松江二中高二月考数学试卷
2024.05
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．曲线在点处的切线方程为__________．
2．设，则当时，__________．
3．一批种子，如果每1粒种子发芽的概率均为，那么播下4粒种子，发芽种子数量的方差是__________．
4．将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．
5．事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则__________．
6．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为__________．
7．已知椭圆，、为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则__________．
8．已知直四棱柱的所有棱长均为4，且，点是棱BC的中点，则过点且与垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为__________．
9．双曲线的左、右焦点分别为、．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为__________．
10．已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为__________．
11．已知抛物线，直线过点，且与相交于A、B两点，若的平分线过点，则直线的斜率为__________．
12．已知实数a、b、c、d满足，则的最小值为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则；
②已知随机变量服从正态分布且，则；
③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则；
④；．
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②
14．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．定义曲线为椭圆的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．定义区间，，，的长度为．如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”给出下列四个命题：
①函数不是“函数”；
②函数是“函数”，且；
③函数是“函数”；
④函数是“函数”，且．
其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求证：．
18．环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．调研人员采集了50天的数据，制作了关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I、II、III、IV，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8．
（1）完成下面的2×2列联表，并判断至少有多大把握认为"PM2.5平均浓度不小于与“汽车日流量不小于1500辆”有关；
汽车日流量 汽车日流量 合计
PM2.5的平均浓度
PM2.5的平均浓度
合计
（2）经计算得回归方程为，且这50天的汽车日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．
①求相关系数，并判断该回归方程是否有价值；
②若这50天的汽车日流量满足，试推算这50天的PM2.5日均浓度的平均数．（精确到0.1）
参考公式：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
回归方程，其中．
相关系数．若，则认为与有较强的线性相关性．
19．某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择：
方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元；
方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元．
（1）若用方案一，求X的分布与数学期望；
（2）①比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？
请说明理由；
②若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为100万元，为数据的方差，计算结果为225，若规定奖金只有贡献利润大于115万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则．
20．已知函数．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值；
（2）设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围；
（3）对于函数，若函数有两个极值点为、，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．如图，已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心在轴上，直线AC交轴于点，且点在点右侧，记、的面积分别为、．
（1）证明：A、B两点的纵坐标之积为定值；
（2）设，求点的横坐标（用表示）；
（3）求的最小值及此时点的坐标．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
2．【详解】因为，又由题可得，，
可得，即，可得．
3．【答案】
【解答】如果每1粒发芽的概率为，发芽种子数量，
那么，故答案为：．
4．【详解】连号有：1和2，2和3，3和4，4和5，共4个，其它号码各为一组，分给4人，共有种．
5．【答案】
【解析】因为事件A、B互斥，所以，
又因为代入上式可得，所以．
6．【答案】
【详解】由表格数据知：，，
因为数对满足，得，
，即，，时，．
故当时，蝗虫的产卵量的估计值为．
7．【答案】
【解答】椭圆，，为两个焦点，，为原点，为椭圆上一点，
，设，不妨，可得，，即，可得，，可得．可得．
8．【答案】
【解答】取靠近点的四等分点，取AB的中点，连接EF，EG，FG，如图所示，
直四棱柱，底面，，
底面为菱形，，
又，平面，，
点是棱BC的中点，点是AB的中点，，，
取的中点，连接，则，，
为等边三角形，，
又平面平面，且平面平面，
平面，，
又，平面，，
又，平面，
为过点且与垂直的平面截该四棱柱所得的截面，
易求，
底面为边长是4的菱形，且，
，，，
．
9．【解答】因为过作一条渐近线的垂线，垂足为，
则，所以①，联立，可得，即，因为直线的斜率，整理得②，
①②联立得，，故双曲线方程为．
10．【解析】当时，无解，故没有零点，
当时，，
当时，，则，
当时，，则，
以此类推，，而，
当有1个交点，以后每个周期内有2个交点，在区间无交点，所以共有个交点，所以函数的零点个数为643个．故答案为：643
11．【答案】
【解答】设直线的方程为，即，
再设直线OA、OB的方程分别为、，即、，
的平分线过点，，整理得，即，
设，，则，即，联立，
得．，即，，，
又，可得，解得．
12．【答案】
【详解】，，，
设，，则点在曲线上，在直线上，
设曲线上切线斜率为1的切点为，
，当时，，此时函数递增，
当时，，函数递减，故当时，，
直线在曲线上方，由，即，
记，显然在上是增函数，而，是的唯一解．
，，点到直线的距离为，
的最小值为．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．【答案】A
【详解】对于（1）：随机变量服从二项分布，
则，故①正确；
对于②：随机变量服从正态分布且，
则，故②正确；
对于③：事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，
则，，所以，故③正确；
对于④：，，故④错误．故选：A．
14．【答案】A
【详解】由题意，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，所以．故选：A．
15．【答案】C
【详解】曲线上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个，故选：C．
16．【答案】B
【详解】对于①，的定义域为，，，，函数在上单调递增，显然函数不是“函数"，故①是真命题．
对于②，的定义域为，，当时，函数单调递增，故只需，即，记，，其图象如图1所示：若当时，，由图象，可知当时，，而，，当时，函数单调递增，增区间的长度为，则，，显然成立，函数是“函数"，，，即，故②是真命题．
对于③，函数的定义域为，，显然当时，，此时函数单调递增，故函数不是“函数”，故③是假命题．对于④，函数的定义域为，，当时，单调递增，故只需，即，记，其图像及的图象如图2所示：若当时，，由图象，可知当时，，而，．当时，，函数单调递增，显然增区间的长度为，则，，函数是“函数”，又，，故④是真命题．综上所述，真命题的个数为3．故选：B
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．【解析】（1）因为，面，面，所以面．
因为是矩形，所以，又面，面，所以面．
又，且、平面，所以面面．
（2）因为是矩形，所以．
因为面面，且面面，面，
所以平面，而平面，所以．
因为，，、面，所以面，
因为面，所以．（也可以在平面后，用三垂线定理得结论）
18．【详解】（1）2×2列联表如下：
汽车日流量 汽车日流量 合计
PM2.5的平均浓度 16 8 24
PM2.5的平均浓度 6 20 26
合计 22 28 50
零假设：“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆”无关，
因为，
所以至少有的把握（但还不能有的把握）认为“PM2.5平均浓度不小于”与“汽车日流量不小于1500辆有关”．
（2）①因为回归方程为，所以，
又因为，，
所以．
，与有较强的相关性，该回归方程有价值．
②，解得．
而样本中心点位于回归直线上，
因此可推算．
19．【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
的分布列为：
X 3 4 5 6
P
期望值．
（2）①对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6，
，，，，
的期望值．
所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高．
②平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为，
则给员工颁发奖金的总数为（万元），
设每位职工为企业的贡献的数额为，
所以获得奖金的职工数约为
则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）．
20．【详解】（1）解：因为，其中，则，
所以，，，
所以，函数的图象在点处的切线方程为，
将原点的坐标代入切线方程可得，解得．
（2）解：，则，
因为函数在区间上为减函数，
故对任意的，恒成立，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，则，故．
故实数的取值范围是．
（3）解：因为，
由题意可知，方程在上有两个不等的实根，
即方程在上有两个不等的实根，
则，可得，
由可得，
又因为
，
所以，，
令，令，其中，
所以，函数在上为减函数，
故当时，，所以，
因此，实数的取值范围是．
21．【详解】（1）设，，
设直线AB的方程为，与抛物线方程联立可得：
，故：，，
，即A、B两点的纵坐标之积为定值．
（2），，
设点的坐标为，由重心坐标公式可得：
，，
令可得：，则．即，
由斜率公式可得：，
直线AC的方程为：，
令可得：，
又，焦点，，，，所以．
（3），
且，
由于，代入上式可得：，
由，可得，则，
则
．
当且仅当，即，时等号成立．
此时，，则点的坐标为．
