//DC，AD//BC B．AB=DC，AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB//DC，AD=BC
9．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
10．如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ）
A． B． C．5 D．7
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：的结果为 ．
12．如图，在菱形中，为菱形的对角线，，点为中点，则的长为 ．
13．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为 ．
14．已知直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是3cm，直线b与c之间的距离是8cm，那么直线a与c之间的距离是 ．
15．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），那么该如何计算它的面积呢？我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：
（秦九韶公式）
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：
（海伦公式），其中，．
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题：如果一个三角形的三边长依次为，2，，选取合适的公式可以使计算更简便，则这个三角形的面积是多少？
17．（1）计算：．
（2）求代数式的值，其中．
18．如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．
(1)求四边形的面积，
(2)是直角吗？为什么？
20．如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
21．【知识回顾】我们在八年级上学期已学习定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【新知应用】请你利用矩形的性质，证明该定理．
已知：如图1，在中，，O是的中点；
求证： ．
证明：
【灵活运用】如图2，四边形中，，E，F分别是的中点，连接，求证：．
22．【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．
23．（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，函数自变量取值范围，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2．C
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】A. ，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，正确；
D. 无意义，故D错误
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
3．C
【分析】根据最简二次根式的定义选择即可．
【详解】A．，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.是最简二次根式，符合题意；
D.，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．
【详解】解：由图知：，
，，
．
故选：B．
5．A
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；
B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；
C、三条边的比为1：1：，12+12=（）2，故能判断一个三角形是直角三角形；
D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．
故选：A．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．
6．C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18，
∴大正方形边长为：．
∴大正方形面积为．
∴留下的阴影部分面积和为：．
故选：C．
7．A
【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案．
【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25，
∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，
∴两个小正方形的面积和为25，
∴阴影部分的面积为：25+25=50．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．D
【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选D．
9．A
【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可．
【详解】根据折叠的性质，得到，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为．
故选A．
10．B
【分析】连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解．
【详解】解：如图，连接、，
∵，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴要求的最小值就是要求的最小值．
∵点P从B点沿着往D点移动，
∴当时，取最小值．
在中，
∵，，，
∴．
∵，
∴．
∴的长度最小为：．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．
11．3
【分析】本题考查了二次根式的计算，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：
故答案为3．
12．
【分析】根据题意得出是等边三角形，进而得出，根据中位线的性质即可求解．
【详解】解：∵在菱形中，为菱形的对角线，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵是的中点，点为中点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
13．
【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题．
【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，
∴∠COE＝∠OAF，
在△COE和△OAF中，
，
∴△COE≌△OAF，
∴CE＝OF，OE＝AF，
∵A（1，），
∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝，
∴点C坐标，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．11cm或5cm
【分析】画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可．
【详解】解：有两种情况，如图：
（1）直线a与c的距离是3+8＝11（厘米）；
（2）直线a与c的距离是8﹣3＝5（厘米）；
故答案为：11cm或5cm．
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
15．
【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
【详解】如图所示，连接，
∵M，N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵点E是上的动点，
∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，
∴此时，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解题意，熟练的利用提供的公式计算三角形的面积是解本题的关键．
根据三边长依次为，2，，用（海伦公式）求，再计算过程复杂，而用秦九韶公式，先求平方得到整数会计算简单；故代入秦九韶公式计算更简便.
【详解】解：选择秦九韶公式计算，
17．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值：
（1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法，最后计算二次根式加法即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
＝
＝．
（2）∵，
∴，
∴
．
18．见解析
【分析】根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积证明即可
【详解】解：由题意得大正方形面积，小正方形面积，
4个小直角三角形的面积，
∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键在于能够根据题意知晓大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
19．(1)
(2)是直角，理由见解析
【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可得到答案；
（2）由图，连接，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得到答案．
【详解】（1）解：由网格图可知，四边形的面积为
；
（2）解：是直角，
理由如下：连接，如图所示：
∴，，，
，
∴是直角三角形，是直角．
【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
20．(1)平行四边形，见解析
(2)且
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．
【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
21．；见解析
【分析】[新知应用] 求证：．延长至点D，使，连接，证得四边形是平行四边形，根据，得到平行四边形是矩形，即可推出；
[灵活运用]根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，及三角形的中位线定理得到，进而得到，再利用等边对等角得到．
【详解】[新知应用]
解：已知：如图1，在中，，O是的中点；
求证：．
证明：延长至点D，使，连接，
∵O是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：；
［灵活运用］
证明：∵，E是的中点，
∴，
∵F是的中点，
∴EF是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
22．【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可；
（探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立；
（结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（探究提升），∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移，
∴，，
∴四边形、、是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∵四边形是菱形，
∴四边形是菱形，
∵四边形的周长为40，
∴，
作于Q，
∴与之间的距离为8，
∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：80．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析．
【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明；
（2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明；
（3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状.
【详解】证明：（1）的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
