澄迈县2024年春季八年级数学学科期中测试题
（内容：16－18章，时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（）
A. B. π C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的定义分析得出答案．
A．，根号下是负数，无意义，故此选项错误；
B．π不是二次根式，故此选项错误；
C．一定是二次根式，故此选项正确；
D．根号下有可能是负数，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，学生需要掌握二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，并且明确二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
2. 以下各数是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式，判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数，且被开方数中不含有分母或小数，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
解：A、，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选B．
3. 由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）
A. ，， B. ，， C. 3，4，5 D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A．，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．，
以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．
4. 下列计算正确是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的性质和运算，运用二次根式的性质和运算法则进行化简逐一判断各个选项即可．
解：A、 不是同类项，不能合并；
B、 ，原计算不正确；
C、，原计算不正确；
D、 ，原计算正确；
故选D．
5. 如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
根据勾股定理可得：正方形的对角线的长度为，则点A所表示的数为.故选B.
6. 若表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－│+的结果等于（）
A. －2b B. 2b C. －2a D. 2a
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
解：∵，
∴a-b>0，a+b＜0，
∴│a－│+
=
=
=,
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及绝对值的性质．
7. 如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可．
解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，
∵BC＝6，
∴DE＝BC＝3．
故选B．
【点睛】考查三角形的中位线定理，根据定理确定DE等于那一边的一半是解题关键．
8. 下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可．
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
9. 如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
【答案】B
【解析】
解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
10. 在平行四边形中，对角线与相交于点O．下列说法不能使平行四边形为菱形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
根据菱形的判定、平行四边形的性质逐项判断即可得．
】解：如图所示，
A、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加能判定是菱形，则此项不符合题意；
B、由邻边相等的平行四边形是菱形可知，添加能判定是菱形，则此项不符合题意；
C、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加能判定是矩形，不能判定是菱形，则此项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴
∴
∴平行四边形是菱形，
即添加能判定是菱形，则此项不符合题意．
故选：C．
11. 已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（ ）
A. B. C. 1 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分为两种情况：①斜边是34有一条直角边是3，②3和2都是直角边，根据勾股定理求出即可．
解：如图：
分为两种情况：①斜边是3，有一条直角边是2，由勾股定理得：
第三边长是；
②3和2都是直角边，由勾股定理得：第三边长是
；
即第三边长是或，
故选：D．
【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，解题的关键是熟记勾股定理．
12. 如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】设正方形边长为4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确．
解：设正方形边长为4a，
∵四边形ABCD正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
∵AE＝3a，EB＝a，CF＝FB＝2a，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
故②正确，
∵点F是BC的中点，
∴CF=BF，
在和中，
∵，
∴，
∴DF=HF，
又∵点G是DE的中点，
∴GF是的中位线，
∴，
故①正确，
在中，点G是DE的中点，
∴，
故③正确，
∵DE=5a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，
故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 二次根式中字母的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，进行列式解答即可．
解：∵二次根式，
∴，
解得，
故答案为：．
14. 若平行四边形的两个内角，则的度数是____________．
【答案】##60度
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的邻角互补定理的应用是解此题的关键．
由在平行四边形中，已知，根据平行四边形的邻角互补，即可求得答案．
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10 cm2和26 cm2，则正方形A的边长是________cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积．
如图所示：
根据题意得：=26，=10，∠EFG=90°，
根据勾股定理得：
∴正方形A的边长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接OP，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，根据勾股定理得到AB＝，根据矩形的性质得到EF＝OP，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OP，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BD＝BD＝5，
∴AB＝，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠EOF＝∠OEP＝∠OFP＝90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴EF＝OP，
∵当OP取最小值时，EF的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△ABO＝OA OB＝AB OP，
∴OP＝＝2，
∴EF的最小值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后根据运算法则进行运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 如图，点B、E、C、F一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
：证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
19. 《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？
【答案】折断后段的高度为尺
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，读懂题意，运用方程思想是解决问题的关键．
设尺，则斜边尺，根据勾股定理得：，解方程即可解决问题．
解：设尺，则斜边尺，
在中，，
，
解得：，
答：折断后段的高度为尺．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入式子进行计算即可．
原式
当时，原式
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值，最简二次根式，在解答此类型题目时，要注意因式分解、通分和约分的灵活运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9 cm，AB=15 cm，在顶点A处有一点P，在线段AC上以2 cm/s的速度匀速运动至点C停止，在顶点C处有一点Q，以6 cm/s的速度从点C出发沿C→B→C的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动．
（1）求BC的长；
（2）若两点运动2秒时，求此时PQ的长；
（3）设两点运动时间为t秒，当△PCQ是一个等腰直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）12 cm；（2）13 cm；（3）或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分别表示出PC和CQ的长，然后利用勾股定理求得PQ的长即可；
（3）根据等腰直角三角形得PC=CQ，用含t的式子表示出PC，再分两种情况表示出CQ，由PC=CQ列出关于t的方程，解方程即可求解．
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9cm，AB=15m．
∴BC==12（cm）．
答：BC的长是12cm；
（2）两点运动2秒时，AP=4cm，CQ=12cm，
∴PC=9-4=5cm，
∴PQ===13（cm），
∴PQ的长是13 cm；
（3）∵△PCQ是一个等腰直角三角形，
∴PC=CQ，
两点运动时间为t秒时，AP=2t，
∴PC=9-2t，
当点Q从点C向点B运动时，CQ=6t，
∴9-2t=6t，解得t=；
当点Q从点B向点C运动时，CQ=12-（6t-12）=24-6t，
∴9-2t=24-6t，解得t=．
∴t的值为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．（3）问中，需要进行分类讨论，避免漏解．
22. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ ；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析
（3）成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，求出，求出，再求出，根据推出和全等即可；
（2）在上截取，连接，求出，得出，求出，再求出，根据推出和全等即可；
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，即可证明．
【小问1】
证明：如图1，取中点，连接，
∵，是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2】
成立，理由如下：
如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问3】
成立．
证明：如图3，在的延长线上取一点，使，连接．
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．澄迈县2024年春季八年级数学学科期中测试题
（内容：16－18章，时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分）
1. 下列式子一定是二次根式的是（）
A. B. π C. D.
2. 以下各数是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3. 由下列三条线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）
A. ，， B. ，， C. 3，4，5 D. ，，
4. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
5. 如图以数轴单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
6. 若表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－│+的结果等于（）
A. －2b B. 2b C. －2a D. 2a
7. 如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8. 下列命题，其中是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
9. 如图，在 ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
10. 在平行四边形中，对角线与相交于点O．下列说法不能使平行四边形为菱形的是（）
A B. C. D.
11. 已知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为（ ）
A. B. C. 1 D. 或
12. 如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且，点F是BC的中点，点G是DE的中点，延长DF，与AB的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论的个数是（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（每题3分，共12分）
13. 二次根式中字母的取值范围是________．
14. 若平行四边形的两个内角，则的度数是____________．
15. 如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为10 cm2和26 cm2，则正方形A的边长是________cm．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，，则EF的最小值为_____．
三、解答题（共72分）
17计算
（1）
（2）
18. 如图，点B、E、C、F一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
19. 《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后段的高度为多少？
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9 cm，AB=15 cm，在顶点A处有一点P，在线段AC上以2 cm/s的速度匀速运动至点C停止，在顶点C处有一点Q，以6 cm/s的速度从点C出发沿C→B→C的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动．
（1）求BC的长；
（2）若两点运动2秒时，求此时PQ的长；
（3）设两点运动时间为t秒，当△PCQ是一个等腰直角三角形时，求t的值．
22. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ ；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
