第十六章《二次根式》复习题
一、单选题
1．已知，则的化简结果是( )
A． B． C． D．
2．已知x是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．或或
3．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．当时，的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
5．在学习二次根式中有这样的情形．如，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令（n为非负数），则
；
．
下列选项中正确的有（ ）个．
①若a是的小数部分，则的值为；
②若（其中b、c为有理数），则；
③．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
7．若a、b、c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（ ）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
8．已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98 B．99 C．100 D．101
10．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（ ）
①只存在一组和使得；
②只存在两组和使得；
③不存在和使得；
④若只存在三组和使得，则的值为49或64
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ．
12．古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为 ．
13．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是 型无理数．
14．观察下列等式：
第1个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
按上述规律，计算 ．
15．已知a，b都是实数，m为整数，若，则称a与b是关于m的一组“平衡数”．
（1）与 是关于1的“平衡数”；
（2）与 是关于3的“平衡数”；
（3）若，，判断与 （是或否）为关于某数的一组“平衡数”．
16．小明在解方程时采用了下面的方法：由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解方程，则 ．
17．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ．
18．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ．
三、解答题
19．计算．
(1)；
(2)．
20．已知：，，求：的值．
21．计算（＋）÷（＋－）（a≠b）．
22．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，求的值.
23．阅读下面计算过程：
；
；
．
试求：
(1)的值；
(2)（为正整数）的值；
(3)的值．
24．阅读理解：
阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；（一）
；（二）
；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．（四）
请解答下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)猜想：的值．（直接写出结果）
25．（1）式子与的值与有否关系 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化
（2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系 指出结论，再说明理由
一、单选题
1．B
【分析】利用二次根式的定义可得，即，再根据二次根式的性质，求解即可．
【解析】解：由题意可得：，
∴
∵
∴
∴，
故选：B
2．B
【分析】根据二次根式有意义的条件可知，即，再由可得x的值，然后代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴且，解得：，
∴．
故选B．
3．B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【解析】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：原式=
将代入得，
原式
.
故选：A.
5．D
【分析】由，可得，则，再根据分母有理化即可判断①；由可得，以此得到方程组，求解即可判断②；证明，再对原式裂项即可判断③．
【解析】解：由题意得：，
∵，是的小数部分，
∴，则，故①正确；
∵，
∴，
即
∴，即，
∵b、c为有理数
∴，解得，
∴，故②正确；
∵
，
∴
，故③正确，
故正确的有①②③，共3个，
故选：D．
6．C
【分析】由的值进行化简到=，再求得，把式子两边平方，整理得到，再把两边平方，再整理得到，原式可变形为，利用整体代入即可求得答案．
【解析】解∵
=
=
∴
∴
整理得
∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
7．B
【解析】因 =，所以a=0，b=1，c=1，即可得2a＋999b＋1001c=999+1001=2000，故选B.
点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．
8．C
【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴
．
故选C．
9．B
【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【解析】∵
=
=，
∴S=+++ …+
=
=
=100-，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
10．C
【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案．
【解析】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式，
，
，
当时，
故该选项①正确；
②，
当，则
当则．
故选项②正确；
③，
当时，
，所以不存在，
故该选项③正确；
④，
，
当时，，
，
，
有无数和满足等式，故该选项④错误．
故选：C．
二、填空题
11．5
【分析】先进行分母有理化，因为，由此得到，即可求解．
【解析】解：
故答案为：5 ．
12．
【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可．
【解析】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4，
，，，
，
．
故答案为：．
13．
【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案．
【解析】解：，
，
，
所以，是型无理数，
故答案为：．
14．/
【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可．
【解析】解：第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
…
第个等式：，
故答案为：．
15． / / 是
【分析】（1）设与x是关于1的“平衡数”，根据平衡数的定义可列出关于x的方程，解出x的值即可；
（2）设与y是关于3的“平衡数”， 根据平衡数的定义可列出关于y的方程，解出y的值即可；
（3）求出，，即可求出，即说明与是关于19的一组“平衡数”．
【解析】解：（1）设与x是关于1的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于1的“平衡数”．
故答案为：；
（2）设与y是关于3的“平衡数”，
根据平衡数的定义可得：，
解得：，
∴与是关于3的“平衡数”．
故答案为：；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴与关于19的一组“平衡数”．
故答案为：是．
16．
【分析】参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可．
【解析】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
17．
【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解．
【解析】解：依题意，，，，
则
∵正整数是“阿二数”
∴能被整除
∴能被13整除，
设
∵是正整数，则是9的倍数，
∴,符合题意，
∵是有理数
∴是平方数，
当，时，符合题意，
∴
则
故答案为：．
18．解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
三、解答题
19．（1）解：
（2）解：
．
20．解：∵，，
∴，
∴
，
当时，原式．
21．解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝－．
22．∵在实数范围内成立，
∴x﹣a≥0，a﹣y≥0，即y﹣a≤0，
又a（y﹣a）≥0．a（x﹣a）≥0，
∴a=0，原等式可变为0，
解得：x=﹣y，∴．
23．（1），
（2）原式，
（3）原式，
，
，
．
24．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
∴
．
25．（1）与有关系，与无关系．理由如下：
，与无关系；
，与有关系；
，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
两边平方，再整理得：，
继续平方，得：，
∴
∵，
∴．
