不等式与不等式组单元检测
一、单选题
1．下列式子中，是不等式的有( )．
①2x＝7；②3x＋4y；③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1.
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解
4．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
5．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
6．对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3 B．此不等式组的解集为
C．此不等式组有5个整数解 D．此不等式组无解
7．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A． B． C． D．
9．已知x=2是不等式的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
10．若关于x的不等式mx- n＞０的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤8
12．已知x满足则|x－2|－|x＋5|值为( )
A．－2x－3 B．7 C．－7 D．2x＋3
二、填空题
13．若是关于的一元一次不等式，则________．
14．不等式＞＋2的解是__________．
15．若a＜b，则-5a______-5b(填“＞”“＜”或“=”)．
16．不等式组的解集为__________．
17．点P(x－2，x＋3)在第一象限，则x的取值范围是___________．
18．若方程组的解x，y满足x＋y＜0，则k的取值范围为___________．
19．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为_______________．
20．已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是___________．
21．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是 cm.
三、解答题
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
已知实数x、y满足2x+3y=1．
( 1)用含有x的代数式表示y；
若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
(3)若实数x、y满足x＞﹣1，y≥﹣，且2x﹣3y=k，求k的取值范围．
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
25．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.
26．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第27课 不等式与不等式组单元检测
一、单选题
1．下列式子中，是不等式的有( )．
①2x＝7；②3x＋4y；③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1.
A．5个 B．4个
C．3个 D．1个
【答案】B
【解析】
【详解】
解：不等式有：③－3＜2；④2a－3≥0；⑤x＞1；⑥a－b＞1，共4个．故选B．
2．若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【详解】
A. 在不等式a
【点睛】
本题考查不等式的性质，在利用不等式的性质时需注意，在给不等式的两边同时乘以或除以某数（或式）时，需判断这个数（或式）的正负，从而判断改不改变不等号的方向.解决本题时还需注意，要判断一个结论错误，只需要举一个反例即可.
3．下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A、B选项，可分别写出满足题意的不等式的解，从而判断A、B的正误；
对于C、D，首先分别求出不等式的解集，再与给出的解集或解进行比较，从而判断C、D的正误.
【详解】
A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；
B. 不等式x> 5的负整数解集有 4， 3， 2， 1.故正确,不符合题意；
C. 不等式 2x<8的解集是x> 4,故错误.
D. 不等式2x< 8的解集是x< 4包括 40，故正确,不符合题意；
故选:C.
【点睛】
本题是一道关于不等式的题目，需结合不等式的解集的知识求解；
4．如果│x+y－1│和2（2x+y－3）2互为相反数，那么x，y的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【详解】
∵|x+y-1|和2(2x+y-3)2互为相反数，
∴|x+y-1|+2(2x+y-3)2＝0，
∴|x+y-1|＝0，2(2x+y-3)2＝0，
∴x+y-1=0,2x+y-3=0
∴x=2,y=-1.
故选C.
【点睛】
考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0，|x+y-1|和2（2x+y-3）2都是非负数，所以这个数都是0．
5．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23
【答案】C
【解析】
【详解】
解：根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，
第三次运算结果大于95可得不等式组，
解不等式①得，x≤47；
解不等式②得，x≤23；
解不等式③得，x>11，
所以不等式组的解集为11
6．对于不等式组，下列说法正确的是（ ）
A．此不等式组的正整数解为1，2，3
B．此不等式组的解集为
C．此不等式组有5个整数解
D．此不等式组无解
【答案】A
【解析】
【详解】
解：，解①得x≤，解②得x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤，所以不等式组的整数解为1，2，3．故选A．
点睛：本题考查了一元一次不等式组的整数解：利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
7．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出两个关于x的不等式的解集，再根据不等式组恰有3个整数解，即可得a的范围．
【详解】
解不等式x＜2（x﹣a），得：x＞2a，解不等式x﹣1x，得：x≤3．
∵不等式组恰有3个整数解，∴0≤2a＜1，解得：0≤a．
故选A．
【点睛】
本题考查了不等式组的整数解，求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集确定a的范围是关键．
8．关于x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可.
【详解】
根据x的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x的负整数解为-1和-2
综合上述可得
故选A.
【点睛】
本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.
9．已知x=2是不等式的解，且x=1不是这个不等式的解，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．1≤a≤2
【答案】C
【解析】
【详解】
∵x=2是不等式(x 5)(ax 3a+2) 0的解，∴(2 5)(2a 3a+2) 0，解得：a 2，
∵x=1不是这个不等式的解，∴(1 5)(a 3a+2)>0，解得：a>1，
∴1故选C.
10．若关于x的不等式mx- n＞０的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先解不等式mx- n＞０，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【详解】
解不等式：mx- n＞０
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：
∴x＜
故选；B
【点睛】
本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.
11．如果不等式组有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞5 B．m≥5 C．m＜5 D．m≤8
【答案】C
【解析】
【详解】
∵不等式组有解，
∴m＜5．
故选C．
【方法点睛】本题主要考查的是不等式的解集，依据口诀列出不等式是解题的关键．
12．已知x满足则|x－2|－|x＋5|值为( )
A．－2x－3 B．7 C．－7 D．2x＋3
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出不等式组的解集，然后根据x的取值范围来去绝对值．
【详解】
由(1)得，
由(2)得，x> 5
则：|x 2|=2 x，|x+5|=x+5；
所以
故选A.
【点睛】
考查解一元一次不等式组以及绝对值的化简，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键.
二、填空题
13．若是关于的一元一次不等式，则________．
【答案】1
【解析】
【详解】
【分析】用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.所以，=1，且≠0.
【详解】因为是关于的一元一次不等式，
所以，=1，且≠0，
解得m=1
故答案为1
【点睛】本题考核知识点：一元一次不等式定义. 解题关键点：理解一元一次不等式定义.
14．不等式＞＋2的解是__________．
【答案】x＞－3
【解析】
【详解】
＞＋2, 去分母得： 去括号得： 移项及合并得： 系数化为1得： .
故答案为x＞－3.
15．若a＜b，则-5a______-5b(填“＞”“＜”或“=”)．
【答案】＞
【解析】
【详解】
试题解析：∵a＜b，
∴-5a＞-5b；
16．不等式组的解集为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
分析：先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．
详解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，
解不等式，得：x＞-3，
则不等式组的解集为-3＜x≤，
故答案为-3＜x≤．
点睛：此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
17．点P(x－2，x＋3)在第一象限，则x的取值范围是___．
【答案】x＞2
【解析】
【详解】
∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，
∴x-2＞0，x+3＜0，解得：x＞2，
故答案是：x＞2
18．若方程组的解x，y满足x＋y＜0，则k的取值范围为___________．
【答案】k＜－4
【解析】
【详解】
试题解析：，
①+②得：4（x+y）=k+4，即x+y=，
代入已知不等式得：＜1，
解得：k >-4.
19．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为____．
【答案】4
【解析】
【详解】
解:解不等式2x+1＞3可得x＞1，
解不等式a-x＞1，可得x＜a-1，
然后根据不等式组的解集为1＜x＜3，
可知a-1=3，解得a=4.
故答案为4.
【点睛】
此题主要考查了不等式组的解，解题关键是根据不等式组的解集和求出不等式的解集的特点，求解即可.
20．已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】
解：由4x+2＞3x+3a，
解得x＞3a﹣2，
由2x＞3（x﹣2）+5，
解得3a﹣2＜x＜1，
由关于x的不等式组仅有三个整数解，
得﹣3≤3a﹣2＜﹣2解得，
故答案为：.
考点：一元一次不等式组的整数解
21．铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长宽高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽之比为3:2，则该行李箱长度的最大值是 cm.
【答案】78.
【解析】
【分析】
设长为3x，宽为2x，再由行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，可得出不等式，解出即可．
【详解】
解：设长为3xcm，宽为2xcm，
由题意，得：5x+30≤160，
解得：x≤26，
故行李箱的长的最大值为78．
故答案为78cm．
三、解答题
22．解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】-7＜≤1.数轴见解析.
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.
【详解】
解：
解不等式①，得≤1
解不等式②，得＞-7
∴不等式组的解集为-7＜≤1.
在数轴上表示不等式组的解集为
故答案为-7＜≤1.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键.
23．已知实数x、y满足2x+3y=1．
(1)用含有x的代数式表示y；
(2)若实数y满足y＞1，求x的取值范围；
(3)若实数x、y满足x＞﹣1，y≥﹣，且2x﹣3y=k，求k的取值范围．
【答案】（1）y=；（2）x＜﹣1；（3）﹣5＜k≤4．
【解析】
【分析】
（1）解关于y的一元一次方程即可；
（2）根据y＞1，将（1）中的式子列成不等式即可；
（3）先解关于x、y的方程组，再根据x＞﹣1，y≥﹣，列不等式组即可.
【详解】
解：（1）2x+3y=1，
3y=1﹣2x，
y=；
（2）y=＞1，
解得：x＜﹣1，
即若实数y满足y＞1，x的取值范围是x＜﹣1；
（3）联立2x+3y=1和2x﹣3y=k得：，
解方程组得：，
由题意得：，
解得：﹣5＜k≤4．
【点睛】
本题目是一道方程、方程组、不等式、不等式组的综合运用.第（3）问有难度，先解关于x、y的方程组，再根据x＞﹣1，y≥﹣，列不等式组即可.
24．在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元.
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低.
【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元（2）见解析
【解析】
【详解】
解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：
，解得：．
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台，
则，解得：，即a=15，16，17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台.总费用为万元；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台.总费用为万元；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元．
∴方案三费用最低．
（1）设电脑、电子白板的价格分别为x,y元，根据等量关系：“1台电脑+2台电子白板=3.5万元”，“2台电脑+1台电子白板=2.5万元”，列方程组求解即可．
（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解．设购进电脑x台，电子白板有(30－x)台，然后根据题目中的不等关系“总费用不超过30万元，但不低于28万元”列不等式组解答．
25．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；（2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；（3）在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【解析】
【分析】
（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，利用超市准备用不多于7500元，列不等式160a+120（50﹣a）≤7500，解不等式可得答案；
（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过1850元，列不等式（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，结合（2）问，得到的范围，由为非负整数，从而可得答案．
【详解】
解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
①②得：
把代入①得：
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤．
因为：为非负整数，所以：的最大整数值是
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）根据题意得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
＞
解得：a＞35，
∵a≤，
＜,
a为非负整数，
或
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应用的方案问题，掌握以上知识是解题的关键．
26．解方程|x－1|＋|x＋2|＝5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x＝2或x＝－3.
参考阅读材料，解答下列问题：
(1)方程|x＋3|＝4的解为________．
(2)解不等式|x－3|＋|x＋4|≥9；
(3)若|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【答案】(1) 1和－7；(2) x≥4或x≤－5(3) a≤7
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
(2)不等式|x－3|＋|x＋4|≥9表示到3与－4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；
(3)|x－3|＋|x＋4|≥a对任意的x都成立，即求到3与－4两点距离的和最小的数值．
【详解】
(1)方程|x＋3|＝4的解就是在数轴上到－3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和－7.故解是1和－7；
(2)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和－4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．在数轴上，即可求得x≥4或x≤－5.
(3)|x－3|＋|x＋4|即表示x的点到数轴上与3和－4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与－4之间时，距离的和最小，是7.故a≤7.
【点睛】
此题主要考察不等式的应用，熟知不等式与数轴的关系是解题的关键.
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