2024年第二次中招模拟考试试卷
九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
2. 河南博物院是国家文物局公布第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ）
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至 2022年，世界上共有65 位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：
年龄/岁 27 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45
人数 1 3 5 4 4 4 6 5 9 9 7 7 1
则该组由年龄组成的数据的众数是（ ）
A 9 B. 37 C. 45 D. 37，38
5. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（ ）
A. 发 B. 现 C. 之 D. 美
6. 计算结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：=_______．
12. 如图，中，，相交于点，若，，则的周长为 __．
13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________．
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．
15. 如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为____________．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. （1）计算
（2）解不等式组：
17. 下面是小明同学设计“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ为所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）．
∴PQ⊥AB （填推理的依据）．
即PQ⊥l．
18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：
续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分）
甲款汽车 82 90 100
乙款汽车 80 100 90
两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．
同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：
a．网友评价得分（满分10分）：
甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10
乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9
b．网友评价得分统计表：
平均数 中位数 方差
甲款汽车 7 m
乙款汽车 7 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 m = ；
（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；
（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车 请说明理由．
19. 观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式____________；
写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明．
20. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；
（3）如图，点 N为抛物线L的顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ．
23. 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．
（1）【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是 ；
（2）【探究证明】如图2，当点 P是线段上的任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；
（3）【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．2024年第二次中招模拟考试试卷
九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 河南博物院是国家文物局公布的第一批国家一级博物馆，现有馆藏文物17 万余件（套），其中国家一级文物与国家二级文物5000多件，历史文化艺术价值极高，一部分藏品被誉为国之重器．这里的数据17万可用科学记数法表示为（ ）
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
【详解】解：∵万，
故选：B．
3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
4. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次，被誉为“数学界的诺贝尔奖”．截至 2022年，世界上共有65 位数学家获得菲尔兹奖，获奖者获奖时的年龄分布如下表：
年龄/岁 27 29 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45
人数 1 3 5 4 4 4 6 5 9 9 7 7 1
则该组由年龄组成的数据的众数是（ ）
A. 9 B. 37 C. 45 D. 37，38
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据．根据众数的定义即可得解．
【详解】由表格可知：这一组数据中37，38出现的次数最多，
因此该组由年龄组成的数据的众数是37，38．
故选：D
5. 如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成正方体后，和“数”字一面相对的面上的字是（ ）
A. 发 B. 现 C. 之 D. 美
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形或“”字的首尾端即为相对面，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
所以“数”与“美”是相对面，
故选：D．
6. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据乘法定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键．
【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，
故的结果是，
故选A．
7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
8. 如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
在和中，
∴≌
∴，
∴．
故选：D．
9. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时
点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵点,
∴,
过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点 D 到弦的距离最大为，
∴点D坐标为，
故选A．
．
10. 如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 因式分解：=_______．
【答案】(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】直接应用平方差公式即可求解．
【详解】．
故答案为：(a+1)(a-1)
12. 如图，中，，相交于点，若，，则的周长为 __．
【答案】8
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长．
故答案为：8．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形周长的定义，结合图形求出三角形的三边之和．灵活应用平行四边形的对边相等，对角线互相平分是解决本题的关键．
13. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用画树状图法解答即可．
本题考查了事件，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键．
【详解】设用A表示、用B表示、用C表示，用D表示，
根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的的有9种，
∴二人所选金属均能置换出氢气的概率是．
14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形和正方形的顶点A，C，D 均在坐标轴上，点 F 是边的中点，点 B，E 在反比例函数()的图象上．若，则k的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】设，结合点 F 是边的中点，得，得到，，结合点 B，E 在反比例函数()的图象上，建立等式计算即可．
本题考查了矩形的性质，正方形性质，反比例函数性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】设，
∵点 F 是边的中点，
∴，
∵矩形和正方形，，
∴，轴，，，轴，
∴，，
∵点 B，E 在反比例函数()的图象上，
∴，
解得(舍去)，
∴，
故答案为：2．
15. 如图，在扇形中，半径的长为，点P在上，连结，将沿折叠得到． 若与所在的圆相切于点 B，则的长为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，交于点D，求得，利用求得圆心角，利用三角函数，解答即可．
本题考查了切线性质，折叠的性质，弧长，三角函数，熟练掌握切线性质，三角函数，弧长公式是解题的关键．
【详解】连接，交于点D，
∵沿折叠得到．
∴，，
∵ 与所在的圆相切于点 B，
∴，
∴，
∵
∴，
∵半径的长为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
16. （1）计算
（2）解不等式组：
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，正确求解是解答的关键．
（1）先计算有理数的乘方、负整数指数幂、立方根，再加减运算即可；
（2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
17. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；
②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ为所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形 （填推理的依据）．
∴PQ⊥AB （填推理的依据）．
即PQ⊥l．
【答案】（1）见解析；（2）四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直
【解析】
【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）利用菱形的判定和性质判断即可．
【详解】（1）如图所示．
（2）证明：连接PA，PB，QA，QB．
∵PA＝PB＝QA＝QB，
∴四边形APBQ是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）．
∴PQ⊥AB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）．
即PQ⊥l．
故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18. 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．小华家计划购买一辆新能源汽车，经过初步了解，看中了售价一样的甲、乙两款汽车．小华的爸爸根据汽车鉴定机构发布的数据对这两款车的续航里程、百公里加速、智能化水平三项性能进行了评分（满分100分），如下表：
续航里程（分） 百公里加速（分） 智能化水平（分）
甲款汽车 82 90 100
乙款汽车 80 100 90
两款汽车的综合得分按如图（扇形图）所示的权重计算．
同时小华的爸爸又收集了10位网友对这两款汽车的评价（满分10分），并整理、描述、分析如下：
a．网友评价得分（满分10分）：
甲：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10
乙：4 5 6 7 7 7 8 8 9 9
b．网友评价得分统计表：
平均数 中位数 方差
甲款汽车 7 m
乙款汽车 7 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 m = ；
（2）由表中成绩和扇形图所示权重已算得甲款车的总评成绩为89分，请计算乙款车的总评成绩；
（3）综合考虑甲、乙两款汽车的综合评分以及网友评价，你认为小华的爸爸应选择购买哪款汽车 请说明理由．
【答案】（1）
（2）87分 （3）乙车，见解析
【解析】
【分析】本题考查中位数，平均数，根据统计数据作决策．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键．
（1）根据中位数的定义，得，计算即可．
（2）根据加权平均数的计算方法求解即可．
（3）从中位数，方差等，比较即可解答．
【小问1详解】
解：根据题意，得数据排序如下：4 5 5 6 6 7 8 9 10 10，
中位数是第5个数据，第6个数据的平均数即，
故答案为：．
【小问2详解】
解：乙车的平均数是：（分）．
【小问3详解】
解：∵乙车的中位数大于甲车，乙车的方差小于甲车，更稳定，从安全角度思考，
∴我推荐乙车．
19. 观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式____________；
写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：∵左边==右边，
∴等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
20. 某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
【答案】17米
【解析】
【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题．
【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H．
由题意得：，，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度为17米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
【答案】（1）20 （2）当时，；当时，；
（3）900
【解析】
【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元；
（2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．
（3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可．
本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
c
【小问1详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故答案为：20．
【小问2详解】
当时，是正比例函数，
设解析式为，
把点代入解析式，得，
解得，
故解析式为；
当时，是一次函数，
设解析式为，
把点，代入解析式，得，
解得，
故解析式为．
【小问3详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额2400元，
故单价为元；
故甲的解析式为．
由两种水果销售额相同，且销售额大于0，
得，
解得，
∴甲水果销售额为；乙水果销售额为
∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为
∴两种水果的总利润为(元)．
22. 如图，题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字，导致题目缺少一个条件而无法解答，经查询结果发现，抛物线L的函数解析式为 已知抛物线L： 经过点，，求抛物线L的函数解析式．
（1）请根据已有信息添加一个适当的条件： ；
（2）将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，求 m的值；
（3）如图，点 N为抛物线L顶点坐标，若平移抛物线L的图象，使其顶点在直线上运动，且平移后的抛物线与y轴负半轴相交，交点为M，则 面积的最大值为 ．
【答案】（1）抛物线经过点 （2）4
（3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线，得到，解得，于是可以添加条件抛物线经过点；
（2）根据，得到将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，确定其顶点坐标为，计算原点的对称坐标为，结合抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，代入解析式计算即可；
（3）根据，可以确定抛物线的顶点，结合抛物线顶点在直线上，设新抛物线的顶点为，则解析式为，当时，，确定点，表示出面积，构造二次函数求最值即可．
【小问1详解】
根据抛物线，
∴，
解得，
∴可以添加条件抛物线经过点；
故答案为：抛物线经过点．
【小问2详解】
∵抛物线L：，
∴将抛物线L向上平移m()个单位得到抛物线的解析式为，
∴其顶点坐标为，
∴其关于原点的对称坐标为，
∵抛物线的顶点关于坐标原点 O 的对称点在抛物线L上，
代入解析式得：
，
解得．
【小问3详解】
∵，
∴抛物线的顶点，
∵新抛物线顶点在直线上，
设新抛物线的顶点为，
∴解析式为，
当时，，
∴点，
∴，
∴
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的平移，原点对称，构造二次函数求最值，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键．
23. 已知点O 是线段的中点，直线l与线段交于点 P（点 P 与点 A， B 不重合），分别过点A，点B作直线l的垂线，垂足分别为点 C，点 D．
（1）【猜想验证】如图 1，当点 P 与点 O 重合时，线段 和 的数量关系是 ；
（2）【探究证明】如图2，当点 P是线段上任意一点时，判断 和 的数量关系并说明理由；
（3）【拓展延伸】若，，当 为等腰三角形时，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用证明即可解题；
（2）过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（1）可得，然后证明为矩形，得到，推导出即可得到结论；
（3）过点O作直线于点F，交的延长线于点E，由（2）可得，然后利用解直角三角形得到，然后分和两种情况解题即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由为：
如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，
由（1）得，
又∵，，，
∴，
∴为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点O作直线于点F，交的延长线于点E，
由（1）得，
又∵，，，
∴，
∴为矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
①当时，；
②当是，过点P作于点Q，
∴，
∴；
综上所述长为或．
