第十五章 分式 综合素质评价
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
2. [母题教材P145练习T1]在标准状态下气体分子间的平均距离为0.000 33 m，将0.000 33用科学记数法应表示为( )
A.3.3×10－4 B.33×10－3 C.3.3×10－3 D.33×10－4
3.如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A.不变 B.扩大2倍 C.扩大4倍 D.缩小2倍
4.[2024成都武侯区模拟]已知x＝1是分式方程＝的解，则a的值为( )
A.－1 B.1 C.3 D.－3
5.[2023唐山一模]若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是( )
A. y－x B. y＋x C.2x D.
6.化简(x－1＋y－1)(x＋y)－1的结果是( )
A. xy B. C. D.
7. [新趋势 跨学科]相机成像的原理公式为＝＋(u≠f，v≠f)，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.下列用f，u表示v正确的是( )
A. v＝ B. v＝ C. v＝ D. v＝
8.如图，下面的计算过程中，开始出现错误的一步是( )
A.① B.② C.③ D.④
9.[2024德阳旌阳区二模]若＝＋，则A，B的值为( )
A. A＝3，B＝－2 B. A＝2，B＝3
C. A＝3，B＝2 D. A＝－2，B＝3
10.[2024东莞期末]设p＝－，q＝－，则p，q的关系是( )
A. p＝q B. p＞q C. p＋q＝0 D. p＜q
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.计算：2－1＋(π－1)0＝ .
12. [母题教材P134习题T13] 若分式的值为零，则a的值是 .
13. A，B两地相距120 km，甲骑摩托车，乙驾驶小汽车，同时从A地出发去B地.已知小汽车的速度是摩托车速度的1.6倍，乙中途休息了0.5 h还比甲早到0.4 h，则小汽车的速度为 km/h.
14.[2024常德期末]若关于x的分式方程－1＝无解，则m＝ .
15. [新视角 规律探索题]如图，将形状大小完全相同的“〇”按照一定的规律摆放，记图①中的“〇”的个数为a1，图②中的“〇”的个数为a2，图③中的“〇”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值是 (n为正整数).
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16.(8分) [母题教材P152练习]解方程：
(1)＋＝1； (2)－＝1.
17.(9分)先化简，再求值：÷，其中a＝2.
18.(9分)[2023长春]随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3 000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？
19.(9分)(1)化简：÷.
(2)把(1)中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当a＞1时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由.
20.(9分)已知关于x的方程－2＝.
(1)当k＝3时，求x的值；
(2)若原方程的解是正数.求k的取值范围.
21.(9分) [情境题 游戏活动]小明和小强一起做分式的游戏，如图所示.他们面前各有三张牌(互相可以看到对方的牌)，两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜.为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数.
(1)小明组成的分式中值最大的分式是 ，小强组成的分式中值最大的分式是 ；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明.
22.(11分)[2024鄂州华容区期末]阅读下面材料，解答下面的问题.
解方程：－＝0.解：设y＝，则原方程化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2.经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解.当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝.
经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x1＝－1，x2＝.
上述这种解分式方程的方法称为换元法.
问题：
(1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 ；
(2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为 ；
(3)仿照上述方法解方程：－－1＝0.
23.(11分)“五一”劳动节期间，某公司计划购买A，B两种型号的保温杯发给公司员工，已知每个A型保温杯的售价比B型保温杯的售价少10元，用1 200元购买A型保温杯的个数是用1 000元购买B型保温杯个数的.请解答下列问题：
(1)A，B两种型号的保温杯每个进价各是多少元？
(2)若该公司购买B型保温杯比A型保温杯的个数少9个，且A型保温杯不少于38个，购买A，B两种型号保温杯的总费用不超过3 150元，请你求出该公司有哪几种购买方案.
(3)为奖励公司的模范工作者，公司准备购买甲、乙两种奖品(两种奖品都要购买)，所花费的金额与(2)中最少的费用相同，已知甲种奖品每个270元，乙种奖品每个240元，求出购买甲、乙两种奖品的个数.
答案
一、1. C 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B 7. D 8. B 9. B 10. C
二、11. 12.2 13.80 14.2 15.
三、16.【解】（1）去分母，得4－x－1＝x－3.
解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0，
∴x＝3不是原分式方程的解.∴原分式方程无解.
（2）去分母，得（x＋1）2－6＝x2－1.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，（x＋1）（x－1）≠0，
∴原分式方程的解为x＝2.
17.【解】÷＝÷＝·＝，
当a＝2时，原式＝＝.
18.【解】设原计划平均每天制作x个摆件，根据题意，得－＝5，解得x＝200.
经检验，x＝200是原分式方程的根，且符合题意.
答：原计划平均每天制作200个摆件.
19.【解】（1）÷＝·＝.
（2）当a＞1时，B的值与A的值相比变小了.理由如下：
B－A＝－＝＝－.
当a＞1时，a（a－1）＞0，∴－＜0.∴B＜A.
∴当a＞1时，B的值与A的值相比变小了.
20.【解】（1）当k＝3时，方程为－2＝，两边同乘以（x－3），得x－2（x－3）＝－3，解得x＝9.经检验，x＝9是原分式方程的解.∴x的值为9.
（2）－2＝，
两边同乘以（x－3），得x－2（x－3）＝－k，解得x＝6＋k.∵原方程的解是正数，∴6＋k＞0.∴k＞－6.
∵x≠3，
∴6＋k≠3.∴k≠－3.∴k＞－6且k≠－3.
21.【解】（1）；
（2）小强说的有道理，理由如下：
－＝－＝.
当x是大于3的正整数时，（x＋1）（x－3）＞0，
∴＞0.∴＞.故小强说的有道理.
22.【解】（1）－＝0
（2）y－＝0
（3）原方程可化为－＝0，
设y＝，则上式化为y－＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y＝±1.经检验，y＝±1都是方程y－＝0的解.当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－.
经检验，x＝－是原分式方程的解.∴原分式方程的解为x＝－.
23.【解】（1）设每个A型保温杯的进价是x元，则每个B型保温杯的进价是（x＋10）元，根据题意，得＝×，解得x＝40.经检验，x＝40是所列分式方程的解，且符合题意，∴x＋10＝40＋10＝50.
答：每个A型保温杯的进价是40元，每个B型保温杯的进价是50元.
（2）设购买y个A型保温杯，则购买（y－9）个B型保温杯，根据题意，得解得38≤y≤40.∵y为正整数，∴y可以为38，39，40.∴该公司共有3种购买方案如下：
方案1：购买38个A型保温杯，29个B型保温杯；
方案2：购买39个A型保温杯，30个B型保温杯；
方案3：购买40个A型保温杯，31个B型保温杯.
（3）易知（2）中选择购买方案1所需费用最少，最少为40×38＋50×29＝2 970（元）.
设购买m个甲种奖品，n个乙种奖品，根据题意，得
270m＋240n＝2 970，
∴m＝11－n.∵m，n均为正整数，∴
∴购买3个甲种奖品，9个乙种奖品.
