重难点05 反比例函数与一次函数的综合
考点一：一次函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01 一次函数图象上点的坐标特征
解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写； 解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”； 解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；
【中考真题练】
1．（2023 临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b≤0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣b，
∴kb＜0，
∴k+b＝b＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
2．（2023 雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
故选：A．
3．（2023 荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为（0，3），A点坐标为（2，0），则OA＝2，OB＝3，再根据旋转的性质得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，则B点坐标为（0，3）；
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝2，则A点坐标为（2，0），
则OA＝2，OB＝3，
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，
∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，
即AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（5，2）．
故选：C．
4．（2023 无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 2 ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝x﹣2的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【解答】解：当x＝0时，y＝1×0﹣2＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点（0，﹣2）；
当y＝0时，x﹣2＝0，
解得：x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点（2，0）．
∴一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是×|﹣2|×2＝2．
故答案为：2．
5．（2023 苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ﹣6 ．
【分析】利用待定系数法即可解得．
【解答】解：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴，
另一种解法：由题意得，将点（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：
，
∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
6．（2023 南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 1 ．
【分析】根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，然后即可计算出+的值．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，
∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），
∴OA＝，OB＝﹣2k+3，
∴+
＝+
＝﹣
＝
＝1，
故答案为：1．
7．（2023 青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 10 ．
【分析】根据每条直线与x轴交点的横坐标解答即可．
【解答】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与x轴交点的横坐标依次是2，4，6...，
∴第5条直线与x轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
8．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 24046 ．
【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC＝，证明△ABC∽△A1B1C1，△ABC∽△A2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42 S△ABC＝（22）2 S△ABC，总结得出＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，从而得出＝22×2023×＝24046．
【解答】解：∵OB＝2，
∴B（2，0），
∵AB⊥x轴，
∴点A的横坐标为2，
∵直线l1：y＝x，
∴点A的纵坐标为＝，
∴∠AOB＝，
∴∠AOB＝30°，
∵直线l2：y＝x，
∴C（xC，），
∴＝，
∴∠BOC＝60°，
∴OC＝，
∴C点的横坐标为：＝，
∴S△ABC＝＝，
∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，
∴BC∥B1C1∥B2C2，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，
∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，
∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，
∴OB＝，OB1＝，
∵AB⊥x轴，A1B1⊥x轴，A2B2⊥x轴，
∴AB∥A1B1∥A2B2，
∴，，
∵BC∥B1C1∥B2C2，
∴，，
∴，
∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC∽△A1B1C1，
同理△ABC∽△A2B2C2，
∴＝4S△ABC，＝42 S△ABC＝（22）2 S△ABC，
∴＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，
＝22×2023×＝24046．
故答案为：24046．
9．（2023 西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【分析】（1）把y＝0和4分别代入函数解析式，即可求得相应的x和m的值，即可得点A、B的坐标；
（2）利用描点法画图象即可；
（3）根据等腰三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵一次函数 y＝2x﹣4 的图象与x轴交于点A，
∴令y＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，
∴点A的坐标是（2，0），
∵点B（m，4）在一次函数y＝2x﹣4 的图象上，
把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，
∴m＝4，
∴点B的坐标是（4，4）；
（2）图象过点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（4，4），如图：
（3）∵A（2，0），B（4，4），
∴AB＝＝2，
∵点P在x轴的正半轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，
∴P的坐标为（6，0）或（2+2，0）．
【中考模拟练】
1．（2024 长丰县模拟）如图，直线与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B．（﹣6，0） C． D．
【分析】直线与坐标轴交于点A、B，得到，结合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函数计算OC即可．
【解答】解：∵直线与坐标轴交于点A、B，
∴，
∴，
∴，
∵CB⊥AB，CO⊥OB，
∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，
∴，
解得，
∴，
故选：A．
2．（2024 静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．
【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
3．（2024 太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，则 y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x1＞x2，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵点A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上，且x1＞x2，
∴y1＜y2．
故选：B．
4．（2024 衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A（2，0），点B（0，4），则OA＝2，OB＝4，再由点P（1，0）得OP＝1，则OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，证△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，则PF＝，再证△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，则ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．
【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：
则EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，
∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，
根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，
∴MN+MP+NP≥EF，
∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，
对于y＝﹣2x+4，当x＝0时，y＝4，当x＝0时，x＝2，
∴点A（2，0），点B（0，4），
∴OA＝2，OB＝4，
又∵点P（1，0），
∴OP＝1，
∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，
在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝＝，
∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA＝90°，
∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，
又∵∠PAC＝∠BAO，
∴△PAC∽△BAO，
∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，
即，
∴PC＝，
∴FC＝PC＝，
∴PF＝FC+PC＝，
∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，
∵△PFD∽△BAO，
∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，
即，
∴FD＝，PD＝，
∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，
在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，
由勾股定理得：EF＝＝．
故选：C．
5．（2024 普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 ﹣ ．
【分析】代入y＝1，求出x的值即可．
【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，
解得：x＝﹣，
∴点A的横坐标是﹣．
故答案为：﹣．
6．（2023 郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y＝﹣2|x﹣1|+3 … ﹣5 m ﹣1 1 3 1 n ﹣3 ﹣5 …
填空：m＝ ﹣3 ，n＝ ﹣1 ；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：① 该函数图象是轴对称图形 ；② 该函数有最大值3（答案不唯一） ；
（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范围是 ﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5 ．
【分析】（1）分别求出x＝﹣2和x＝3时对应的y值即可；
（2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可；
（3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质；
（4）分别求得y＝2与y＝﹣2时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，
当x＝3时，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，
故答案为：﹣3，﹣1；
（2）根据描点连线，如图所示．
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）．
故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3（答案不唯一）；
（4）当y＝2时，即﹣2|x﹣1|+3＝2，
解得：x＝0.5或x＝1.5，
当y＝﹣2时，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2
解得x＝﹣1.5或x＝3.5，
根据函数图象可得，点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，
∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．
7．（2023 太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 （2，1） ．
归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 （m，n） ．
【实践运用】
（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为4，求k的值．
【分析】（1）根据列表、描点、连线作图．
（2）将x＝2代入解析式求解．
（3）将x＝m代入解析式求解．
（4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解．
【解答】解：（1）列表：
x ﹣1 0 1 2 3
y ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 3
如图：
（2）将x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，
∴函数y＝k（x﹣2）+1的图象一定经过（2，1）．
故答案为：（2，1）．
（3）将x＝m代入y＝k（x﹣m）+n得y＝n，
∴函数y＝k（x﹣m）+n的图象一定经过（m，n），
故答案为：（m，n）．
（4）将x＝﹣2代入y＝k（x+2）+3得y＝3，
∴点N坐标为（﹣2，3），
将x＝0代入y＝k（x+2）+3得y＝2k+3，
∴点A坐标为（0，2k+3），
∴OA＝|2k+3|，
∴S△OAN＝OA |xN|＝OA＝|2k+3|＝4，
解得k＝﹣或k＝．
8．（2023 花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ﹣ ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，由四边形OECD的面积是9，得出S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4） m+（﹣m+4） （6﹣m）＝9，解方程求得m的值，即可求得C的坐标；
②由题意可知2（m﹣m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得C的坐标
【解答】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）①如图1，由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．
∴设C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），
∵点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），
∴OD＝6，OE＝1，
∴OM＝m，CM＝﹣m+4，
∵四边形OECD的面积是9，
∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4） m+（﹣m+4） （6﹣m）＝9，
整理得2m＝6，
解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，）；
②∵CE平行于x轴，CD平行于y轴，
∴四边形CEOD是矩形，
∵四边形OECD的周长是10，
∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，
解得m＝2或m＝6，
点C的坐标为（2，3）或（﹣，）．
题型02 一次函数的应用
解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量 解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润 解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义
【中考真题练】
1．（2023 山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
【分析】根据不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，可得在弹性限度内，y与x的函数关系式．
【解答】解：根据题意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），
故选：B．
2．（2023 聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【分析】设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，因为小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解决问题．
【解答】解：设小亮与小莹相遇时，小亮乘车行驶了x小时，
∵小亮、小莹乘车行驶完全程用的时间分别是小时，小时，
∴小亮、小莹乘车行驶的速度分别是a千米/时，2a千米/时，
由题意得：ax+2a（x﹣）＝a，
∴x＝，
小时＝28分钟，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28．
故选：A．
3．（2023 郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项．
【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min，
故A不符合题意；
修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），
故B不符合题意；
车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），
故C不符合题意；
900÷600＝1.5，
∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍，
故D符合题意，
故选：D．
4．（2023 朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出a的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出b的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：600÷100＝6（米/秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：600÷60﹣6＝4（米/秒），
a＝4×100＝400，故①错误，不符合题意；
b＝600÷4＝150，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距50米时，甲出发了m秒，
两人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），
解得m＝55；
两人相遇后：（600+50）＝m（6+4），
解得m＝65；故④正确，符合题意；
故选：C．
5．（2023 镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
【分析】设小明家距离商场为s m，先根据题意求出小明去商场的所用时间，再根据速度＝得出小明去商场时的速度速度，，再根据返回速度是去商场的速度的1.2倍，求出小明返回时所用时间即可．
【解答】解：设小明家距离商场为s m，
∵小明购物用时30min，
∴小明从家到商场所用时间为42﹣30＝12（min），
∴小明从家到商场的速度为（m/min），
∵小明返回速度是去商场的速度的1.2倍，
∴小明返回所用时间为＝10（min），
∴a＝42+10＝52，
故选：D．
6．（2023 威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 y＝80x﹣10 ．
【分析】根据当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，可得当x＝0.5时，y＝30，设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，用待定系数法可得答案．
【解答】解：∵当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x，
∴当x＝0.5时，y＝30，
设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，
把（0.5，30），（2，150）代入得：
，
解得，
故答案为：y＝80x﹣10．
7．（2023 恩施州）为积极响应州政府“悦享成长 书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
【分析】（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，列不等式组找到a的取值范围，再设总费用为w元，得到w与a的关系，根据一次函数的性质可得当a取最小值时w有最小值，据此求解即可．
【解答】解：（1）设男装单价为x元，女装单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
答：男装单价为100元，女装单价为120元．
（2）设参加活动的女生有a人，则男生有（150﹣a）人，
根据题意可得，
解得：90≤a≤100，
∵a为整数，
∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，
故一共有11种方案，
设总费用为w元，则w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，
∵20＞0，
∴当a＝90时，w有最小值，最小值为15000+20×90＝16800（元），
此时，150﹣a＝60（套），
答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．
8．（2023 青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【分析】（1）根据条件，购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，列出方程组解出x、y值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；
②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函数W随m的增大而减小，当m＝50时，W取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
【解答】解：（1）设购进AT恤衫x件，购进BT恤衫y件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
∴全部售完获利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．
（2）①设第二次购进A种T恤衫m件，则购进B种T恤衫（150﹣m）件，根据题意150﹣m≤2m，即m≥50，
∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），
∵﹣4＜0，一次函数W随m的增大而减小，
∴当m＝50时，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），
∵2800＜2880，
∴服装店第二次获利不能超过第一次获利．
9．（2023 黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 120 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【分析】（1）由图象知，C（4，480），设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到结论；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，可得此时出租车距离乙地为120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得货车装完货物时，x＝2，B（2，120），根据货车继续出发h后与出租车相遇，可得×*出租车的速度+货车的速度）＝120，根据直线OC的解析式为y＝120x，可得出租车的速度为120km/h，于是得到相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h）故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，将B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直线BG的解析式为y＝60x，故货车装完货物后驶往甲地的过程中，于是得到结论；
（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象知，C（4，480），
设直线OC的解析式为y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，
解得k＝120，
∴直线OC的解析式为y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，
故答案为：120；
（2）由停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车行驶时间为小时，
∵a＝120（km），
∴货车卸货时与乙地相距120km，
∴出租车距离乙地为120+120＝240（km），
∴出租车距离甲地为480﹣240＝240（km），
把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，
解得x＝2，
∴货车装完货物时，x＝2，B（2，120），
根据货车继续出发h后与出租车相遇，
可得×（出租车的速度+货车的速度）＝120，
根据直线OC的解析式为y＝120x（0≤x≤4），
可得出租车的速度为120km/h，
∴相遇时，货车的速度为120﹣120＝60（km/h），
故可设直线BG的解析式为y＝60x+b，
将B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，
解得b＝0，
∴直线BG的解析式为y＝60x（2≤x≤8），
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式为y＝60x，
（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，
解得x＝8，
∴G（8，480），
∴F（8，0），
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，经过比货车早15分钟到达甲地，可得EF＝，
∴，
∴出租车返回后的速度为480÷（）＝128km/h，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km，
此时货车距离乙地为60t km，出租车距离乙地为128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，
①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，
解得t1＝；
②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，
解得t2＝，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发h或h与出租车相距12km．
【中考模拟练】
1．（2024 兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
【分析】利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式，将x＝620代入计算即可作出判断．
【解答】解：设y甲＝kx，把（1200，960）代入，
得1200k＝960，解得k＝0.8，
所以y甲＝0.8x，
当0＜x＜200时，设y乙＝ax，
把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，
所以y乙＝x；
当x≥200时，设y乙＝mx+n，
把（1200，900），（200，200）代入，得，
解得．
所以y乙＝，
x＝620时，
y甲＝0.8×620＝496，
y乙＝0.7×620+60＝494，
494＜496，
∴从省钱的角度建议选择乙商场，
故选：B．
2．（2024 锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．
【分析】由两次相遇知两人共走了（3×2800）米，且速度不变，得c＝60÷3＝20（分）．故C选项不符合题意；
由拐点得此时亮亮到达A地，故亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），由速度和为2800÷20＝140（米/分），得明明的速度为60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B选项符合题意；
最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D选项符合题意．
【解答】解：∵第一次相遇两人共走了2800米，
第二次相遇两人共走了（3×2800）米，
且二者速度不变，
∴c＝60÷3＝20（分）．
故C选项不符合题意；
∵x＝35时，出现拐点，
∴此时亮亮到达A地，路程为2800米，
亮亮的速度为2800÷35＝80（米/分），
两人的速度和为2800÷20＝140（米/分），
明明的速度为140﹣80＝60（米/分），
∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；
故A选项不符合题意；
在35～d时，两人相向而行，速度之差为80﹣60＝20（米/分），
最后一段两人相对而行，速度之和为80+60＝140（米/分），
第二次相遇时距离A地距离为60×80﹣2800＝2000（米），
所以b＝2000．
故B选项不符合题意；
最后一段两人相对而行，140（60﹣d）＝2000，
解得d＝，
故D选项符合题意；
故选：D．
3．（2024 中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先建立函数关系式，再根据题意逐个判断即可．
【解答】解：设y甲＝kx，代入点（6，600）得：600＝6k，
∴k＝100．
∴y＝100x，
当0≤x≤2时，设y乙＝kx，代入点（2，300）得：300＝2k．
∴k＝150，
∴y乙＝150x，
当x≥2时，设y乙＝kx+b，代入点（2，300），（6，500）得：
解得：k＝50，b＝200．
∴y乙＝50x+200．
∵600÷6＝100米/天，
∴①正确．
∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，
∴②正确．
∵当x＝4时，y甲＝100x＝400（米）．
y乙＝50×4+200＝400（米）．
∴③正确．
当y甲＝100x＝600时，x＝6．
当y乙＝50x+200＝600时，x＝8，
8﹣6＝2，
∴④正确．
故选：D．
4．（2024 市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发 2.1 h后，两人相遇．
【分析】根据图形求出两人的速度，设出发x小时后两人相遇，再根据两人相遇时路程之和等于60即可求解．
【解答】解：根据图像：乙的速度为：（60﹣40）÷1＝20（km/h），
甲的速度为：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），
设出发x小时后两人相遇，
根据题意得20（x﹣0.5）+x＝60，
解得x＝2.1，
故答案为：2.1．
5．（2024 昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即可．
【解答】解：设y1为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y1＝k1x+b1，
∴，
解得，
即y1＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1），
设y2乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y2＝k2x+b2，
∴，
解得，
即y2＝6x+2 （0≤x≤1）；
令y1＝y2，则﹣4x+4＝6x+2，
解得：x＝，
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为小时．
故答案为：．
6．（2024 桑植县一模）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需35元；若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需40元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
【分析】（1）根据题意可以写出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．
【解答】解：（1）设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种奖品的单价为10元，B种奖品的单价为15元；
（2）由题意可得，
W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，
∴W随m的增大而减小，
∵购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，
∴，
解得73≤m≤75，
∴当m＝75时，W取得最小值，此时W＝1125，
答：W（元）与m（件）之间的函数关系式是W＝﹣5m+1500（73≤m≤75），最少费用W的值为1125．
7．（2024 绥化模拟）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，e知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案． 购买方案门票类型ABC购买数量/张
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的函数关系．
（1）B，C两场馆之间的距离为 2 km；
（2）第二组步行的速度为 10 km/h；
（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．
【分析】任务一．
任务1．根据购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元列出二元一次方程组求解即可得到A场馆和B场馆的门票价格；
任务2．若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，那么参观A场馆的人数和参观C场馆的人数相等．购买门票所需总金额＝购买A场馆的门票费用+购买B场馆的门票费用．根据到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数可得自变量的取值范围，根据一次项系数的符号及自变量的取值范围可得此次购买门票所需总金额的最小值；
任务3．设购买A场馆门票m张，购买B场馆门票n张，则购买C场馆门票（40﹣m﹣n）张．根据最终购买三种门票共花费了1100元可得二元一次方程，进而根据去A场馆的人数少于去C场馆的人数，去A场馆的人数尽量多求得合适的正整数解即可；
任务二、
（1）、由题意得：“W”形状的函数图象表示第二组同学离B场馆的距离与步行的时间的函数关系式，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．到达点C处时对应y轴上的数是2，那么B，C两场馆之间的距离为2km；
（2）、由图象可得：第二组同学从A场馆到B场馆，步行了8千米，从B场馆到C场馆，步行了2千米，原路返回后，步行的总路程为20千米，除以总用时，即为第二组步行的速度；
（3）、第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间＝第二组同学从A场馆到B场馆的路程÷第二组步行的速度，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：任务一．
任务1：设A场馆门票为x元/张，B场馆门票为y元/张．
由题意，得：．
解得：．
答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元．
任务2：设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票（40﹣2a）张．
依题意，得a＜40﹣2a．解得．
设此次购买门票所需总金额为w元，则
w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600．
∵﹣30＜0，
∴w随a的增大而减小．
∵，且a为整数，
∴当a＝13时，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210（元），
答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元．
任务3：设购买A场馆门票m张，购买B场馆门票n张，则购买C场馆门票（40﹣m﹣n）张．根据题意，得：
50m+40n+15（40﹣m﹣n）＝1100．
50m+40n+600﹣15m﹣15n＝1100．
35m+25n＝500．
25n＝500﹣35m．
n＝20﹣m．
∵m、n均为正整数，m足够多，m＜40﹣m﹣n，
∴m＝10，n＝6，c＝24．
购买10张A场馆门票，6张B场馆门票，24张C场馆门票．
任务二．
（1）由题意得：“W”形状的函数图象表示第二组同学离B场馆的距离与步行的时间的函数关系式，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．到达点C处时对应y轴上的数是2，
∴B，C两场馆之间的距离为2 km．
故答案为：2．
（2）由题意得：第二组同学步行的路程为：2（8+2）＝20（km），步行用的时间为2小时，
∴步行的速度为20÷2＝10（km/h）
故答案为：10．
（3）∵第二组从A场馆出发首次到达B场馆所走的路程为8km，第二组的速度是10km/h，
∴第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间为8÷10＝0.8h．
答：第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间为0.8小时．
题型03 一次函数与几何的综合
解题大招：一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐标特征；
【中考真题练】
1．（2023 兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC＝，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
【分析】（1）由已知点的坐标可求出∠TGO＝30°且P到EF的距离为2，从而利于三角比可求出线段GP的长，进而可得点P的坐标；
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，从而可得＝2a，求出a即可求出三角形的边长；
（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为，从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．
【解答】解：（1）AB线段上任意两点距离的最大值为3﹣1＝2，即P到EF的距离为2，
过P作PC⊥EF于点C，由题意知，GO＝1，TO＝，
则tan∠TGO＝＝，
∴∠TGO＝30°，
∴GP＝＝＝4，
∴P（3，0）．
（2）设等边三角形△ABC的边长为2a（0＜a＜），则C（a，），
△ABC上任意两点距离的最大值即为2a，
当P在线段BC上时，P到x轴的距离最小，距离为，由题意知，
＝2a，
解得，a＝1或﹣1（舍去），
所以此时等边三角形ABC的边长为2．
（3）由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为＝，
即正方形ABCD上始终存在点P，P到EF的距离为．
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y＝﹣x+b+2，
当l1过A时，b＝﹣1，
当l1过C时，b＝1，
即﹣1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y＝﹣x+b﹣2，
当l1过A时，b＝3，
当l1过C时，b＝5，
即3≤b≤5；
综上所述，当﹣1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”．
2．（2023 沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
【分析】（1）根据直线y＝x﹣的解析式求出C点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）①用含m的代数式表示出MN，再根据MN＝CQ得出结论即可；
②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式得出m的值即可．
【解答】解：（1）∵点C（6，a）在直线y＝x﹣上，
∴a＝＝，
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（8，0）和点C（6，），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；
（2）①∵M点在直线y＝﹣x+6上，且M的横坐标为m，
∴M的纵坐标为：﹣m+6，
∵N点在直线y＝x﹣上，且N点的横坐标为m，
∴N点的纵坐标为：m﹣，
∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，
∵点C（6，），线段EQ的长度为l，
∴|CQ|＝l+，
∵|MN|＝|CQ|，
∴﹣＝l+，
即l＝（0≤m＜）；
②∵△AOQ的面积为3，
∴OA EQ＝3，
即，
解得EQ＝，
由①知，EQ＝6﹣，
∴|6﹣|＝，
解得m＝或，
即m的值为或．
3．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）过点A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的长，得到点A、D的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；
（2）首先证明△EOD是等边三角形，求出DO＝DF＝4，然后分情况讨论：①当点N在DF上，即0≤t≤2时，过点M作NP⊥OB于P，②当点M在DE上，即2＜t≤4时，过点M作NT⊥OB于T，分别解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面积公式列式即可；
（3）分情况讨论：①当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性质得出点Q的坐标；②当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点M作NL⊥CF于L，证明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性质得出点Q的坐标．
【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，
∴OC＝6，
∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，
∴OA＝OC＝6，∠BOC＝∠AOC＝30°，
∴CD＝OC tan30°＝6×＝2，
∴D（6，2），
过点A作AH⊥OC于H，
∵∠AOH＝60°，
∴OH＝OA＝3，AH＝OA sin60°＝6×＝3，
∴A（3，3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
代入A（3，3），D（6，2 ）得：，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y＝﹣；
（2）解：由（1）知在Rt△COD中，，∠DOC＝30°，
∴，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵直线与y轴交于点E，
∴，
∴OE＝OD，
∴△EOD是等边三角形，
∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，，
∴∠OFE＝30°＝∠DOF，
∴，
①当点N在DF上，即 时，
由题意得：，，
过点N作NP⊥OB于P，
则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4﹣2t）×＝6﹣t，
∴S＝DM×NP＝（4﹣t）×（6﹣t）＝t2﹣9t+12；
②当点N在DE上，即 时
由题意得：DM＝OD﹣OM＝，DN＝2t﹣4，
过点N作NT⊥OB于T，
则NT＝DN sin∠NDT＝DN sin60°＝（2t﹣4）×＝，
∴S＝＝；
综上，S＝；
（3）解：存在，分情况讨论：
①如图，当AN是直角边时，则CN⊥EF，过点N作NK⊥CF于K，
∵∠NFC＝30°，，
∴∠NCK＝60°，，
∴CF＝12﹣6＝6，
∴，
∴CK＝CN×cos60°＝3×＝，NK＝CN×sin60°＝3×＝，
∴将点N向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点C，
∴将点A向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（，）；
②如图，当AN是对角线时，则∠ACN＝90°，过点N作NL⊥CF于L，
∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，
∴CL＝FL＝CF＝3，
∴NL＝CL tan30°＝3×＝，
∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点N，
∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移 个单位长度得到点Q，
∵，
∴Q（6，4）；
∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是 或（6，4）．
【中考模拟练】
1．（2024 潮阳区校级一模）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 2 ．
【分析】连接OP、OQ．根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
∵一次函数，
当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
当y＝0时，x＝3，
∴B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∴AB＝＝6，
∴OP＝AB＝3，
∴PQ＝＝2．
故答案为：2．
2．（2024 邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 （﹣2，﹣2） ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 或7或3+或3﹣ ．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；表示出线段OA，OC，利用勾股定理即可求得线段AC的长度；
（2）①利用关于y轴对称的点的坐标的特征解答即可；
②分三种情况讨论解答，当∠ACE＝90°时和当∠CAE＝90°时，求出直线EC，AE的解析式，令y＝﹣2，即可求得结论；当∠AEC＝90°时，过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，利用相似三角形的判定与性质求得线段AF，即可得出结论．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∴OC＝3，
∵点A坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝＝＝3；
（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，
∴D（﹣2，﹣2）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；
②当∠ACE＝90°时，如图，
∵EC⊥AC，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，
令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，
∴x＝﹣，
∴E（，﹣2）；
当∠CAE＝90°时，如图，
∵EC⊥AC，
∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，
∴0＝﹣2×6+m＝0，
∴m＝12，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，
令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，
∴x＝7，
E（7，﹣2）；
当∠AEC＝90°时，如图，
过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，
∵∠AEC＝90°，
∴∠FEA+∠CEG＝90°，
∵CG⊥FE，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∠GCE＝∠FEA，
∵∠CGE＝∠AFE＝90°，
∴△CGE∽△EFA，
∴．
由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，
∴．
∴AF＝﹣3．
∴OF＝3+，
∴E（3+，﹣2），
同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣，﹣2）．
综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为或7或3+或3﹣．
故答案为：或7或3+或3﹣．
3．（2024 邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中有A（﹣4，1），B（1，6）两点，在线段AB处放置一平面镜．从点C（﹣1，0）发出一束光线照向平面镜AB上的动点P．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）若光线CP的解析式为y＝﹣3x+b，求出点P的坐标；
（3）若光线CP经过AB的反射后落在x轴上的点D（﹣2，0）处，直接写出光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+t，把A，B坐标代入解析式，用待定系数法求解析式即可；
（2）把C（﹣1，0）代入y＝﹣3x+b即可得出b的值；再联立y＝x+5解方程组，即可求出P的坐标；
（3）根据光反射原理，先找到点C关于AB的对称点C′，再连接C′D交AB于点P，求出直线DC′的长即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+t（k≠0），
∵A（﹣4，1），B（1，6），
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+5；
（2）∵直线CP：y＝﹣3x+b过点C（﹣1，0），
∴3+b＝0，
∴b＝﹣3，
即直线CP：y＝﹣3x﹣3，
联立方程组，
解得，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（3）如图：作出点C关于直线y＝x+5的对称点C′，根据光反射原理，反射光线经过点C′，连接C′D交AB于P，
∴PC′＝PC，CC′⊥AB，
∵直线AB的解析式为y＝x+5，
∴E（﹣5，0），F（0，5），
∴∠PEC＝45°，
∵C（﹣1，0），
∴Q（﹣3，2），
∴C′（﹣5，4），
∴光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长为CP+PD＝C′P+PD＝C′D，
∵点D（﹣2，0），
∴C′D＝＝5，
∴光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长为5．
4．（2024 龙湖区一模）综合运用
（1）如图1，∠ACE＝90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点D，当BC＝DE时，判断线段AC与CE的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数解析式．
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
【分析】（1）根据ASA可判定△ACB≌△CED，即可得出结论；
（2）过过点A做AC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D，根据△ADC≌△BOA，求得C（﹣7，3），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式；
（3）根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，﹣2x+6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
又∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠ACB＝∠CED，
∵BC＝DE，
∴△ACB≌△CED（ASA），
∴AC＝CE；
（2）∵直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A，B，
∴B（0，4）、A（﹣3，0），
如图2，过点A做AC⊥AB交直线l2于点C，过点C作CD⊥x轴于D，
∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
∵将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，
∴∠ABC＝45°，
∴BC＝CA，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝AO＝3，AD＝BO＝4，
∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
设l2的解析式为y＝kx+b，将B，C点坐标代入，得，
解得，
∴l2的函数表达式为y＝x+4；
（3）当点D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，
即：12﹣2x＝8﹣x，
解得x＝4，
∴﹣2x+6＝﹣2，
∴D（4，﹣2），
此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；
当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，
设D（x，﹣2x+6），则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，
同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，
即：2x﹣12＝8﹣x，
解得x＝，
∴﹣2x+6＝﹣，
∴D（，﹣），
此时，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合题意，
综上，点D的坐标为（4，﹣2）或，﹣）．
考点二：反比例函数
反比例函数在中考中的占比比一次函数更大，也常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征和k的几何意义考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系等。
题型01 反比例函数图象上点的坐标特征
易错点：在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 解题大招：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
【中考真题练】
1．（2023 泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
【分析】根据反比例函数的坐标特征，一次函数的性质，二次函数的坐标特征即可判断．
【解答】解：A、若直线y＝ax+b过点（1，4），（2，2），则，
解得，
所以y＝﹣2x+6，
当x＝4时，y＝﹣2，故（4，1）没在直线y＝ax+b上，故A不合题意；
B、由表格可知，y与x的每一组对应值的积是定值为4，所以y是x的反比例函数，a＝4＞0，不合题意；
C、把表格中的函数y与自变量x的对应值代入y＝ax2+bx+c得，
解得，符合题意；
D、由C可知，不合题意．
故选：C．
2．（2023 浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断出y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：∵反比例函数y＝，
∴该函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
3．（2023 通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由x1＜0＜x2，可判断y1＞0＞y2，进而得出答案．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，而x1＜0＜x2，
∴点A（x1，y1）在第二象限反比例函数的图象上，B（x2，y2） 在第四象限反比例函数的图象上，
∴y1＞0＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
故选：D．
4．（2023 牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（2，a），则E（1，a+2），
可得：2a＝1×（a+2），
解得：a＝2，
故C（2，2），
则k＝2×2＝4．
故选：B．
5．（2023 邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解．
【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y＝图象上，
∴4＝．
∴k＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝．
∵点E在反比例函数图象上，
∴可设（a，）．
∴AD＝a﹣2＝ED＝．
∴a1＝4，a2＝﹣2．
∵a＞0，
∴a＝4．
∴E（4，2）．
故选：D．
6．（2023 湖北）在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，
∴反比例函数y＝的图象位于一、三象限，
4﹣k＞0，
解得k＜4，
故选：C．
7．（2023 德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝﹣ B． C． D．
【分析】先根据函数图象经过点B和点E，求出a和b，再由所得函数解析式即可解决问题．
【解答】解：由题知，
A（6，0），B（6，3），C（0，3），
令直线AC的函数表达式为y1＝k1x+b1，
则，
解得，
所以．
又因为点D为OA的中点，
所以D（3，0），
同理可得，直线BD的函数解析式为y2＝x﹣3，
由得，
x＝4，
则y＝4﹣3＝1，
所以点E坐标为（4，1）．
将B，E两点坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以，
则，
将此函数图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
所得图象的函数解析式为：．
故选：D．
8．（2023 深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ 4 ．
【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出∠COx的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴，垂足为E，
∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，
∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
在Rt△OBC中＝，即＝，
∴OC＝4，
在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，
＝，即＝，
∴OE＝2，
∴点C（2，2），
∴k＝2×2＝4．
故答案为：4．
9．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 2﹣2 ．
【分析】构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，
∴∠MOA＝∠NAB，
∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．
∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m＝（m+2）（2﹣m），
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），
∴点A的坐标为（﹣1+，2），
∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．
10．（2023 株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
【分析】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值；
（2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上，
∴2＝，
∴k＝2，
即k的值为2；
（2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上，
∴OA＝﹣t，
∵四边形OABC为正方形，
∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴，
∴△BCP的面积为S＝×（﹣t）×（2﹣t）＝t2﹣t，
∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1．
【中考模拟练】
1．（2024 高唐县一模）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝中k＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣3＜0，﹣1＜0，
∴A（﹣3，a），B（﹣1，b）位于第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴0＞a＞b．
∵2＞0，
∴点C（2，c）位于第一象限，
∴c＞0，
∴b＜a＜c．
故选：B．
2．（2024 元谋县一模）若反比例函数经过点（﹣2，6），则其图象分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
【分析】先求出k值，再利用反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数经过点（﹣2，6），
∴k＝﹣2×6＝﹣12＜0，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，
故选：D．
3．（2024 瓯海区模拟）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
【分析】过点C作CH⊥AD于点H，可得CH∥EG∥OF，进而可得：△DFO∽△DCH，△AEG∽△ACH，结合CF＝2DF和菱形性质，可推出：CH＝3OF，DH＝3OD，，设OD＝a，则DH＝3a，再结合DG﹣AG＝3，即可求出a＝1，运用勾股定理建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AD于点H，
∵EG⊥OA，即EG⊥AD，
∴CH∥EG∥OF，
∴△DFO∽△DCH，
∴，
∵CF＝2DF，DC＝DF+CF，
∴DC＝3DF，
∴，
∴CH＝3OF，DH＝3OD，
设OD＝a，则DH＝3a，
∴OH＝DH﹣OD＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CE＝AE，即，
∵EG∥CH，
∴△AEG∽△ACH，
∴，
∴AG＝GH，
∵DG﹣AG＝3，
∴DH+GH﹣AG＝3，
∴DH＝3，即3a＝3，
∴a＝1，
∴OH＝2，即点C的横坐标为2，
∵反比例函数y＝的图象经过C，E两点，
∴C（2，k），
∴CH＝k，
∴EG＝CH＝k，
∴E（4，k），
∴G（4，0），
∴OG＝4，
∴GH＝OG﹣OH＝4﹣2＝2，
∴AG＝2，
∴AD＝OD+OH+GH+AG＝1+2+2+2＝7，
∴CD＝7，
在Rt△CDH中，DH2+CH2＝CD2，
∴32+（k）2＝72，
解得：k＝±4，
∵反比例函数y＝的图象在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝4，
故选：C．
4．（2024 任城区一模）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（﹣，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y＝（x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
【分析】此题要求反比例函数的解析式，只需求得点E的坐标．根据点B的坐标，可知矩形的长和宽；从而再根据锐角三角函数求得点E的坐标，运用待定系数法进行求解．
【解答】解：过E点作EF⊥OC于F，
由条件可知：OE＝OA＝5，＝，
所以EF＝3，OF＝4，
则E点坐标为（﹣4，3）
设反比例函数的解析式是y＝
则有k＝﹣4×3＝﹣12
故选：C．
5．（2024 潜山市校级一模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝ ．
【分析】作CD⊥OB于点D，求出∠CBD＝30°，然后求出CD和BD的长，设A（a，2）则，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可．
【解答】解：如图，作CD⊥OB于点D．
∵△ABC为等边三角形，AB＝2，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝2．
∵AB⊥x轴，
∴∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴，
∴．
设A（a，2）则．
∵点A，点C在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（2024 铁东区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，BD∥x轴交OA于点D，，BD＝4，OB＝8，则k的值为 ．
【分析】延长BD交y轴于M，设点B，其中t＞0，则BM＝t，OM＝k/t，MD＝BM﹣BD＝t﹣4，根据AC＝得点A，则OC＝，证△OMD和△OCA相似得OM：OC＝MD：AC，即，整理得t2﹣4t﹣12＝0，由此解出t＝6，则BM＝t＝6，然后在Rt△OBM中由勾股定理求出OM＝，则点B（6，），据此可得k的值．
【解答】解：延长BD交y轴于M，如下图所示：
∵点B在反比例函数的图象上，
∴设点B，其中t＞0，
∴BM＝t，OM＝，
∵BD＝4，
∴MD＝BM﹣BD＝t﹣4，
∵AC⊥y轴于点C，BD∥x轴交OA于点D，
∴BM＝t，OM＝，BD∥AC，
∵AC＝，
∴点A的横坐标为，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴点AA，
∴OC＝，
∵BD∥AC，
∴△OMD∽△OCA，
∴OM：OC＝MD：AC，
∴OC MD＝OM AC，
即，
整理得：t2﹣4t﹣12＝0，
解得：t1＝6，t2＝﹣2（不合题意，舍去），
检验后知道t＝6是分式方程的根，
∴BM＝t＝6，
在Rt△OBM中，BM＝6，OB＝8，
由勾股定理得：OM＝＝，
∴点B（6，），
∴k＝6×＝．
故答案为：．
7．（2024 浙江模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．
（1）若点A的坐标为（，2），则a+b的值是 ﹣2 ．
（2）若点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是 6 ．
【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得a、b的值，进而求得a+b的值；
（2）设A点的纵坐标为n，由题意可知C点的纵坐标为n﹣1，根据AB∥x轴，AB＝2得出﹣＝2，得到a﹣b＝2n，根据CD∥AB，CD＝3，得出﹣＝3，得到a﹣b＝3n﹣3，即可得出2n＝3n﹣3，解得n＝3，即可求得a﹣b＝6．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，AB＝2，
∴B（﹣，2），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，
∴a＝＝1，b＝﹣＝﹣3，
∴a+b＝﹣2．
故答案为：﹣2；
（2）设A点的纵坐标为n，则C点的纵坐标为n﹣1，
∵AB∥x轴，AB＝2，
∴A（，n），B（，n），
∴﹣＝2，
∴a﹣b＝2n，
∵CD∥AB，CD＝3，
∴C（，n﹣1），D（，n﹣1），
∴﹣＝3，
∴a﹣b＝3n﹣3，
∴2n＝3n﹣3，
∴n＝3，
∴a﹣b＝2n＝6．
故答案为：6．
8．（2024 遵义一模）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
（1）表中m的值是 1 ，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），请直接写出不等式的解集．
【分析】（1）将x＝2代入的求解，根据表格所给点作图．
（2）观察图象即可得出函数的性质．
【解答】解：（1）将x＝2代入的得y＝＝1，
∴m＝1，
将函数的图象补充完整如图：
；
故答案为：1；
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），
∴，解得，
∴一次函数为y＝，
令，整理得x2+5x﹣4＝0，
解得x＝或x＝（舍去），
∴一次函数y＝与函数y＝的交点的横坐标是，
令＝﹣，整理得x2+5x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝﹣1，
∴一次函数y＝与函数y＝﹣的交点的横坐标是﹣4或﹣1，
由图象可知，不等式的解集是﹣4＜x＜﹣1或x＞．
题型02 反比例函数与一次函数图象的交点问题
解题大招：反比例函数与一次函数的交点的求解方法——联立两个函数的解析式，解得方程的解就是交点的横纵坐标。
【中考真题练】
1．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
【分析】结合函数图象以及A、B的坐标解答即可．
【解答】解：由题意得：
当x＞3时，y1＞y2，故选项A结论错误，不符合题意；
当x＜﹣1时，y1＜y2，故选项B结论正确，符合题意；
当0＜x＜3时，y1＜y2，故选项C结论错误，不符合题意；
当﹣1＜x＜0时，y1＞y2，故选项D结论错误，不符合题意．
故选：B．
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】依据题意，首先求出B点的横坐标，再直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为不等式的解集．
【解答】解：∵A（2，3）在反比例函数上，
∴k＝6．
又B（m，﹣2）在反比例函数上，
∴m＝﹣3．
∴B（﹣3，﹣2）．
结合图象，
∴当ax+b＞时，﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：A．
3．（2023 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】代入A点到一次函数中，得出一次函数解析式，再求出B点坐标，连接CO，根据＝，以及△COA和△AOB等高，所以S△COA：S△AOB＝1：2，又因为两个三角形共用一条边OA，作CH⊥OA，得到CH：OB＝1：2，求出CH长度，即C点纵坐标，代入一次函数中求出C点坐标，再求出k值．
【解答】解：连接CO，作CH⊥OA交坐标轴于H点（如图）；
∵A点在一次函数图象中，代入得到b＝，
∴一次函数解析式：y＝；
∵B点横坐标为0，
∴代入得到纵坐标为，OB＝；
∵△COA和△AOB等高，且，
∴S△COA：S△AOB＝1：2；
又∵△COA和△AOB共用一条边OA，
∴CH：OB＝1：2，
∴CH＝＝；
∴将C的纵坐标代入一次函数中，得到横坐标为3；
∴C点坐标（3，），
∴k＝3×＝；
故选：C．
4．（2023 达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ﹣6 ．
【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y＝﹣，故可设C（a，﹣），再由AC＝AB求出a的值代入y＝即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
5．（2023 徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．
【分析】设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），易证得四边形AOBP是正方形，则PB∥x轴，PB＝OB，即可证得△DBN∽△MON，求得BD＝BN，由D为PB的中点，可知N为OB的中点，得出OB＝2ON＝2，从而得出P（2，2），利用待定系数法即可求得k．
【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N（0，1），
∴OM＝ON＝1，
∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，
∴四边形AOBP是正方形，
∴PB∥x轴，PB＝OB，
∴△DBN∽△MON，
∴＝＝1，
∴BD＝BN，
∵D为PB的中点，
∴N为OB的中点，
∴OB＝2ON＝2，
∴PB＝OB＝2，
∴P（2，2），
∵点P在反比例函数的图象上，
∴k＝2×2＝4，
故答案为：4．
6．（2023 阜新）正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC的面积是 5 ．
【分析】先求出A，B两点的坐标，进而得出点C的坐标，以AC为底，则高为A，B两点间的水平距离，可求得△ABC的面积．
【解答】解：由题知，
，解得或，
即A（，），B（，）．
又AC⊥x轴，垂足为点C，
所以C（，0）．
则AC＝，
故h＝＝．
所以＝5．
故答案为：5．
7．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 （，2） ．
【分析】由题意，点A（2，2），则∠AOx＝45°，同时可得双曲线解析式，再作CH⊥x轴，作BG⊥CH，可得∠CBG＝45°，又BC＝2，再结合双曲线解析式可以得解．
【解答】解：∵点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，
∴2＝．
∴k＝4．
∴双曲线解析式为y＝．
如图，作AD⊥x轴，CH⊥x轴，作BG⊥CH，垂足分别为D、H、G．
∵A（2，2），
∴AD＝OD．
∴∠AOD＝45°．
∴∠AOB＝45°．
∵OA∥BC，
∴∠CBO＝180°﹣45°＝135°．
∴∠CBG＝135°﹣90°＝45°．
∴∠CBG＝∠BCG．
∵BC＝2，
∴BG＝CG＝．
∴C点的横坐标为．
又C在双曲线y＝上，
∴C（，2）．
故答案为：（，2）．
8．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
【分析】把A（﹣2，3），B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴k2＝﹣2×3＝﹣2m
∴m＝3，
∴B（3，﹣2），
∵BP∥x轴，
∴BP＝3，
∴S△ABP＝＝．
故答案为：．
9．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2＝（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围；
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，则Q（p，），求得PQ＝﹣2p+9﹣，根据三角形面积公式得到S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3，解得即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y2＝（x＞0）的图象经过点A（4，1），
∴1＝．
∴m＝4．
∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）．
把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8．
∴点B坐标为（，8），
∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8），
∴．
∴．
故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）由y1﹣y2＞0，
∴y1＞y2，即反比例函数值小于一次函数值．
由图象可得，＜x＜4．
（3）由题意，设P（p，﹣2p+9）且≤p≤4，
∴Q（p，）．
∴PQ＝﹣2p+9﹣．
∴S△POQ＝（﹣2p+9﹣） p＝3．
解得p1＝，p2＝2．
∴P（，4）或（2，5）．
【中考模拟练】
1．（2024 南通模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx＞﹣b的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx＞﹣b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：C．
2．（2024 关岭县一模）如图，反比例函数与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可计算出第一象限的交点坐标为（1，2），继而求出交点与原点之间的距离，再根据反比例函数中心对称性质得到结果．
【解答】解：∵中一个交点到坐标轴x的距离是2，即y＝2，
∴其中在第一象限的交点坐标为（1，2），
∴交点到原点的距离为＝，
∴两交点之间的距离为2．
故选：B．
3．（2024 石峰区一模）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，n）与点B（﹣1，﹣4）．连接BO并延长交反比例函数于另一点C，过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，连接OD，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【分析】利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点A的坐标，进一步求得直线AB的解析式，利用反比例函数的中心对称性求得C的坐标，即可求得D点的坐标，从而求得CD的长度．
【解答】解：∵反比例函数的图象交于点A（4，n）与点B（﹣1，﹣4），
∴k2＝4n＝﹣1×（﹣4），
∴k2＝4，n＝1，
∴A（4，1），
把A、B的坐标代入y1＝k1x+b得，
解得，
∴直线AB为y＝x﹣3，
∵B（﹣1，﹣4），
∴C（1，4），
∵CD∥y轴，
∴D（1，﹣2），
∴CD＝4+2＝6，
故选：B．
4．（2024 武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，然后求出OA与OB的长度，即可求出∠OAB＝∠OBA＝45°，再设M（x，y），从而可表示出BD与AC的长度，根据AC BD＝8列出即可求出k的值．
【解答】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x＝0代入y＝x+b，
∴y＝b，
∴B（0，b），
∴OB＝﹣b，
令y＝0代入y＝x+b，
∴x＝﹣b，
∴（﹣b，0），
∴OA＝OB＝﹣b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
设M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴﹣y＝AC，x＝BD，
∴AC＝﹣y，BD＝x，
∵AC BD＝8，
∴﹣y x＝8，
∴xy＝﹣4，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
5．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE EG＝，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：，解得，得到直线EF解析式y＝﹣+3m+3，令x＝0，y＝3m+3，D（0，3m+3），由勾股定理可得DE＝5m和EG＝5，代入DE EG＝可计算出m值，继而k值可得．
【解答】解：设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，则有：
，解得，
∴y＝﹣+3m+3，
令x＝0，y＝3m+3，
∴D（0，3m+3），
作EM⊥x轴，垂足为M，则OM＝AE＝4m，EM＝3，
在Rt△ADE中，AD＝OD﹣OA＝3m，AE＝4m，
∴DE＝5m，
在Rt△MEG中，MG＝OG﹣OM＝（4m+4）﹣4m＝4，EM＝3，
∴EG＝5，
∴DE EG＝5m×5＝25m＝，
∴m＝，
∴k＝12m＝12×＝1．
故选：A．
6．（2024 西城区校级模拟）如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A、B两点，BD⊥y轴于点D，则四边形ADBC的面积为 8 ．
【分析】根据反比例函数k值几何意义可得S△BOD＝S△AOC＝＝2，根据反比例函数图象是中心对称图形可得S△AOD＝S△BOD＝S△BOD＝S△AOC＝2，继而可得四边形面积．
【解答】解：∵函数y＝﹣x与函数的图象相交于A、B两点，
∴AO＝OB，S△BOD＝S△AOC＝＝2，
根据反比例函数图象是中心对称图形，
∴S△AOD＝S△BOD＝S△BOD＝S△AOC＝2，
∴四边形ADBC的面积为2×4＝8．
故答案为：8．
7．（2024 庐阳区校级一模）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ 2 ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
【分析】（1）用k分别表示出点E和点F的坐标即可解决问题．
（2）过点E作x轴的垂线，利用相似三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）因为四边形AOBC是矩形，且OB＝6，OA＝3，
所以xF＝6，yE＝3．
又因为点E和点F在反比例函数y＝的图象上，
所以点E坐标为（），点F坐标为（6，），
所以CE＝6﹣，CF＝3﹣．
在Rt△CEF中，
tan∠EFC＝．
（2）过点E作x轴的垂线，垂足为M，
因为点F坐标为（），点E坐标为（），
所以BF＝，CE＝．
有折叠可知，
tan∠GFE＝tan∠EFC＝2，
所以．
因为∠MEG+∠MGE＝∠MGE+∠BGF＝90°，
所以∠MEG＝∠BGF．
又因为∠EMG＝∠GBF＝90°，
所以△EMG∽△GBF，
所以，
所以MG＝，GB＝，
则MG+GB＝EC，
即，
解得k＝．
故答案为：．
8．（2024 玉山县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．
（1）直接写出点A，C的坐标．
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝的解析式．
【分析】（1）利用OA＝OB＝OD＝2直接写出A点坐标和B点坐标，再利用平分线分线段成比例定理计算出CD得到C点坐标；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OD＝2．
∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2），
∵OB∥CD，
∴OB：CD＝OA：AD，
∴CD＝＝4，
∴C点坐标为（2，4），
（2）把C（2，4）代入，得m＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为，
把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2．
题型03 反比例函数k的几何意义
解题大招：这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这 类题的关键，如：
【中考真题练】
1．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐重难点05 反比例函数与一次函数的综合
考点一：一次函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。占比也比较大，需要对该考点掌握的更为熟练。
题型01 一次函数图象上点的坐标特征
解题大招01：一次函数解析求法是待定系数法，即：①设，②代，③解，④写； 解题大招02：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”； 解题大招03：一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 解题大招04：一次函数图象平移规律：左加右减（x），上加下减（整体）；
【中考真题练】
1．（2023 临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）
A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
2．（2023 雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1
3．（2023 荆州）如图，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）
4．（2023 无锡）一次函数y＝x﹣2的图象与坐标轴围成的三角形的面积是 ．
5．（2023 苏州）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（1，3）和（﹣1，2），则k2﹣b2＝ ．
6．（2023 南充）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 ．
7．（2023 青海）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 ．
8．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在直线l1：y＝x上，顶点B在x轴上，AB垂直x轴，且OB＝2，顶点C在直线l2：y＝x上，BC⊥l2；过点A作直线l2的垂线，垂足为C1，交x轴于B1，过点B1作A1B1垂直x轴，交l1于点A1，连接A1C1，得到第一个△A1B1C1；过点A1作直线l2的垂线，垂足为C2，交x轴于B2，过点B2作A2B2垂直x轴，交l1于点A2，连接A2C2，得到第二个△A2B2C2；如此下去，…，则△A2023B2023C2023的面积是 ．
9．（2023 西宁）一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴交于点A，且经过点B（m，4）．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x﹣4的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
【中考模拟练】
1．（2024 长丰县模拟）如图，直线与坐标轴交于点A、B，过点B作AB的垂线交x轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B．（﹣6，0） C． D．
2．（2024 静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024 太白县一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣5x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，则 y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
4．（2024 衡南县模拟）已知：如图，直线y＝﹣2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P（1，0），若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2024 普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 ．
6．（2023 郸城县三模）某班数学兴趣小组对函数y＝﹣2|x﹣1|+3的图象与性质进行了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y＝﹣2|x﹣1|+3 … ﹣5 m ﹣1 1 3 1 n ﹣3 ﹣5 …
填空：m＝ ，n＝ ；
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：① ；② ；
（4）点A（a，b）是该函数图象上一点，现已知点A在直线y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范围是 ．
7．（2023 太平区二模）小明在学习一次函数后，对形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n为常数，且k≠0）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下：
【特例探究】
（1）如图所示，小明分别画出了函数y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的图象（网格中每个小方格边长为1），请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数y＝﹣2（x﹣2）+1的图象．
【深入探究】
（2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现y＝k（x﹣2）+1（k为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 ．
归纳：函数y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n为常数，且k≠0）的图象一定会经过的点的坐标是 ．
【实践运用】
（3）已知一次函数y＝k（x+2）+3（k为常数，且k≠0）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若△OAN的面积为4，求k的值．
8．（2023 花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．
（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标．
题型02 一次函数的应用
解题大招01：常用等量关系：总利润=单件利润×数量 解题大招02：利用函数的增减性得到最大利润 解题大招03：和函数图象结合时，注意图象对应的“起点”、“拐点”、“终点”的意义
【中考真题练】
1．（2023 山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为（ ）
A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x
2．（2023 聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
3．（2023 郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了30min
B．修车之前的平均速度是500m/min
C．车修好后的平均速度是80m/min
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
4．（2023 朝阳）甲乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到B地，乙匀速骑行到A地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离y（米）和骑行的时间x（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①a＝450；②b＝150；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．（2023 镇江）小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程s（m）与时间t（min）之间的函数关系，已知小明购物用时30min，返回速度是去商场的速度的1.2倍，则a的值为（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
6．（2023 威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示．当0≤x≤0.5时，y与x之间的函数表达式为y＝60x；当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为 ．
7．（2023 恩施州）为积极响应州政府“悦享成长 书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．
（1）男装、女装的单价各是多少？
（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？
8．（2023 青岛）某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
品名 A B
进价（元/件） 45 60
售价（元/件） 66 90
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
9．（2023 黑龙江）已知甲，乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车继续出发h后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中a的值是 ；
（2）求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km．
【中考模拟练】
1．（2024 兰山区校级模拟）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，两家商场的购物金额y甲、y乙（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示，张阿姨计划在其中一家商场购原价为620元的商品，从省钱的角度你建议选择（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不确定
2．（2024 锡山区一模）明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．
3．（2024 中山市校级模拟）我市供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖两天后，每天挖50米；③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；④甲队比乙队提前2天完成任务．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024 市中区一模）A，B两地相距60km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶．乙在途中休息了0.5h后按原速度继续前进．两人到A地的距离s（km）和时间t（h）的关系如图所示，则出发 h后，两人相遇．
5．（2024 昆山市一模）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为 时．
6．（2024 桑植县一模）某校运动会需购买A，B两种奖品，若购买A种奖品2件和B种奖品1件，共需35元；若购买A种奖品1件和B种奖品2件，共需40元．
（1）求A、B两种奖品的单价各是多少元？
（2）学校计划购买A，B两种奖品共100件，购买费用不超过1135元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式．求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值．
7．（2024 绥化模拟）根据以下素材，探索完成任务一：
如何设计购买方案？
素材1 某校40名同学要去参观航天展览馆，e知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元
素材2 由于场地原因，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．
问题解决
任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格．
任务2 探究经费的使用 若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值．
任务3 拟定购买方案 若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你直接写出购买方案． 购买方案门票类型ABC购买数量/张
探索完成任务二：
如图，在参观航天展览馆活动中，某班学生分成两组，第一组由A场馆匀速步行到B场馆后原路原速返回，第二组由A场馆匀速步行到B场馆继续前行到C场馆后原路原速返回．两组同时出发，设步行的时间为t（单位：h），两组离B场馆的距离为s（单位：km），图中折线分别表示两组学生s与t之间的函数关系．
（1）B，C两场馆之间的距离为 km；
（2）第二组步行的速度为 km/h；
（3）求第二组由A场馆出发首次到达B场馆所用的时间．
题型03 一次函数与几何的综合
解题大招：一次函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐标特征；
【中考真题练】
1．（2023 兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．例如：如图1，已知点A（1，2），B（3，2），P（2，2）在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点A（1，0），B（3，0），P是线段AB上一点，直线EF过G（﹣1，0），T（0，）两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC＝，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”，当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y＝﹣x+b的“伴随点”，请直接写出b的取值范围．
2．（2023 沈阳）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．直线y＝x﹣与y轴交于点D，与直线AB交于点C（6，a）．点M是线段BC上的一个动点（点M不与点C重合），过点M作x轴的垂线交直线CD于点N．设点M的横坐标为m．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）以线段MN，MC为邻边作 MNQC，直线QC与x轴交于点E．
①当0≤m＜时，设线段EQ的长度为l，求l与m之间的关系式；
②连接OQ，AQ，当△AOQ的面积为3时，请直接写出m的值．
3．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
（1）求直线AD的解析式；
（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
【中考模拟练】
1．（2024 潮阳区校级一模）如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
2．（2024 邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 ．
3．（2024 邯郸模拟）如图，在平面直角坐标系中有A（﹣4，1），B（1，6）两点，在线段AB处放置一平面镜．从点C（﹣1，0）发出一束光线照向平面镜AB上的动点P．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）若光线CP的解析式为y＝﹣3x+b，求出点P的坐标；
（3）若光线CP经过AB的反射后落在x轴上的点D（﹣2，0）处，直接写出光线从点C出发经点P反射后到达点D的路径长．
4．（2024 龙湖区一模）综合运用
（1）如图1，∠ACE＝90°，顶点C在直线BD上，过点A作AB⊥BD于点B，过点E作ED⊥BD于点D，当BC＝DE时，判断线段AC与CE的数量关系（直接写出结果，不要求写解答过程）
（2）如图2，直线l1：y＝x+4与坐标轴交于点A，B，将直线l1绕点B顺时针旋转45°至直线l2，求直线l2的函数解析式．
（3）如图3，四边形ABCO为长方形，其中O为坐标原点，点B的坐标为（8，﹣6），点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的正半轴上，P是线段BC上的动点，D是直线y＝﹣2x+6上的动点且在第四象限，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
考点二：反比例函数
反比例函数在中考中的占比比一次函数更大，也常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐标特征和k的几何意义考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺带也会考察其与不等式的关系等。
题型01 反比例函数图象上点的坐标特征
易错点：在说反比例函数的增减性之前，必须带上自变量的取值范围，不然就是错的 解题大招：当说明“点在函数图象上”时，立刻想“点的坐标符合其解析式”；
【中考真题练】
1．（2023 泰州）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0）
C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）
2．（2023 浙江）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
3．（2023 通辽）已知点A（x1，y1），B（x2，y2） 在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（ ）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0
4．（2023 牡丹江）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝2，则k的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023 邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）
6．（2023 湖北）在反比例函数y＝的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4
7．（2023 德州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（6，3），D是OA的中点，AC，BD交于点E，函数的图象过点B．E．且经过平移后可得到一个反比例函数的图象，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y＝﹣ B． C． D．
8．（2023 深圳）如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函数y＝（k≠0）恰好经过点C，则k＝ ．
9．（2023 威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．点A的坐标为（m，2）．连接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 ．
10．（2023 株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上．
（1）求k的值；
（2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值．
【中考模拟练】
1．（2024 高唐县一模）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
2．（2024 元谋县一模）若反比例函数经过点（﹣2，6），则其图象分别位于（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．（2024 瓯海区模拟）如图，菱形ABCD的对角线交于点E，边CD交y轴正半轴于点F，顶点A，D分别在x轴的正、负半轴上，反比例函数的图象经过C，E两点，过点E作EG⊥OA于点G，若CF＝2DF，DG﹣AG＝3，则k的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
4．（2024 任城区一模）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（﹣，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在反比例函数y＝（x≠0）的图象上，则k值为（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣18
5．（2024 潜山市校级一模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝2且AB⊥x轴于点B，反比例函数经过点A与点C，则k＝ ．
6．（2024 铁东区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，BD∥x轴交OA于点D，，BD＝4，OB＝8，则k的值为 ．
7．（2024 浙江模拟）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，AB＝2．
（1）若点A的坐标为（，2），则a+b的值是 ．
（2）若点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点D在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，CD∥AB，CD＝3，AB与CD之间的距离为1，则a﹣b的值是 ．
8．（2024 遵义一模）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质，列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 …
y … 1 2 4 4 2 m …
（1）表中m的值是 1 ，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）．
（2）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，2），（1，3），请直接写出不等式的解集．
题型02 反比例函数与一次函数图象的交点问题
解题大招：反比例函数与一次函数的交点的求解方法——联立两个函数的解析式，解得方程的解就是交点的横纵坐标。
【中考真题练】
1．（2023 潍坊）如图，在直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣2与反比例函数y2＝的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x＞3时，y1＜y2 B．当x＜﹣1时，y1＜y2
C．当0＜x＜3时，y1＞y2 D．当﹣1＜x＜0时，y1＜y2
2．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，3），B（m，﹣2），则不等式ax+b的解是（ ）
A．﹣3＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣3或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．﹣3＜x＜0或x＞3
3．（2023 淮安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+b的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点C．若点A坐标为（2，0），，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023 达州）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 ．
5．（2023 徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
6．（2023 阜新）正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，连接BC，则△ABC的面积是 ．
7．（2023 荆州）如图，点A（2，2）在双曲线y＝（x＞0）上，将直线OA向上平移若干个单位长度交y轴于点B，交双曲线于点C．若BC＝2，则点C的坐标是 ．
8．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝（其中k1 k2≠0）相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，则△ABP的面积是 ．
9．（2023 湖北）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于两点．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出满足y1﹣y2＞0时x的取值范围；
（3）点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
【中考模拟练】
1．（2024 南通模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
2．（2024 关岭县一模）如图，反比例函数与正比例函数y＝kx的图象相交于两点，若其中一个交点到坐标轴x的距离是2，则两交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024 石峰区一模）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象交于点A（4，n）与点B（﹣1，﹣4）．连接BO并延长交反比例函数于另一点C，过点C作y轴的平行线交直线AB于点D，连接OD，则CD的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
4．（2024 武汉模拟）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
5．如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y＝的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G，若DE EG＝，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024 西城区校级模拟）如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A、B两点，BD⊥y轴于点D，则四边形ADBC的面积为 ．
7．（2024 庐阳区校级一模）如图，在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．F为BC边上的一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与边AC交于点E，连接EF．
（1）tan∠EFC＝ ；
（2）将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，此时k的值为 ．
8．（2024 玉山县一模）如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝的图象在第一象限内的部分交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D，其中OA＝OB＝OD＝2．
（1）直接写出点A，C的坐标．
（2）求一次函数y＝kx+b（k≠0）和反比例函数y＝的解析式．
题型03 反比例函数k的几何意义
解题大招：这类问题通常是由几何图形的面积求k，所以，重点掌握对应几何图形的面积的转化是解这 类题的关键，如：
【中考真题练】
1．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的负半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2
2．（2023 黑龙江）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D．若S△BCD＝12，则k的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣9
3．（2023 湘西州）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝AB，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023 宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023 锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
7．（2023 绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
8．（2023 盐城）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE．若AB＝2BC，△BCE的面积是4.5，则k的值为 ．
9．（2023 烟台）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 ．
【中考模拟练】
1．（2024 邗江区一模）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中小正方形的顶点A、B、C在坐标轴上，点D为小正方形与y轴的交点，顶点E在反比例函数的图象上，若S△ADF＝1，则k的值为（ ）
A． B． C． D．24
2．（2024 朝阳区一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，且纵坐标为4，点D为边AB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点C、D．若S△OCD＝6，则点D的横坐标为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．（2024 安阳模拟）如图，已知P，Q分别是反比例函数与图象上的点，且PQ∥x轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N．若四边形PMNQ的面积为2，则k2的值为（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
4．（2024 特克斯县一模）如图，在△OAB中，AB∥于y轴，反比例函数的图象过△OAB的顶点B，交OA交于点C，且AC＝2OC，连接BC．则S△OBC的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．（2024 镇海区校级二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB，连结AB交图象于点C，若C是AB的中点，则△AOB的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024 新北区一模）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝AO，若矩形ABCD的面积是8，k＝ ．
7．（2024 阳谷县一模）如图，在反比例函数的图象上有P1，P3， ，P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3， ，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3， ，S2023，S2024，则S1+S2+S3+ +S2023+S2024＝ ．
题型04 反比例函数的应用
易错点：反比例函数的应用常和实际结合，故问题中多注意其自变量x的取值范围 解题大招：因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
【中考真题练】
1．（2023 南京）甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）与行驶速度v（单位：km/h）之间的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023 温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
3．（2023 南通）某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30m/s，则所受阻力F为 N．
4．科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．
（1）求h关于ρ的函数解析式；
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．
5．（2023 郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10
容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30
加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25
把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；
②求y2关于x的函数表达式；
③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 （填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 （填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．
【中考模拟练】
1．（2024 江西模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
2．（2024 裕华区一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 度．
3．（2023 西峡县三模）如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过80km/h，则该汽车通过这段公路最少需要 h．
4．（2024 武汉模拟）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
5．（2023 六安三模）如图1，工人正在用撬棒撬石头，撬棒是杠杆，O为杠杆的支点．当支点和石头的大小不变时，工人师傅用的力F与其力臂l之间的关系式为F＝，其图象如图2所示，点P为F＝图象上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，S△OPM＝20000cm2．若OA＝40cm，撬棒与水平地面的夹角为30°，则这块石头重力为 N．
6．（2024 思明区校级模拟）心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，点B的坐标为（10，40），点C的坐标为（24，40），CD为反比例函数图象的一部分．
（1）求CD所在的反比例函数的解析式；
（2）吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排23分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于38，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由．
题型05 反比例函数与几何的综合
解题大招：反比例函数与几何图形结合时，与谁结合，就想结合图形具有的性质以及一次函数图象点的坐标特征；
【中考真题练】
1．（2023 泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点C，已知OA＝1，点C的横坐标为2．
（1）求k，m的值；
（2）平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
2．（2023 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数图象y＝﹣x+5与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图
象的一个交点为B（a，4），过点B作AB的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
（3）P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
3．（2023 凉山州）阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα＝，则tanβ＝．
证明：设BE＝k，
∵tanα＝，
∴AB＝2k，
易证△AEB≌△EFC（AAS）．
∴EC＝2k，CF＝k，
∴FD＝k，AD＝3k，
∴tanβ＝＝＝，
若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
同理：若α+β＝45°时，当tanα＝，则tanβ＝．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y＝3x﹣9与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
（3）求直线AE的解析式．
【中考模拟练】
1．（2024 沭阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝5，tan∠BOC＝．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2024 河南一模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，且A（2，0），，点C在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当菱形OABC绕点O逆时针旋转150°时，判断点C的对应点C′是否在的图象上；并直接写出CC′所在的直线解析式．
3．（2024 历下区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．
（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；
（2）求△OEF的面积；
（3）求△OMN面积的最大值．
4．（2024 双流区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点B（0，4），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，6），
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，点E（6，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC为“麒麟三角形”，AB为“麒麟边”，∠BAC为“麒麟角”，其中A，B两点在反比例函数图象上，且A点横坐标为﹣1，点C坐标为（0，2），当△ABC为直角三角形时，求n的值．
