2024年人教版六年级下册数学小升初专题训练：立体图形的认识与测量
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图立体模型从左面看是的是（ ）。
A． B． C． D．
2．把1立方米的大正方体木块切成1立方分米的小正方体木块，如果把这些小木块排成一行，共长（ ）分米。
A．10 B．100 C．10000 D．1000
3．一个长方体玻璃容器，从里面量长40cm、宽30cm、高35cm。向容器里注水，当容器内的水体第一次出现正方形面时，此时容器中的水有（ ）L。
A．50 B．42 C．36 D．35
4．把5个棱长为4cm的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是（ ）cm2。
A．40 B．44 C．160 D．176
5．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差18cm3，这个圆柱的体积是（ ）cm3。
A．6 B．9 C．18 D．
6．请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，爸爸已经做好了一个正方体木框架的3条棱，继续做下去，至少还需要 dm的木条。如果在做好的木框架表面糊彩纸，至少需要 dm2的彩纸。
8．一个长方体的长是8dm，宽是6dm，高是4dm，6个面中最大的一个面的面积是 dm2，这个长方体的表面积是 dm2，棱长之和是 dm。
9．如图，一个长方体的底面是正方形，侧面展开也是正方形，已知它的高是16cm，这个长方体的表面积是 cm2。
10．把1根长20分米的圆柱形木料截成两段，表面积比原来增加了25.12平方分米，原来木料的体积是( )立方分米。
11．把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314平方分米；若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加300平方分米，木料原来的体积是( )立方米。
12．一个圆柱的底面积是5dm ，高是6dm，与它等底等高的圆锥的体积是( )dm 。
13．把一个高为24厘米的圆锥形容器内盛满水，然后全部倒入和圆锥形容器等底的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。
14．一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了( )，制作这个陀螺需要( )木料。
15．一个正方体的棱长总和是3m，每条棱的长度占棱长总和的，每条棱长m。
16．赵师傅从一个长方体的右端截下一个最大的正方体（如图），长方体剩余部分的长是8分米，表面积减少了36平方分米。剩余长方体的体积是( )立方分米，表面积是( )平方分米。
17．一个圆柱与圆锥的底面半径比是3∶2，高的比是2∶3，则它们的体积之比是( )。
18．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱的体积小36cm3，圆锥的体积是( )cm3。
三、判断题
19．一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。( )
20．正方体的棱长扩大2倍，表面积也扩大2倍。( )
21．正方体的体积大于它的表面积。( )
22．一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木料，削成一个最大的正方体，削去部分的体积是56立方厘米。( )
23．一个立体图形，从一个面看到的是正方形，它一定是一个正方体。( )
24．小亮用5个同样的小正方体搭建几何体，如果从正面、上面看到的图形都是，那么可以搭建3种不同的几何体。( )
四、计算题
25．分别求出如图图形的表面积和体积。（单位：cm）
26．计算下面各图形的体积。
五、解答题
27．如图是一块长50厘米，宽40厘米的长方形铁皮，减去一部分后把它制作成一个高5厘米的最大的无盖长方体铁盒。
（1）你准备怎样制作？（在图上画一画）
（2）制作成的铁盒的容积是多少立方分米？（铁皮厚度和接口处忽略不计）
（3）如果在这个容器中倒入4.8升水，则水深多少厘米？
28．根据“乌鸦喝水”故事的原理，小亮测量了一些石子的体积。他先往一个正方体容器中装了0.32升水（如图），然后放入一些石子（全部浸没），水面上升到7.5厘米处，这些石子的体积是多少立方厘米？
29．如图所示，在一个盛有水的圆柱形容器内，放入一个底面直径为10厘米的圆锥形铁器，水面上升了0.5厘米。已知圆柱形容器的底面直径为2分米，这个圆锥的高是多少厘米？
30．一个圆柱体侧面展开后是一个长6.28厘米，宽3厘米的长方形，如果把它削成一个体积最大的圆锥，这个圆锥的底面直径是多少厘米？削去部分的体积是多少？
31．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。
（1）与水接触的玻璃面积有多大？
（2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数）
()
()
参考答案：
1．B
【分析】把每个立体图形从左边看到的图形画出来，找出与题干中的相同的即可。
【详解】
A．从左面看到的是；
B．从左面看到的是；
C．从左面看到的是；
D．从左面看到的是；故答案为：B
2．D
【分析】已知1立方米等于1000立方分米，则1立方米的正方体木块可以分成1000个1立方分米的小正方体木块，1个小正方体的棱长是1分米，把这些小木块排成一行的长度就是1分米乘1000，即1000分米。
【详解】1立方米＝1000立方分米，则1立方米的正方体木块可以分成1000个1立方分米的小正方体木块，1个小正方体的棱长是1分米；
1000×1＝1000（分米）
故答案为：D
3．C
【分析】根据题意可知，当注入水的高度等于容器宽时，注入水体第1次出现正方形面，根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答，注意单位名数的换算。
【详解】40×30×30
＝1200×30
＝36000（cm3）
36000cm3＝36L
一个长方体玻璃容器，从里面量长40cm、宽30cm、高35cm。向容器里注水，当容器内的水体第一次出现正方形面时，此时容器中的水有36L。
故答案为：C
4．C
【分析】露在外面的面在前面、上面和右面，从前面看有3个小正方形，从上面看有3个小正方形，从右面看有4个小正方形，用小正方体棱长×棱长，求出一个面的面积，再乘露在外面小正方形的个数即可。
【详解】4×4×（3＋3＋4）
＝16×10
＝160（cm2）
露在外面的面积是160cm2。
故答案为：C
5．D
【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍；又知它们的体积差为18cm3，根据两数之差：（倍数－1）＝小数即可求出圆锥体积，进而求出圆柱的体积。
【详解】由分析可知，圆锥的体积：
18÷（3－1）
＝18÷2
＝9（cm3）
9×3＝27（cm3）
这个圆柱的体积是27cm3。
故答案为：D
6．A
【分析】设瓶子的底面积是s平方厘米；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出瓶中水的体积；用21－15，求出空白处的高度，再根据圆柱的体积公式，求出空白处的容积，再用水的体积除以空白处与水的容积之和，即可求出瓶中水的体积占瓶子的容积的几分之几，据此解答。
【详解】水的体积：s×12＝12s（立方厘米）
s×（21－15）
＝s×6
＝6s（立方厘米）
12s÷（12s＋6s）
＝12s÷18s
＝
请你用转化的数学思想方法解决下面的数学问题。一个瓶子里装有一些水，如图，根据图中所给的信息，请计算出瓶中水的体积所占瓶子的容积的。
故答案为：A
7． 18 24
【分析】看图，做成的正方体框架，棱长至少是2dm。正方体一共有12条棱，利用减法求出还需要几条棱，再乘棱长，求出第一空；根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”求出至少需要多少dm2的彩纸。
【详解】12－3＝9（条）
2×9＝18（dm）
2×2×6＝24（dm2）
所以，至少还需要18dm的木条，至少需要24dm2的彩纸。
8． 48 208 72
【分析】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。根据长方形的面积公式S＝ab，分别求出各个面的面积，再比较大小，找出最大面的面积。
根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。
【详解】8×6＝48（dm2）
8×4＝32（dm2）
6×4＝24（dm2）
48＞32＞24，最大面的面积是48dm2。
表面积：
（8×6＋8×4＋6×4）×2
＝（48＋32＋24）×2
＝104×2
＝208（dm2）
棱长之和：
（8＋6＋4）×4
＝18×4
＝72（dm）
6个面中最大的一个面的面积是48dm2，这个长方体的表面积是208dm2，棱长之和是72dm。
9．288
【分析】这个长方体底面是正方形，侧面展开也是正方形，高是16cm，则底面正方形的周长是16cm。根据正方形的周长计算公式C＝4a，即可计算出底面正方形的边长，根据正方形的面积计算公式S＝a2，即可分别计算出这个长方体的底面积、侧面积，侧面积＋2×底面积＝这个长方体的表面积。
【详解】16÷4＝4（cm）
4×4×2＋162
＝16×2＋256
＝32＋256
＝288（cm2）
则这个长方体的表面积是288cm2。
10．251.2
【分析】把一根长20分米的圆柱形木料截成两段，表面积比原来增加了2个横截面即增加了2个底面积，求出横截面，再根据“圆柱的体积＝底面积×高”，求出它的体积。
【详解】25.12÷2×20
＝12.56×20
＝251.2（立方分米）
原来木料的体积是251.2立方分米。
11．1.1775
【分析】把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314平方分米，那么增加的表面积是4个底面积，用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径；
若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加300平方分米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高；
最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出木料原来的体积。注意单位的换算：1立方米＝1000立方分米。
【详解】圆柱的底面积：314÷4＝78.5（平方分米）
底面半径的平方：78.5÷3.14＝25（平方分米）
因为25＝5×5，所以圆柱的底面半径是5分米；
圆柱的底面直径：5×2＝10（分米）
圆柱的高：
300÷2÷10
＝150÷10
＝15（分米）
圆柱的体积：
78.5×15＝1177.5（立方分米）
1177.5立方分米＝1.1775立方米
木料原来的体积是1.1775立方米。
【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。
12．10
【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积；等底等高的圆锥的体积是圆柱的，再用圆柱的体积×，即可求出圆锥的体积。
【详解】5×6×
＝30×
＝10（dm3）
一个圆柱的底面积是5dm ，高是6dm，与它等底等高的圆锥的体积是10dm3。
13．8
【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆锥形容器里面的水全部倒入圆柱形容器中，水的体积不变，圆锥形容器和圆柱形容器的底面积相等，当圆锥和圆柱等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的，据此解答。
【详解】24×＝8（厘米）
所以水的高度是8厘米。
14． 24cm2 37.68cm3
【分析】沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了两个三角形的面积，三角形的底＝圆锥的底面直径＝6cm，三角形的高＝圆锥的高＝4cm，三角形的面积＝底×高÷2；
制作这个陀螺需要的材料大小即为圆锥的体积，圆锥的体积＝底面积×高÷3，据此代入数据进行解答。
【详解】6×4÷2×2＝24（cm2）
3.14×（6÷2）2×4÷3
＝3.14×9×4÷3
＝28.26×4÷3
＝113.04÷3
＝37.68（cm3）
所以，表面积增加了24cm2，制作这个陀螺需要37.68cm3木料。
15．；
【分析】根据正方体的特征可知，正方体有12条棱，且12条棱的长度相等。
求每条棱的长度占棱长总和的几分之几，就是求1条棱占12条棱的几分之几，用除法计算；
求每条棱的长度，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，结果用分数表示即可。
【详解】1÷12＝
3÷12＝（m）
每条棱的长度占棱长总和的，每条棱长m。
16． 72 114
【分析】根据题意和图形可知，长方体的右端截下一个最大的正方体，说明长方体的左右面是正方形，即宽与高相等；
已知截下一个最大的正方体后，表面积减少了36平方分米，减少的表面积是正方体4个面的面积之和；用减少的表面积除以4，求出一个面的面积，进而得出长方体的宽和高；
根据长方体的体积公式V＝abh，长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入数据计算求出剩余长方体的体积和表面积。
【详解】36÷4＝9（平方分米）
因为9＝3×3，所以长方体的宽、高都是3分米。
剩余长方体的体积：
8×3×3＝72（立方分米）
剩余长方体的表面积：
（8×3＋8×3＋3×3）×2
＝（24＋24＋9）×2
＝57×2
＝114（平方分米）
剩余长方体的体积是72立方分米，表面积是114平方分米。
17．9∶2
【分析】假设圆柱的底面半径是3，圆锥的底面半径是2，圆柱的高是2，圆锥的高是3。圆柱的体积＝π×半径2×高，圆锥的体积＝π×半径2×高÷3，分别计算出体积后写出比，并且利用比的基本性质化简比即可。
【详解】假设圆柱的底面半径是3，圆锥的底面半径是2，圆柱的高是2，圆锥的高是3
则圆柱的体积：
π×32×2
＝π×9×2
＝18π
圆锥的体积：
π×22×3÷3
＝π×4×3÷3
＝4π
18π∶4π
＝（18π÷2π）∶（4π÷2π）
＝9∶2
一个圆柱与圆锥的底面半径比是3∶2，高的比是2∶3，则它们的体积之比是9∶2。
18．18
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，设圆锥的体积是xcm3，则圆柱的体积是3xcm3，圆锥的体积比圆柱的体积小36cm3，即圆柱的体积－圆锥的体积＝36cm3，列方程：3x－x＝36，解方程，即可解答。
【详解】解：设圆锥的体积是xcm3，则圆柱的体积是3xcm3。
3x－x＝36
2x＝36
x＝36÷2
x＝18
等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱的体积小36cm3，圆锥的体积是18cm3。
19．√
【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
已知一个长方体棱长总和是36cm，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算，即可求出相交于一个顶点的三条棱长之和。
【详解】36÷4＝9（cm）
一个长方体棱长总和是36cm，相交于一个顶点的三条棱长之和是9cm。
原题说法正确。
故答案为：√
20．×
【分析】假设正方体的棱长为1，根据正方体表面积公式S＝6a2可得，正方体的表面积为6。棱长扩大2倍后，棱长为2，表面积为24。由此可算出正方体表面积扩大的倍数。
【详解】假设正方体棱长为1，则表面积为6×12＝6
棱长扩大2倍为2，则表面积为6×22＝24
24÷6＝4，所以，正方体的棱长扩大2倍，表面积扩大4倍。
故答案为：×
21．×
【分析】正方体的表面积是指正方体的6个面的面积之和。
正方体的体积是指正方体占空间的大小。
两者意义不同，不能比较大小。
【详解】正方体的体积和它的表面积不是同类量，无法比较大小。
原题说法错误。
故答案为：×
22．√
【分析】根据题意可知，长方体削成一个最大的正方体，正方体的棱长等于4厘米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出长方体体积和正方体体积，再用长方体体积－正方体体积，再进行比较，即可解答。
【详解】6×5×4－4×4×4
＝30×4－16×4
＝120－64
＝56（立方厘米）
一个长6厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体木料，削成一个最大的正方体，削去部分的体积是56立方厘米。
原题干说法正确。
故答案为：√
23．×
【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形；
正方体有6个面，6个面都是正方形，据此判断。
【详解】
根据长方体和正方体的特征可知，一个立体图形，从一个面看到的是正方形，这个立体图形可能是正方体也可能是长方体，原题说法错误。
故答案为：×
24．×
【分析】根据题意，这个几何体下层有4个小正方体，分两行，前面一行3个，后面一行1个。上层1个可以放在下层中间一列的任意一个小正方体的上方，所以有2种不同的放法。
【详解】
小亮用5个同样的小正方体搭建几何体，如果从正面、上面看到的图形都是，那么可以搭建2种不同的几何体。
故答案为：×
25．左图：表面积是236平方厘米，体积是240立方厘米
右图：表面积是150平方厘米，体积是113立方厘米
【分析】左图是一个长方体，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，结合图中数据计算即可；
右图图形是一个不规则的图形，将凹进去的面平移正好转化为一个正方体，即原图的表面积＝棱长是5厘米的正方体的表面积＝6a2，图形的体积＝正方体的体积－长是2厘米，宽是2厘米，高是3厘米的长方体的体积，由此解答本题。
【详解】（8×6＋8×5＋6×5）×2
＝（48＋40＋30）×2
＝118×2
＝236（平方厘米）
8×6×5＝240（立方厘米）
图形的表面积是236平方厘米，体积是240立方厘米。
5×5×6＝150（平方厘米）
5×5×5－2×2×3
＝125－12
＝113（立方厘米）
图形的表面积是150平方厘米，体积是113立方厘米。
26．dm3；m3
【分析】第一个图形是圆锥，根据圆锥的体积公式，其中直径是10分米，半径是直径的一半为5分米，高是12分米。第二个图形是圆柱，利用，其中半径是3米，高是7米。
【详解】
（dm3）
（m3）
27．（1）见详解
（2）6立方分米
（3）4厘米
【分析】（1）制作成一个最大的无盖长方体铁盒，在长方形四个角上各减去一个边长为5厘米的正方形，即可制成最大无盖长方体铁盒；
（2）制成的长方体的长是（50－5×2）厘米，宽是（40－5×2）厘米，高是5厘米，根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个铁盒的容积，注意单位名数的换算；
（3）1升＝1000立方厘米；把容积单位换成立方厘米；再根据高＝容积÷（长×宽），代入数据，即可求出水的深度。
【详解】（1）如图：
（2）长：50－5×2
＝50－10
＝40（厘米）
宽：40－5×2
＝40－10
＝30（厘米）
高：5厘米
容积：40×30×5
＝1200×5
＝6000（立方厘米）
6000立方厘米＝6立方分米
答：制作成的铁盒的容积是6立方分米。
（3）4.8升＝4800立方厘米
4800÷（40×30）
＝4800÷1200
＝4（厘米）
答：水深4厘米。
28．160立方厘米
【分析】本题考查了用排水法求物体体积的方法。根据题意，石子的体积等于水上升的体积，结合长方体的体积公式V＝abh解答即可。
【详解】0.32升＝320立方厘米
8×8×7.5－320
＝480－320
＝160（立方厘米）
答：这些石子的体积是160立方厘米。
29．6厘米
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就在这个圆锥形铁器的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出水面上升部分的体积，也就是圆锥形铁器的体积；再根据圆锥体积公式：体积＝底面积×高×，高＝体积÷底面积÷，代入数据，即可解答；注意单位名数的统一。
【详解】2分米＝20厘米
3.14×（20÷2）2×0.5÷[3.14×（10÷2）2]÷
＝3.14×102×0.5÷[3.14×52]×3
＝3.14×100×0.5÷[3.14×25]×3
＝314×0.5÷78.5×3
＝175÷78.5×3
＝2×3
＝6（厘米）
答：这个圆锥的高是6厘米。
30．2厘米；6.28立方厘米
【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，将圆柱削成最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去部分的体积是圆柱体积的，底面直径＝底面周长÷圆周率÷2，削去部分的体积＝圆柱体积×，圆柱体积＝底面积×高，据此列式解答。
【详解】6.28÷3.14＝2（厘米）
3.14×（2÷2）2×3×
＝3.14×12×3×
＝9.42×
＝6.28（立方厘米）
答：这个圆锥的底面直径是2厘米，削去部分的体积是6.28立方厘米。
31．（1）1140平方厘米
（2）18厘米
【分析】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。
（2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。
【详解】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2
＝300＋480＋360
＝1140（平方厘米）
答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。
（2）水的体积：
20×15×12
＝300×12
＝3600（立方厘米）
圆柱的底面积：
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
水面高度：
3600÷200.96≈18（厘米）
答：水面高约18厘米。
【点睛】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
（2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。
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