拉萨那曲第一高级中学2023~2024学年第一学期高一期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第二章。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列关系中正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命题，，则命题的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设，都是实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知集合，，，则（ ）
A．1 B．0 C．9 D．0或1
9．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，，则
10．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则（ ）
A．2 B．8 C．10 D．2或10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．集合用列举法表示为______．
14．若，使得，则实数的取值范围为______．
15．已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是______．
16．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
求解下列问题：
（1）已知，比较和的大小；
（2）已知，比较与的大小．
18．（本小题满分12分）
写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假．
（1），；
（2）有一个素数是偶数；
（3）任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似．
19．（本小题满分12分）
已知全集，集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知集合，，．
（1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知，，且．
（1）求的最小值；
（2）求的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
拉萨那曲第一高级中学2023~2024学年第一学期高一期中考试 数学
参考答案、提示及评分细则
1．B ①错误；②正确；③错误；④正确，故选B．
2．A ，故选A．
3．C 命题，的否定为，，故选C．
4．A 由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选A．
5．D 由题知：图中阴影部分表示，，则．故选D．
6．A ，当且仅当，即时，等号成立．故选A．
7．C 若取A，B，D可知第二个命题为真，排除A，B，D．故选C．
8．C 由，可得或或，当时，，不符合题意；当时，或，当或0时，不合题意，当时，，经检验，符合题意，故选C．
9．D 当，时，，故A错误；当时，，故B错误；当，时，，故C错误；若，，则，故D正确．故选D．
10．D 令，所以．令，所以，所以，又，所以，即．故选D．
11．D 因为，所以中必定包含元素，2，可能包含元素，3，4，所以的个数即为的子集个数，即，故选D．
12．A 设是的两个实数根，则，，故，解得或．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上，．故选A．
13． 时，；时，；时，，时，；时，；时，，可得．
14． 由，只需要，得．
15． 由，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．
16． 若，原不等式化为在上恒成立；若，原不等式可化为，则解得．综上所述，实数的取值范围为．
17．解：（1）因为，所以；
（2）因为，所以，，，所以．
18．解：（1）命题的否定为“，．”
由，可得命题的否定是假命题．
（2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”，
由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题．
（3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似．”
若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置，那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题．
19．解：（1）若，则，所以，
所以；
（2）因为，所以，即实数的取值范围是．
20．解：（1）集合，，
“”是“”的充分条件，
解得，
实数的取值范围是；
（2）集合，，，
，，
解得，
实数的取值范围是．
21．解：（1）利用基本不等式，知，当且仅当时取等号，
由题意知，因此，
又，，于是，即，故的最小值为4；
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
22．解：（1）因为，所以，所以1是方程的根，
所以，
解得或．
当时，，又，符合题意；
当时，，又，符合题意．
综上，实数的值为或；
（2）因为，所以．
当时，，解得；
当时，由（1）知，符合题意；
当时，无解；
当时，无解．
综上，实数的取值范围是．
