第十二章 全等三角形 综合素质评价
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[母题 教材P33习题T3] 若如图中的两个三角形全等，则α等于( )
(第1题)
A．50° B．55° C．60° D．65°
2．[母题 教材P43习题T1] 如图，AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的度数是( )
(第2题)
A．110° B．100° C．120° D．80°
3．[2024重庆黔江区期末]如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是( )
(第3题)
A．只带①去 B．带②③去 C．带①③去 D．只带④去
4．[情境题 生活应用] 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
(第4题)
A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．无法确定
5．[新视角 动点探究题]如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝8，BD＝10，AD＝6，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是( )
(第5题)
A．6 B．4．8 C．4 D．3
6．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，∠2－∠1＝( )
(第6题)
A．60° B．75° C．90° D．105°
7．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝5，AD＝12，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ( )
(第7题)
A．20 B．25 C．28 D．30
8．如图，点B，D，E在同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥BE，CE⊥BE，AB＝BC，AD＝7，CE＝4，则DE的长为( )
(第8题)
A．2 B．3 C．4 D．7
9．如图，点P是∠BAC的平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝4，PB＝2，则PC的长不可能是( )
(第9题)
A．3 B．4 C．5 D．6
10．[2024泰安二模]如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝( )
(第10题)
A．40° B．45° C．50° D．60°
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．[母题教材P53图2]“三月三，放风筝”，如图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用测量，就知道∠DEH＝∠DFH，小明是通过全等三角形的知识得到的结论，则小明判定三角形全等的依据是 (用字母表示)．
12．[新视角 条件开放题]如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件 时，就可得到△ABC≌△FED．(只需填写一个你认为正确的条件)
(第12题)
13．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂线，F为DE上一点，BF＝10 cm，CF＝3 cm，则AC＝ cm．
(第13题)
14．[2024广州番禺区期末]如图，平面直角坐标系中，△ABC≌△FED，若A点的坐标为(－3，1)，B，C两点的纵坐标均为－4，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为 ．
(第14题)
15．添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，连接AF，如图②．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 ．
(第15题)
三、解答题(本大题共6个小题，共75分)
16．(10分)如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B＝∠C，BD＝CE，求证：△ABD≌△ACE．
17．(10分)[2024济南章丘区期末]如图所示，小安同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A，D，C，F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠A＝20°，∠AFE＝102°，求∠E的度数．
18．(12分) [情境题 生活应用] 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．
(1)求证：OC平分∠AOB；
(2)继续测量得∠AMC＝50°，∠MCN＝30°，求∠AOB的度数．
19．(12分)如图，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．
(1)求证：BE＝CF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BOF的度数．
20．(15分) [2024达州达川区期末]如图，在△ABC和△BCD中，AC＝CD，∠BAC＋∠BDC＝180°，在BD的延长线上取点E，使DE＝AB，连接CE．
(1)求证：∠ABC＝∠DBC；
(2)连接AD交BC于点F，若∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，求证：BD＝AB＋AF．
21．(16分) [2024北京朝阳区期中]在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD．
(1)如图①，当点D是BC边的中点时，S△ABD∶S△ACD＝ ；
(2)如图②，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD∶S△ACD的值(用含m，n的式子表示)；
(3)如图③，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．
答案
一、1． B 2． A 3． D 4． B 5． A 6． C 7． D 8． B 9． A
10． C 【点拨】如图，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M，设∠PCD＝x°．∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN．∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN．∴PF＝PM．又∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD－∠BPC＝x°－40°．∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝2x°－2（x°－40°）＝80°．∴∠CAF＝100°．在Rt△PFA和Rt△PMA中， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）．
∴∠CAP＝∠FAP＝∠CAF＝50°．
二、11． SSS 12． BC＝DE（答案不唯一） 13．13 14．5
15．64 【点拨】由题意知∠ABD＝180°－∠BDA－∠BAD＝90°－∠BAD，∠C＝180°－∠ABC－∠BAD＝90°－∠BAD，∴∠ABD＝∠C．
又∵∠E＝∠C，∴∠ABD＝∠E．
在△ABF和△BED中，
∴△ABF≌△BED（SAS）．
∴S△ABF＝S△BDE．∵S△ABD＝BD·AD＝×20×16＝160，BF＝DE＝BD＝×20＝8，
∴DF＝BD－BF＝20－8＝12．∴S△AFD＝AD·DF＝×16×12＝96．∵S△ABF＝S△ABD－S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160－96＝64．
三、16．【证明】∵∠B＝∠C，∴AB＝AC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．
17．（1）【证明】∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF．∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE．在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴∠A＝∠D，∴AB∥DE．
（2）【解】∵∠AFE＝102°，∴∠EFD＝180°－∠AFE＝180°－102°＝78°．由（1）知∠D＝∠A．
∴∠E＝180°－∠D－∠EFD＝180°－∠A－∠EFD＝180°－20°－78°＝82°．
18．（1）【证明】由题意得CM＝CN．在△OMC和△ONC中，
∴△OMC≌△ONC（SSS）．∴∠MOC＝∠NOC．
∴OC平分∠AOB．
（2）【解】∵△OMC≌△ONC，∠MCN＝30°，∴∠MCO＝∠NCO＝15°．∵∠AMC＝∠MCO＋∠MOC＝50°，∴∠MOC＝50°－15°＝35°．∴∠AOB＝2∠MOC＝70°．
19．（1）【解】∵∠CAB＝∠EAF，
∴∠CAB＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE．
∴∠BAE＝∠CAF．
在△BAE和△CAF中，
∴△BAE≌△CAF（SAS）．∴BE＝CF．
（2）【解】由（1）知△BAE≌△CAF，
∴∠EBA＝∠FCA．
∵∠BDA＝∠ODC，∴∠BAD＝∠COD．
∵∠BAC＝80°，∴∠COD＝80°．∴∠BOF＝180°－∠COD＝100°．
20．【证明】（1）∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∠CDE＋∠BDC＝180°，∴∠CDE＝∠BAC．
在△BAC和△EDC中，
∴△BAC≌△EDC（SAS）．
∴∠ABC＝∠CEB，BC＝CE．∴∠CEB＝∠CBE．
∴∠ABC＝∠DBC．
（2）在BD上截取BH＝AB，连接FH．
∵∠ABD＝60°，∠ADB＝40°，∴∠BAD＝80°．
在△ABF和△HBF中，
∴△ABF≌△HBF（SAS）．
∴∠BAD＝∠BHF＝80°，AF＝FH．
∵∠BHF＝∠ADB＋∠DFH，∴∠ADB＝40°，
∴∠DFH＝40°＝∠ADB．
∴DH＝FH＝AF．∴BD＝BH＋DH＝AB＋AF．
21．【解】（1）1∶1
（2）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．∵AD为∠BAC的平分线，∴DE＝DF．∵AB＝m，AC＝n，
∴S△ABD∶S△ACD＝∶＝m∶n．
（3）∵AD＝DE，由（1）知S△ABD∶S△EBD＝1∶1，S△BDE＝10，∴S△ABD＝10．∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB，∴由（2）得S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝5∶3．∴S△ACD＝6．∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝10＋6＝16．
