2023-2024学年度下学期期中教学质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 1，，
4. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形变化，下面判断正确的是（ ）
A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线长度不变
C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变
6. 给出下列判断，正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
7. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（每小题3分，共18分）请将正确的答案填在横线上．
11. 若式子有意义，则的取值范围是______．
12. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为米，则间的距离是______米．
13. 如图，在△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数为_______.
14. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．
15. 如图，在中，．按以下步骤作图：以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以点为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为______．
16. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则___________．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （）；
（）
18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
19. 如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：．
20. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：．
（1）化简；
（2）求的值．
21. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
22. 如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
（1）求证．
（2）连接，若时，求的长．
23 综合与实践
问题情境：
在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，．
猜想证明：
（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
实践探究：
（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离；
问题拓展：
（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明．2023-2024学年度下学期期中教学质量监测
八年级数学试题
注意事项：
1．本试卷共120分．考试时间90分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回．
2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. =2，不是最简二次根式，
B. =2，不是最简二次根式，
C. ，是最简二次根式，
D. =，不是最简二次根式，
故选C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式的概念，注意最简二次根式的根号内不含分母以及开的尽方的因式或因数．
2. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D．
3. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，7，8 D. 1，，
【答案】C
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
根据二次根式的加减乘除计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ）
A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变
C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可．
【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意；
B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意；
C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意；
D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意，
故选：D．
6. 给出下列判断，正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【答案】D
【解析】
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．
7. 如图，菱形的周长为，对角线长为，则它的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、菱形的周长和面积公式、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．根据菱形的性质求得，，由，得，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：四边形是菱形，且周长为，长为，
，，
，
，
，
，
，
故选：A
8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得图形：，
在中：，
所以．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，由点的坐标得，，进而由菱形的性质得，利用勾股定理得，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故选：．
10. 如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则 ，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确；熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴ 四边形是正方形，故正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵四边形矩形，
∴，
∴，
即的值为定值，故正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，故正确；
∴正确的有，共个，
故选：．
二、填空题（每小题3分，共18分）请将正确的答案填在横线上．
11. 若式子有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据二次根式有意义的条件列不等式求解即将．
【详解】解：若式子有意义，则，∴．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据题意正确列出不等式是解答本题的关键．
12. 如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为米，则间的距离是______米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线性质，利用三角形中位线的性质计算即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴米，
故答案为：．
13. 如图，在△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数为_______.
【答案】52°
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD=AD，求出∠DCA=∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD=CD=AD，
∴∠DCA=∠A=26°，
∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°，
故答案为：52°．
【点睛】本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出BD=CD=AD和∠DCA的度数是解题的关键．
14. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，再求出即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，，，，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
15. 如图，在中，．按以下步骤作图：以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以点为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂线的作法，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由作图可知，由平行四边形的性质得，，由直角三角形的性质得，再利用勾股定理即可求解，掌握垂线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 小明做数学题时，发现；；；；…；按此规律，若（a，b为正整数），则___________．
【答案】73
【解析】
【分析】找出一系列等式的规律为（n≥1的正整数），令n=8求出a与b的值，即可求得a+b的值．
【详解】解：根据题中的规律得：（n≥1的正整数），
a=8，b=82+1=65，
则a+b=8+65=73．
故答案为：73．
【点睛】此题考查了数字类规律，找出题中的规律是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （）；
（）
【答案】（）；（）
【解析】
【分析】（）利用二次根式的乘除法运算法则进行计算，再合并即可求解；
（）利用完全平方公式、平方差公式展开，再合并即可求解；
本题考查了二次根式混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
，
，
；
（）原式
，
．
18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】符合，理由见解析
【解析】
【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案．
【详解】解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理．
19. 如图，已知O为对角线的中点，过点O的直线与、的延长线相交于点E、F．求证：．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出，，再用证明，即可证明，再利用线段的和差和等量代换即可证明．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵O为的中点，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
即．
20. 阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
如：将分母有理化，解：原式．
运用以上方法解决问题：
已知：．
（1）化简；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）仿照已知化简即可；
（）求出、值，再把它们代入代数式计算即可求解；
本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∴原式
，
．
21. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
（1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米；
（2）请你求出旗杆的高度．
【答案】（1）5；
（2）12米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【小问1详解】
解：根据题意知：米，米．
故答案为：5；；
【小问2详解】
解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗杆的高度为12米．
22. 如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
（1）求证．
（2）连接，若时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查的是矩形性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，牢记相关知识是解题关键，
（1）根据矩形性质得，结合，得出即可证出结论；
（2）先证，再求出长，证出即可．
【小问1详解】
证明：∵在矩形中，即，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴．
∵在矩形中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
23. 综合与实践
问题情境：
在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，．
猜想证明：
（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
实践探究：
（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离；
问题拓展：
（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明．
【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）；（3）当点平移至中点时，四边形是矩形，作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质及平移的性质即可证明四边形是平行四边形；
（2）连接交于，由菱形的性质可得，在根据矩形的性质结合含的直角三角形可得，即可求解；
（3）由平移可知，，，由菱形的性质可知，，添加条件“点平移至中点”，可得，，即可得四边形是矩形．
【详解】解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
由平移可知，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）连接交于，
∵四边形是菱形，
∴，，，
则，，
∴，
当四边形为矩形时，，
∴，则，
∴，
则，
即：沿射线方向平移；
（3）如图，当点平移至中点时，四边形是矩形，
理由如下：由平移可知，，，
由菱形的性质可知，，
当点平移至中点时，，则，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定及性质，含的直角三角形的性质，平行四边形的判定及性质，平移的性质等，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
