七年级数学期中试卷
本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为110分钟．试卷满分120分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一．选择题：（每题3分，共30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，可以判定的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．三角形的两边长分别为2cm和7cm，另一边长a为偶数，则这个三角形的周长为（ ）
A．13cm B．15cm C．17cm D．15cm或17cm
5．如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形
A．6 B．8 C．10 D．12
7．如果，，， 那么a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列4个命题，其中真命题的个数为（ ）
①对顶角相等；
②同旁内角的两个角的平分线互相垂直
③同旁内角相等，两直线平行；
④互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（ ）
A．4.8 B．6 C．8 D．12
二．填空题（每题3分 共24分）
11．计算：= ．
12．因式分解： ．
13．某细胞的直径为0.000000076mm，将0.000000076用科学记数法表示为 ．
14．命题“对顶角相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
15．若是完全平方式，则的值是 ．
16．如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ．
17．如图，已知∠B＝30°，则∠A+∠D+∠C+∠G＝ °．
18．如图，在中，，射线交射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点．若中有两个角相等，若设，则度数为 ．
三．解答题（共66分）
19．计算：
(1)；
(2)
20．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
21．先化简，再求值：，其中．
22．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．
(1)在给定方格纸中画出平移后的；
(2)画出的边上的高，垂足为；
(3)若连接、，这两条线段的关系是 ；
(4)直接写出面积是 ．
23．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高．
（1）若∠ACB＝100°，求∠CAE的度数；
（2）若S△ABC＝12，CD＝4，求高AE的长．
24．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数．
25．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
26．如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点 O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】此题考查幂的运算，，，，，，是整数．直接将每个选项直接化简即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据平行线的判定方法逐一判断即可.
【详解】解： 故不符合题意；
故符合题意；
故不符合题意；
故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键.
3．C
【分析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐一判断各选项即可得到答案.
【详解】解：是整式的乘法运算，故不符合题意；
只把前两项分解，结果不是整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
符合因式分解的定义，故符合题意；
不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是因式分解的定义，掌握利用因式分解的定义判断是否是因式分解是解题的关键.
4．D
【分析】根据三角形三边关系，两边之差＜第三边长度＜两边之和．在可取的范围内，选择偶数值进行计算．
【详解】 7-2=5，7+2=9
5＜a＜9
a的长为偶数
a可以取值：6或8．
周长为2+7+6=15或2+7+8=17(cm) ．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了三角形三边关系(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) ，正确理解题意是解题的关键．
5．A
【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形外角定理求解即可．
【详解】
∵这是一个矩形
∴
∴
故答案为：A．
【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握平行线的性质、三角形外角定理是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意判断这个多边形为正多边形，其每个内角度数相等，即每个外角也相等，结合多边形外角和360°定理解题即可．
【详解】一个多边形每一个内角都为144°，
该多边形是正多边形，
，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、正多边形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．B
【分析】本题主要考查负整数指数幂、零次幂、幂的乘方与积的乘方、有理数的大小比较．先根据负整数指数幂、零次幂以及积的乘方计算再比较大小．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：B．
8．A
【分析】由对顶角的性质判断①，由平行线的性质可判断②，由平行线的判定可判断③，由互补的含义判断④，从而可得答案.
【详解】解：对顶角相等是真命题；故①符合题意；
两直线平行，同旁内角的两个角的平分线互相垂直，故②是假命题；
同旁内角互补，两直线平行；故③是假命题；
互补的两个角中不一定是一个为锐角，另一个为钝角；也可以都为直角，故④是假命题；
综上：真命题只有①；
故选：
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，同时考查对顶角的性质，平行线的性质与判定，互补的含义，掌握以上基础知识是解题的关键.
9．C
【分析】本题考查三角形的三边关系．要使两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，分为四种情况：①选、4、6作为三角形，②选、6、2作为三角形，③选、2、3作为三角形，④选、3、4作为三角形，分别在四种情况下应用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6．
①选、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3，
，
不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4，
，
不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任两螺丝的距离值最大为7．
故选：C．
10．B
【分析】连接CD，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：连接CD，如图所示：
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，
∴S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝24，
∴S△BCD＝S△ABC＝24，
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝12，
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF＝S△CDE＝6．
故选B．
【点睛】本题考查三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
11．a2-2a
【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．
【详解】a（a-2）
=a2-2a．
故答案为a2-2a．
【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．
12．(3+x)(3-x).
【分析】利用平方差公式分解即可.
【详解】
=
=(3+x)(3-x).
故答案为：（3+x）(3-x).
【点睛】本题考查了因式分解，熟练运用平方差公式是解题的关键.
13．
【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000076=.
故答案为.
【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法,对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成 的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.
14．假
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为：假．
15．
【分析】本题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．##32度
【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答．
【详解】解：过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
17．210
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BEF+∠BFE的度数，根据补角的定义得出∠DEF+∠GFE的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠B=30°，
∴∠BEF+∠BFE=180°-30°=150°，
∴∠DEF+∠GFE=360°-150°=210°．
∵∠DEF=∠A+∠D，∠GFE=∠C+∠G，
∴∠A+∠D+∠C+∠G=∠DEF+∠GFE=210°，
故答案为：210．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和的相关知识，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
18．22.5或45或67.5
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，翻折变换．根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
【详解】解：由折叠得：，，
分三种情况：
当时，如图：
，
是的一个外角，
，
；
当时，当和位于射线的同侧时，如图：
，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或，
故答案为：22.5或45或67.5．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查多项式乘多项式，实数的运算等知识，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
（1）根据整数指数幂，零指数幂的定义计算即可；
（2）去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．(1)
(2)
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．，
【分析】本题考查的是整式的化简求值．根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把的值代入计算得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)平行且相等
(4)6
【分析】本题考查作图平移变换、三角形的高，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据三角形的高的定义画图即可．
（3）根据平移的性质可得答案．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
；
（3）解：由平移得，这两条线段的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等；
（4）解：面积是．
故答案为：6．
23．（1）10°；（2）3
【分析】（1）根据三角形高的定义和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的面积公式和中线的性质解答即可．
【详解】解：（1）∵AE是BC边上的高，
∴∠E＝90°，
又∵∠ACB＝100°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝80°，
∵∠CAE+∠ACE+∠E＝180°
∴∠CAE＝180°﹣90°﹣80°＝10°；
（2）∵AD是BC上的中线，DC＝4，
∴D为BC的中点，
∴BC＝2DC＝8，
∵AE是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABC＝BC AE，
即×8×AE＝12，
∴AE＝3．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的高和中线以及三角形的面积，关键是根据三角形的面积和中线的性质解答．
24．(1)见解析；(2)56°
【分析】（1）先证∠1=∠CGF即可，然后根据平行线的判定定理证明即可；
（2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可．
【详解】(1)证明：∵FG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
(2)解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°﹣∠D=68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4=∠ABD=34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=90°﹣34°=56°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理．
25．（1）2（2）6（3）7
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【详解】（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
26．(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出，，最后根据三角形外角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知，进而推出即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，
∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，连接，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴，
∴，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
