河南省安阳市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次阶段考试数学试题
一、单选题（每题5分,共40分)
1.随着老龄化时代的到来,某社区为了探讨社区养老模式,在社区内对2400名老年人、2400名中年人、2100名青年人用分层抽样方法随机发放了调查问卷345份,则在老年人中发放的调查问卷份数是
A.110 B.115 C.120 D.125
2.已知复数表示纯虚数,则
A.1 B.-1 C.1或-1 D.2
3.已知正方形ABCD的边长为,则的值为
A.-6 B.-5 C.-4 D.-3
4.已知在正四面体中,为AB的中点,则直线CM与AD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
5.已知向量,则下列结论:
①若,则 ②若,则 ③若与的夹角为,则
其中正确结论的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
6.如图,已知点是的重心,过点作直线分别与AB,AC两边交于M，N两点,设,则的最小值为
A.9 B.4 C.3 D.
7.已知正方体的棱长为2,P为的中点,过三点作平面,则该正方体的外接球被平面截得的截面圆的面积为
A. B. C. D.
8.在一堂数学实践探究课中,同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度.如图所示,将小镜子放在操场的水平地面上,人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置,此时测量人和小镜子的距离为,之后将小镜子前移,重复之前的操作,再次测量人与小镜子的距离为,已知人的眼睛距离地面的高度为,则钟楼的高度大约是
A. B. C. D.
二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分）
9.已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的有
A.若,则 B.若,则.
C.若,则
D.若m,n为异面直线,,则
10.已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是
A.若,则是等腰三角形 B.若,则是直角三角形
C.若,则是直角三角形
D.“”是“是等边三角形”的充分不必要条件
11.已知正四面体的棱长为,则
A.正四面体的外接球表面积为 B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D.正四面体在正四面体的内部,且可以任意转动,则正四面体的体积最大值为
三、填空题（每题5分,共15分）
12.已知复数满足,(i为虚数单位),则__________.
13.在棱长为1的正方体中,点是该正方体表面上的一个动点,且平面,则点的轨迹长度是__________.
14.在直角中,,平面ABC内动点满足,则的最小值为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)已知是复数,和均为实数,,其中i是虚数单位.
(1)求复数的共轭复数;
(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限,求实数的取值范围.
16.(本小题满分15分)在四棱锥中,平面ABCD,底面是边长是1的正方形,侧棱PA与底面成的角,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN//平面PAD;
(2)二面角平面角的正切值.
17.(本小题满分15分)在直四棱柱中,底面ABCD为平行四边形,.
(1)证明:;
(2)若,当PA与平面PBC所成角的正弦值最大时,求四棱锥的体积.
18.(本小题满分17分)已知的内角A,B,C的对边为a,b,c,且.
(1)求;
(2)若的面积为;
(i)已知为BC的中点,求底边BC上中线AE长的最小值;
(ii)求内角A的角平分线AD长的最大值.
19.(本小题满分17分)若是平面内不共线的三点,且同时满足以下两个条件:
①;②存在异于点A的点使得:与同向且,则称点为可交换点组.已知点是可交换点组.
(1)求∠BAC;
(2)若求的坐标;
(3)记中的最小值为,若,点满足,求的取值范围.
安阳一中2023-2024学年第二学期第二次阶段考试
高一数学参考答案
1-5CBACB 6-8CBD 9.AD 10.ABD 11.BD
12、 13、 14、0
15.解：(1)设则,
为实数,,解得,
为实数,
，解得;
(2)由(1)可知,,
复数在复平面内对应的点在第一象限,
,解得,故实数的取值范围为.
16.解:(1)设PD的中点为,连NE,AE,
根据三角形的中位线可知,且,
是AB的中点,
,且,且,
四边形AMNE是平行四边形,则,
又平面PAD,MN平面平面PAD.
(2)连接AC,BD,相交于点,连接PO,
因为平面平面ABCD,所以,
又在正方形ABCD中,面PBD,所以面PBD,
又面PBD,所以,所以为二面角平面角,记为,,
故二面角平面角的正切值为.
17.解:(1)如图,连接BD,设,连接PO.
因为,平面平面ABCD,故,而平面PDB,
故平面PDB,而平面PDB,故,由四边形ABCD为平行四边形可得,
故为等腰三角形,即;
(2)设,
由(1)可得平面PDB,而平面PDB,故,故四边形ABCD为菱形,而,故.
因为平面平面ABCD,故,故,同理.
而,故.
设为点A到平面PBC的距离,PA与平面PBC所成的角为,故.
又,
而,
故,故,
故,
当且仅当即时等号成立,
故此时.
18.解：（1）由正弦定理,得,即,
故,因为,所以,
所以；
(2)(i)由(1)知,且的面积为,
由三角形的面积公式得:,解得,
由于为BC的中点,则,两边平方可得:
由基本不等式可得:
(当且仅当时,等号取得到),
所以,故AE长的最小值为;
(ii)因为AD为角A的角平分线,所以,
由于,所以,
由于,所以,
由于,
又,所以，
由于(当且仅当时,等号取得到),
故,
故,即角平分线AD长的最大值为.
19.解:(1)因为与同向,设,
则,
又.因为,所以,所以,
由,得，
又,所以.
(2)由(1)知.所以,
因为,
所以,
则,解得所以的坐标为.
(3)设BC的中点为,则,又,
所以,即为的重心,又是正三角形,点是的中心,
所以,,
由对称性,不妨设与的夹角为,如图所示,
由图可知,与与的夹角分别为,
所以的值分别为,
当时,,
所以,其取值范围是.
所以的取值范围是.
