18.3.1反比例函数的图象与性质
一、选择题．
1．若反比例函数y的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2
2．关于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第一、第三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1＞y2
D．函数图象经过点（1，2）
3．（2021春 中原区校级月考）点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在反比例y上，且x1＜0＜x2＜x3，则有（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1
4．反比例函数y的图象分别位于第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k≤﹣1 C．k＞1 D．k＜﹣1
5．关于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ）
A．函数图象分别位于第二、四象限
B．函数图象关于原点成中心对称
C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
6．如果反比例函数y（a是常数）的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＞0 D．a＜0
7．反比例函数y在第一象限内的图象如图，点P是图象上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q．若△POQ的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
8．关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣3） B．y随x的增大而增大
C．图象关于原点对称 D．图象与坐标轴没有交点
9．反比例函数y的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，矩形OABC的一个顶点与坐标原点重合，OC、OA分别在x轴和y轴上，正方形CDEF的一条边在x轴上，另一条边CD在BC上，反比例函数y的图象经过B、E两点，已知OA＝5，则正方形的边长是（ ）
A．42 B．4﹣2 C．22 D．
二、填空题
11．已知反比例函数y的图象经过点（2，﹣4），则k的值为 ．
12．在平面直角坐标系中，若函数y（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
13．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣5，y2），则y1 y2（填＞、＜或＝）．
14．如图，直线AB过原点分别交反比例函数y于A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为 ．
15．在平面直角坐标系中，等边△ABO如图放置，其中B（2，0），则过点A的反比例函数的表达式为 ．
16．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y的图象一个交点的坐标是（﹣1，3），则它们另一个交点的坐标是 ．
17．若函数y与y＝﹣2x﹣4的图象的交点坐标为（a，b），则的值是 ．
18．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y的图象上的两点，若x1＞x2＞0，则y1 y2（填“＜”、“＞”或“＝”）
三、解答题
19．已知反比例函数y的图象经过点A（﹣2，m）．
（1）求m的值；
（2）若点B（x1，y1），C（x2，y2）是该反比例函数图象上的两点，并且满足x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系是 （用“＜”号连接）．
20．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y在第一象限的图象经过点C，交AB于点D，点B坐标为（5，n）．
（1）求n的值和点C的坐标；
（2）若D是AB的中点，求OD的长．
21．已知反比例函数y的图象经过点A（3，n）和B（1，n﹣1）．点P（x1，y1）和Q（x2，y2）也在比反比例函数的图象上，且x1＜x2．
（1）求n和k的值；
（2）试比较y1与y2的大小．
22．在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y的图象性质．
（1）补充表格，并画出函数的图象．
①列表：
x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 5 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 1 …
②描点并连线，画图．
（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ；
（3）函数y的图象是由函数y的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 ；
（4）根据上述经验，猜一猜函数y2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围
．
23．小福同学根据已有经验对函数yx图象与性质进行如下探究
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
y … ﹣1 3 m …
（1）如图，小福在平面直角坐标系中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象；
（2）结合函数图象，解决问题：
①表格中m＝ ．
②直线y＝n与该函数的图象无交点，则n的取值范围为 ；
③写出该函数的一条性质： ．
24．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如表．
x 1 2 3 4 5 6
y 6 3 2 1.5 1.2 1
（1）用描点法在图中画出函数的图象；
（2）求这个函数的表达式；
（3）当0＜a≤x≤2a时，记函数的最大值为M，最小值为N，直接写出的值．
答案
一、选择题．
1．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【解析】∵反比例函数y的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选：D．
2．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据反比例函数的性质对B、C、D进行判断．
【解析】反比例函数y，k＝2＞0，
A、函数图象分别位于第一、三象限，正确；
B、当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，当x＞0时，y随x的增大而减小，正确；
C、若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数图象上，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系不确定，故错误；
D、函数图象经过点（1，2），正确；
故选：C．
3．
【分析】先判断出函数的增减性，再判断出各点所在的象限，根据每个象限内点的坐标特点解答即可．
【解析】∵k＜0，
∴函数图象在二，四象限，由x1＜0＜x2＜x3可知，横坐标为x1的点在第二象限，横坐标为x2，x3的点在第四象限．
∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标，
∴y1最大，在第二象限内，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3＜y1．
故选：B．
4．
【分析】根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解析】∵反比例函数y的图象的两个分支分别位于第二、四象限，
∴k+1＜0，解得k＜﹣1．
故选：D．
5．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．
【解析】反比例函数y，k＝﹣12＜0，
A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；
B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；
C、x＝﹣6时，y＝2≠﹣2，故本选项说法不正确；
D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；
故选：C．
6．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由a﹣2＜0即可解得答案．
【解析】∵反比例函数y的图象分布在第二、四象限，
∴a﹣2＜0，
解得a＜2，
故选：B．
7．
【分析】先设反比例函数的解析式为y，根据△POQ的面积为1，得出|k|＝2，k＝±4，再根据反比例函数在第一象限内，即可求出k．
【解析】∵反比例函数的解析式为y，
∵△POQ的面积为2，
∴|k|＝2，
∴|k|＝4，
∴k＝±4，
∵反比例函数y在第一象限，
∴k＝4；
故选：C．
8．
【分析】根据反比例函数图象是双曲线、反比例函数图象的增减性以及反比例函数图象与系数的关系进行判断即可．
【解析】A、反比例函数，当x＝1时y＝﹣3，说法正确，故本选项不符合题意；
B、反比例函数中k＝﹣3＜0，则该函数图象经过第二、四象限，需要强调在每个象限象限内y随x的增大而增大，故说法错误，本选项符合题意；
C、反比例函数的图象关于原点对称，说法正确，故本选项不符合题意；
D、图象与坐标轴没有交点，说法正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
9．
【分析】根据反比例函数的性质可知，当函数图象在第一、第三象限，则反比例函数的系数大于0，据此列不等式解答即可．
【解析】∵反比例函数y的图象在第一、第三象限，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
符合条件的答案只有A，
故选：A．
10．
【分析】先求出点B坐标，设正方形的边长为a，可得点E（﹣4﹣a，a），代入解析式可求解．
【解析】∵OA＝5，
∴点B的纵坐标为5，
∵点B在反比例函数图象上，
∴5，
∴x＝﹣4，
∴点B（﹣4，5），
设正方形的边长为a，
∴点E（﹣4﹣a，a），
∵点E在反比例函数y的图象上，
∴（﹣4﹣a）a＝﹣20，
∴a＝22，（负值舍去），
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】将已知点的坐标代入解析式，构造方程进而求解．
【解析】∵反比例函数y的图象经过点（2，﹣4），
∴k﹣1＝2×（﹣4）＝﹣8，
解得k＝﹣7．
故答案为﹣7．
12．
【分析】根据已知条件判断函数y（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），即可得到结论．
【解析】∵函数y（a为常数）中，﹣a2﹣1＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∵点A（﹣2，3）在第二象限，B（1，6）在第一象限，
∴点C（﹣4，m）在第二象限，
∵函数y（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），
∴﹣2×3＝﹣4m，
∴m，
故答案为：．
13．
【分析】将点A，点B坐标代入解析式可求y1，y2，即可求解．
【解析】∵反比例函数y的图象过点A（﹣3，y1），B（﹣5，y2），
∴y1，y2＝1，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
14．
【分析】证明△BOC的面积＝△AOC的面积，而△AOC的面积|k|6＝3，即可求解．
【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC的面积＝△AOC的面积，
又∵A是反比例函数y图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积|k|6＝3，
则△ABC的面积为6，
故答案为6．
15．
【分析】作AC⊥OB，根据等边三角形的性质、正弦和余弦的定义分别求出OC、AC，利用待定系数法求出反比例函数解析式．
【解析】过点A作AC⊥OB于C，
设过点A的反比例函数的表达式为y，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝2，∠AOC＝60°，
∴OC＝OA×cos∠AOC＝21，AC＝OA×sin∠AOC＝2，
∴点A的坐标为（1，），
∴，
解得，k，
∴过点A的反比例函数的表达式为y，
故答案为：y．
16．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解析】根据题意，直线y＝k1x经过原点与双曲线y相交于两点，
又由于双曲线y与直线y＝k1x均关于原点对称．
则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣1，3），
则另一个交点的坐标为（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
17．
【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可．
【解析】联立两个函数表达式得，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x＝﹣1，
∴y＝﹣2，
交点坐标是（﹣1，﹣2），
∴a＝﹣1，b＝﹣2，
则1﹣1＝﹣2．
故答案为﹣2．
18．
【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到y1和y2的大小关系，从而可以解答本题．
【解析】∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y的图象上的两点，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞0，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
三、解答题
19．（1）∵反比例函数y的图象经过点A（﹣2，m）．
∴m；
（2）反比例函数y中，k＝﹣3＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞0，
∴B（x1，y1）、C（x2，y2）两点均位于第四象限，
∴y2＜y1．
故答案为：y2＜y1．
20．（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC＝OA＝3，
∵点B坐标为（5，n），
∴C（2，n），
∵反比例函数y在第一象限的图象经过点C，
∴n2，
∴C（2，2）；
（2）∵n＝2，
∴B（5，2），
∵OA＝3，
∴A（3，0），
∵D是AB的中点，
∴D（4，1），
∴OD．
21．（1）将点A（3，n）和B（1，n﹣1）代入反比例函数y，
，
解得，
答：n和k的值分别为：，；
（2）由（1）得，反比例函数解析式为：y，
∵点P（x1，y1）和Q（x2，y2）也在比反比例函数的图象上，
∴y1，y2，
∴y1﹣y2，，
∵x1＜x2．
∴（x1﹣x2）＜0，
∴当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，x1x2＞0，
∴y1﹣y20，
即y1＜y2；
当x1＜0＜x2时，x1x2＜0，
∴y1﹣y20，
即y1＞y2．
22．（1）①x＝3时，y2．
②图象如图所示：
（2）当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小．
（3）函数y的图象是由函数y的图象向右平移1个单位得到．y的对称中心为（1，0）．
故答案为（1，0）
（4）数y2的图象是由y的图象向上平移2个得到，y≥3时，1＜x≤5．
故答案为1＜x≤5．
23．（1）函数图象如图所示：
（2）①令x＝4，
∴y4；
∴m；
②观察图象可知﹣1＜n＜3．
③该函数的其它性质：
函数没有最大值，也没有最小值；
故答案为函数没有最大值，也没有最小值．
24．（1）利用描点法画出图形即可．
（2）由图象可知，y是x的反比例函数，设y（k≠0），
把（1，6）代入得到，k＝6，
∴y关于x的函数解析式为y；
（3）∵x＞0时，反比例函数y中y随x的增大而减小，
∴0＜a≤x≤2a时，函数的最大值为M，最小值N，
∴2．
