反比例函数性质综合题（共40道）
一、单选题
1．如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】①显然AO与BO不一定相等，由此可判断①错误；②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，根据矩形的性质以及反比例函数的性质判断②正确；③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，由已知可推导得出PM=PN，继而可判断③正确；④设P（a，b），则B（a，），A（，b），根据S△BOP=4，可得ab=4，继而可判断④错误．
【详解】①显然AO与BO不一定相等，故△AOP与△BOP不一定全等，故①错误；
②延长BP，交x轴于点E，延长AP，交y轴于点F，
∵AP//x轴，BP//y轴，
∴四边形OEPF是矩形，S△EOP=S△FOP，
∵S△BOE=S△AOF=k=6，
∴S△AOP=S△BOP，故②正确；
③过P作PM⊥BO，垂足为M，过P作PN⊥AO，垂足为N，
∵S△AOP=OA PN，S△BOP=BO PM，S△AOP=S△BOP，AO=BO，
∴PM=PN，
∴PO平分∠AOB，即OP为∠AOB的平分线，故③正确；
④设P（a，b），则B（a，），A（，b），
∵S△BOP=BP EO==4，
∴ab=4，
∴S△ABP=AP BP==8，
故④错误，
综上，正确的为②③，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正确添加辅助线、熟知反比例函数k的几何意义是解题的关键．
2．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②正确；
如图，过点作轴于．
，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为D，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点C的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一三象限平分线轴对称，得到边长关系，判断出①正确，③错误；
再由反比例函数的几何性质得到，割补法转换面积，判断②正确；
再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形进行勾股计算得到长度，判断④正确．
【详解】反比例函数图像关于一三象限平分线轴对称，正方形关于所在直线轴对称，
又，故点B在一三象限平分线上，
反比例函数图像与正方形的组合图形关于所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应，
，；
又，，
，①正确，
，非，③错误；
，，
，去除重合部分，
，
，②正确；
由轴对称性质得到， ，
中，
在上取点，使，设，
得到，，
得，
，
得，故，④正确．
综上所述，正确的为①②④，
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数结合几何图形，考查反比例函数的轴对称特性，以及含有特殊角的三角形的边长的计算，利用几何特性进行转换计算是解题的关键．
4．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
5．如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
【答案】A
【分析】考查了反比例函数的综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，设，，代入中得，，联立，求出，，从而得到，，证明，即可判断①②；作于，则，，证明，可得，，即可判断③；延长，交于点，则，，，证明是等腰直角三角形，由此即可判断④；熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
【详解】解：设，，代入中得，，
联立得，
则，
，
，，
，，
在和中，
，
，故②正确；
，故①正确；
如图，作于，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
同理可得：，
，，
，故③正确；
如图，延长，交于点，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，，
，即，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：A．
6．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作 轴交函数的图象于点，过点作 轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．
下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②正确；
如图，过点作轴于．
，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．
7．两个反比例函数和在第一象限内的图像如图所示，点在的图像上，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点，轴于点，当点在图像上运动时，以下结论：①与始终平行；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④的面积等于四边形的面积．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①正确，只要证明 即可；
②错误；只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；
③正确；由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不
会发生变化；
④正确．只要证明△OBA的面积=矩形OCPD的面积- S ODB- S△BAP - S AOC，四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S ODB一S△BAP - S OBE即可．
【详解】①正确；∵A，B在上，
∴S AOC=S BOE
∴OC AC=OE BE，
∴OC AC= OE BE，
∴OC= PD， BE= PC，
∴PD AC= DB PC，
∴
∴AB//CD．故此选项正确．
②错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA= PB；
③正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；故此选项正确．
正确，∵△ODB的面积= OCA的面积=，
∴△ODB与 OCA的面积相等，
同理可得:S ODB= S OBE ，
∵ OBA的面积=矩形OCPD的面积-S ODB- S BAP- S AOC，
四边形ACEB的面积=矩形OCPD的面积- S ODB- S BAP- S OBE ．
∴ OBA的面积=四边形ACEB的面积，
故此选项正确，
故一定正确的是①③④
故选：C
【点睛】本题考查反比例函数k是几何意义、矩形的性质、平行线的判定等知识，本题综合性比较强，属于中考填空题中的压轴题．
8．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】设正方形OABC的边长为a，通过△OCN≌△OAM（SAS）判定结论①正确，求出ON和MN不一定相等判定结论②错误，而可得结论③正确，列式求出C点的坐标为可知结论④正确．
【详解】设正方形OABC的边长为a，
则A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，），N（，a）．
∵CN=AM=，OC=OA= a，∠OCN=∠OAM=900，
∴△OCN≌△OAM（SAS）．结论①正确．
根据勾股定理，，，
∴ON和MN不一定相等．结论②错误．
∵，
∴．结论③正确．
如图，过点O作OH⊥MN于点H，则
∵△OCN≌△OAM ，∴ON=OM，∠CON=∠AOM．
∵∠MON=450，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.50．
∴△OCN≌△OHN（ASA）．∴CN=HN=1．
∴．
由得，．
解得：（舍去负值）．
∴点C的坐标为．结论④正确．
∴结论正确的为①③④3个．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
9．反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；
②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积-（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；
③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．
【详解】解：①由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2=1，正确；
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，
则△OAM和△OAC的面积相等，
∵△ODM的面积=△OCM的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBM与△OAM的面积相等，
∴△OBD和△OBM面积相等，
∴点B一定是MD的中点．正确；
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接、，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设D（x，），则F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；由①的结论可得△CEF和△DEF两三角形EF边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，可推出AC＝BD，进而可判断④；于是可得答案．
【详解】解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是：××x＝k，
设C（a，），则E（0，），
由图象可知：a＜0，＜0，
△CEF的面积是：×|a|×||＝k，
∴△CEF的面积＝△DEF的面积，故①正确；
②△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，故②正确；
③BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BE＝DF，而只有当a＝1时，才有CE＝BE，
即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；故③错误；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD＝EF，
同理EF＝AC，
∴AC＝BD，故④正确．
综上，正确的结论有3个．
故选：B．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若＝，则＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
【答案】A
【分析】设点B的坐标为(b,a)，则得A(0,a)，C(b,0)，从而可求出P，E，再求出直线PE的解析式为，进而求得F(,0)，判断出四边形ACFP是平行四边形，计算得此四边形的面积，从而判断①正确；由四边形ACFP是平行四边形，得AC∥DF，故可得②正确；由，判断得ab=4k，再求出点D的坐标，即可判断③错误；由S△CEF＝1，得出＝2，再由S△PBE＝4，得到关于k的方程，解方程得k=6，从而可判断④正确．
【详解】设点B的坐标为(b,a)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴A(0,a)，C(b,0)，
∵点P，E在反比例函数图形上，
∴P，E ，
∴直线PE的解析式为，
令y＝0，则，
∴x＝，
∴F(,0)，
∴CF＝+b﹣b＝，
∵P(，a)，
∴AP＝，
∴AP＝CF，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CF OA＝ a＝k，故①正确；
∵四边形ACFP是平行四边形，
∴AC∥DF，
∵OA∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；
∵，
∴，
∵B(b,a)，
∴OB＝b，
∵P(,a)，
∴AP＝，
∴，
∴ab＝4k，
∵直线PE的解析式为，
∴D，
∵A(0,a)，
∴AD＝+a﹣a＝，
∴＝＝＝，故③错误；
∵S△CEF＝1，
∴＝1，
∴＝2，
∵S△PBE＝4，
∴(b﹣) (a﹣)＝4，
∴ab﹣k﹣k+＝8，
∴k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边形判定和性质，待定系数法，关键是判断四边形APFC是平行四边形．
12．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF=OE；②∠EOF=60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF=CF+AE；⑤若∠EOF=45°，EF=4，则直线FE的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】①通过证明全等判断，②④只能确定为等腰三角形，不能确定为等边三角形，据此判断正误，③通过判断，⑤作于点M通过直角三角形求出E、F坐标从而求得直线解析式.
【详解】∵点E、F都在反比例函数的图像上，
∴，即 ,
∵四边形是正方形，
∴,
∴
∴,
∴,①正确；
∵
∴,
∵k的值不能确定,
∴的值不能确定，②错误；
∴只能确定为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ ,,
∴ ,, ④错误；
∵,
∴ ,
∴，③正确；
作于点M，如图
∵,为等腰直角三角形，,
设，则 ，
在中， ,
即，解得 ，
∴ ，
在正方形中， ,
∴ ,即为等腰直角三角形，
∴,
设正方形的边长为，则，
在中， ,
即，解得
∴ ,
∴
∴
设直线的解析式为，过点
则有 解得
故直线的解析式为；⑤正确；
故正确序号为①③⑤，选 .
【点睛】本题考查了反比例函数与正方形的综合运用，解题的关键在于利用函数与正方形的相关知识逐一判断正误.
13．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，，双曲线经过的中点F，交于点E，下列四个结论：①；②；③E点的坐标是；④连接、，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据菱形的性质和AD=OB可得OD≠OA，可判断①；利用勾股定理求出OD和AD，从而求出AC+OB，可判断②；过点B作BG⊥OA，垂足为G，求出点B坐标，得到F坐标，可得函数解析式，再求出点E坐标，可判断③；再通过点F是AB中点可得△COF的面积等于菱形OABC面积的一半，求出菱形OABC的面积即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AB=BC=CO=5，AC⊥OB，AD=OD=CD=BD，
∵AD=OB，
∴OD=AD，即OD≠OA，
∴∠CAO≠30°，故①错误；
在△AOD中，设OD=x，则AD=2x，OA=5，
∴，
解得：x=或（舍），
即OD=，AD=OB=，
∴AC=2AD=，
∴，故②正确；
过点B作BG⊥OA，垂足为G，
则BG===4，
∴OG==2，
∴点B的坐标为（2，4），
∵F是AB中点，
∴点F的坐标为（，2），
∵E，F在反比例函数上，且点E在BC上，
∴k=×2=7，点E的纵坐标为4，
则在中，令y=4，
解得：x=，
∴点E的坐标为：（，4），故③正确；
∵F是AB中点，
∴△COF的面积等于菱形OABC面积的一半，
∵OA=5，BG=4，
∴△COF的面积==10，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征，熟练掌握运用菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
14．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①若，则计算，故命题①正确；②如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题②正确；③因为点不经过点，所以，即可得出的范围；④求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度；利用算式，求出，故命题④正确．
【详解】解：
命题①正确．理由如下：
，
，，，
，．
，故①正确；
命题②正确．理由如下：
，
，，，
，．
如答图，过点作轴于点，则，；
在线段上取一点，使得，连接．
在中，由勾股定理得：，
．
在中，由勾股定理得：．
，
又，
直线为线段的垂直平分线，即点与点关于直线对称，故②正确；
命题③正确．理由如下：
由题意，点与点不重合，所以，
，故③正确；
命题④正确．理由如下：
设，则，．
设直线的解析式为，则有，解得，
．
令，得，
；
令，得，
．
如答图，过点作轴于点，则，．
在中，，，由勾股定理得：；
在中，，，由勾股定理得：．
，解得，
，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：①②③④，共4个，
故选：D．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．
15．如图，直线与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，轴于M，轴于N；有以下结论：①；②；③若∠AOB=45°，则；④当AB=时ON-BN=1；其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】设联立，得则又，比较可知，同理可得，即ON=OM，AM=BN，可证结论①②； 作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证OAM≌OAH≌OBH≌OBN，可证③正确；延长MA，NB交于G点，可证为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON－BN=GN－BN=GB=1，可得④正确；
【详解】解：设
代入中，得
联立，
得 则又，
∴， 同理， 可得
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H， ∵OA=OB，∠AOB=45°， ∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°， ∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴OAM≌OAH≌OBH≌OBN，
∴正确；
④延长MA，NB交于G点，由 则四边形为正方形，
NG=ON=MG，
BN=AM，
∴GB=GA，
∴ABG为等腰直角三角形，
当AB=时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．
所以正确的结论有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．考查了反比例函数与一次函数的交点坐标问题，反比例函数的的几何意义，同时考查了一元二次方程根与系数的关系，正方形，等腰直角三角形，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
16．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF． 有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据全等三角形的判定判断②即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，得到BD=AC即可．
【详解】①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DEF的面积= DF OF=k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；
②条件不足，无法证出两个三角形全等，∴②错误；
③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF．
∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，∴③正确；正确的有2个．
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的运用，关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
17．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【详解】解：∵A、B是反比函数上的点，∴S△OBD=S△OAC=，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②错误；
∵P是的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣﹣=3，故③正确；
连接OP，=4，∴AC=PC，PA=PC，∴=3，∴AC=AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．故选C．
点睛：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
18．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①由A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；
②根据直线和双曲线的性质即可判断；
③结合图象，即可求得关于x的不等式＜0的解集；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，由点C的纵坐标为6，可求得点C的坐标，继而求得答案．
【详解】①∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y＝×3＝2，
∴点A（3，2），
∴k＝3×2＝6，
故①正确；
②∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）是中心对称图形，
∴A点与B点关于原点O中心对称
，故②正确；
③∵直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，
∴B（﹣3，﹣2），
∴关于x的不等式＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3，
故③正确；
④过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点C的纵坐标为6，
∴把y＝6代入y＝得：x＝1，
∴点C（1，6），
∴S△AOC＝S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE＝S梯形AEDC＝×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确；
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想的应用．
19．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=3；②关于x的不等式的解集为或；③若双曲线上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8；④若在轴上有一点M，轴上有一点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】分析：①直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；②根据对称性，可求得点B的坐标，结合图象，即可求得关于x的不等式的解集；③过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，又由双曲线y= (k＞0)上有一点C的纵坐标为6，即可求得点C的坐标，继而求得答案；④由当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．
详解：
∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3，
∴点A的纵坐标为：y=×3=2，
∴点A（3，2），
∴2=，
∴k=6；
①错误；
∵直线与双曲线交于A、B两点，点A（3，2），
∴B（-3，-2），
∴关于x的不等式的解集为或；
②正确；
过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，
∵双曲线y= (k＞0)上有一点C的纵坐标为6，
∴把y=6代入y=得：x=1，
∴点C（1，6），
∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=×（2+6）×（3-1）=8；
③正确；
如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，
∵点A（3，2），点C（1，6），
∴根据平移的性质可得：M（2，0），N（0，4）或M′（-2，0），N′（0，-4）．
④正确；
综上，正确的结论有3个，故选B.
点睛：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及一次函数的性质等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是；
②一次函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标为；
③直线与轴的交点为；
④．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
【答案】C
【分析】先联立两个一次函数的解析式求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，联立一次函数y=x+5和反比例函数的解析式，求解得出点B的坐标，S△AOB=S△AOC-S△BOC=×OC AM OC BN，求得S△AOB．
【详解】解：依题意得，解得，
∴点A的坐标为（-2，4），
∵反比例函数y=的图象经过点A，
∴k=-2×4=-8，
即反比例函数的解析式为；故选项①正确；
解方程组，解得，和，
∴点B的坐标为（-8，1），故选项②错误；
令，则，
∴直线AB与y轴的交点为（0，5），故选项③错误；
令y=0，则x+5=0，
∴x=-10，
∴C（-10，0），
过点A、B分别作x轴的垂线交x轴于点M、N，
则S△AOB=S△AOC-S△BOC=×OC AM OC BN=×4×10 ×10×1=15．故选项④正确；
综上，正确的是①④．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，主要考查了方程组的解法，待定系数法求解析式，掌握求函数交点坐标的方法是解本题的关键．
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
【答案】①③④
【分析】设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作，连接FR，求出直线BM的解析式为，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正确．
【详解】解：设点A（m，n），则M（n，m），
∴直线AM的解析式为，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，
∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，
∴∠AOP=∠MOQ，
∴，故①正确；
过O作OH⊥MA于H，
∵OC=OD，
∴DH=CH，
∵，
∴DM=AC，
∴MH=AH，
但是DM与MH不一定相等，
故不一定成立，故②错误；
如图，作，连接FR，则∠BEO=∠ARO，
∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），
∴B（-m，-n），OA=OB，
∵点M（n，m），
∴直线BM的解析式为，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），
∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，
∴△BOE≌△AOR，
∴OR=OE=OF，
∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，
∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，
∴四边形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，
设MF=2x，则MB=7x，
∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，
∴△BOE≌△MOF，
∴BE=MF=2x，
∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，
∴FR= EF=3x，
∴AM=3x，
∵DM=AC=2x，
∴，故③正确；
过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，
∵，OA=OM，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，
∴∠AOH=30°，
∴∠AOC=15°，
∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，
∴，
∴，
∵M点的横坐标为1，
∴QM=AP=GN=1，
∴，
得，
∴，
∴A（，1），
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合知识，反比例函数的轴对称性，求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
22．如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．
②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．
③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA=OM=AM，可得1+k2=m2+，推出m=k，根据OM=AM，构建方程求出k即可判断．
④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】①设点A（m，），M（n，），
则直线AC的解析式为y=-x++，
∴C（m+n，0），D（0，），
∴，
∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BM⊥AM，
∴OM=OA，
∴k=mn，
∴A（m，n），M（n，m），
∴，
∴AM不一定等于OM，
∴∠BAM不一定是60°，
∴∠MBA不一定是30°．故②错误，
∵M点的横坐标为1，
∴可以假设M（1，k），
∵△OAM为等边三角形，
∴OA=OM=AM，
1+k2=m2+，
∵m＞0，k＞0，
∴m=k，
∵OM=AM，
∴（1-m）2+(k )2=1+k2，
∴k2-4k+1=0，
∴k=2±，
∵m＞1，
∴k=2+，故③正确，
如图，作MK∥OD交OA于K．
∵OF∥MK，
∴，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴，
∵KM∥OD，
∴，
∴DM=2AM，故④正确．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题
23．如图，直线与双曲线 交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
【答案】①③/③①
【分析】①联立直线与双曲线 ，依题意得出方程有两个不相等的实数根，得出，得出，即可判断①，作直线，交于，则，设点，证明，，同理可得，，进而根据即可判断③，当时，，，即可判断②；根据题意得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出即可判断④
【详解】令 ，整理得：，
直线与双曲线 交于、两点，
方程有两个不相等的实数根，
，
或，
，
，故①正确；
如图，作直线，交于，则，
设点，
点、在双曲线 上，
，
将代入 中，整理得：，
，
又，
，
，，
在和中，
，
，
，，
直线是由直线平移之后所得，直线是第二、四象限的角平分线，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
同理可得，，
，
，
1，故③正确；
，
当时，，，
、、、不再彼此全等，
，故②错误；
，的解析式分别为，，，
， ，
，
，
，
，
，
，
没有最小值，故④错误；
综上所述：结论正确的是①③．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数与一次函数综合，掌握反比例函数的性质，将两函数交点问题转化为一元二次方程的解的情况是解题的关键．
24．反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
；
四边形的面积为；
当时，点是的中点；
若，则四边形为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】
【分析】由反比例函数的几何意义可得答案； ，进行计算即可得到答案；连接，根据已知条件得到，根据三角形的面积公式即可得到结论；由知，，解得：，得到不一定等于，从而得出结论．
【详解】解： 轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，
轴，轴，
点在反比例函数上，
，故正确，符合题意；
点在的图象上，轴于点，轴于点，
，
，故正确，符合题意；
连接，
，，
，
在函数的图象上，点在的图象上，
，，
，，
，
点是的中点，故正确，符合题意；
，
由知，，
解得：，
点在的图象上运动，
不一定等于，
四边形不一定为正方形，与的取值无关，故错误；
综上所述，正确的是：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，所得三角形的面积为，熟练掌握此知识点是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，直线与双曲线的另一个交点为C．现给出以下结论：
①一定是直角三角形；
②一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得；
④对于任意的正数k，都存在b，使得．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】连接，令与轴，轴分别交于，，联立两个解析式，可得，进而求得，，由此可得，可知，由反比例函数图象的性质可知点与点关于原点对称，得，则，进而求得，即可可判断①；由直线，可得，可知为等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可可判断②；可知，根据反比例函数与坐标轴不相交，可知，即可可判断③；可知，，求得，，进而可得，可知，当时，关于的方程都有解，即可判断④．
【详解】解：连接，令与轴，轴分别交于，，
联立，整理得，
解得：，，
则，，
∴，
则，
∴，
∵直线与双曲线的另一个交点为C，
则点与点关于原点对称，
∴，
则，
∵，
∴，
∴为直角三角形，故①正确；
对于直线，当时，，当时，，则，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由三角形外角可知，，
∴一定不是等腰直角三角形，故②正确；
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵反比例函数与坐标轴不相交，
∴，
则，不可能存在实数使得，故③错误；
∵，，
∴
，
由，
∴，
则，
当时，关于的方程都有解，
∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，一元二次函数根与系数的关系，等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解决问题的关键．
26．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接．给出以下结论：①，，；②；③五边形的面积；④．所有正确的结论有 ．（填正确的序号）
【答案】①②④
【分析】根据待定系数法求出函数关系式可确定、、的值，即可判断①；确定点、的坐标及直线与轴、轴交点、的坐标，利用等腰直角三角形的性质即可判断②根据，即可判断③；由坐标求出相应的线段的长，根据勾股定理求出、的长，即可判断④．
【详解】解：直线过、两点，
，
解得：，
直线的函数关系式为，
又反比例函数的图象过，
，
反比例函数的关系式为，
故①正确；
轴，轴，
，，
，
又直线与轴的交点，与轴的交点，
，
，
，
，
故②正确；
，
故③不正确；
在直角中，，
在直角中， ，
故④正确；
综上所述，正确的结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数的图象的交点坐标，勾股定理，图形的面积的计算，待定系数法求函数解析式以及勾股定理求出线段的长是解决问题的关键．
27．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由于A、B是反比函数y上的点，可得出S△OBD＝S△OAC故①正确；只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵A、B是反比函数y上的点，
∴S△OBD＝S△OAC，故①正确；
设点P 则点A，点B
∴PA= ，PB= ；
∴只有当P的横纵坐标相等且为2时PA＝PB，故②错误；
∵P是反比例函数y上的点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝43，故③正确；
连接OP，
∵4，
∴ACPC，PAPC，
∴3，
∴，故④正确．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
28．如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
【答案】①②④
【分析】设点D的坐标为（，），则F（，0），根据三角形面积公式得到S△DFE＝S△CEF＝k，再根据面积相等的两个三角形若同底，则它们的高相同，即E、F到AD的距离相等，由此可证得CD∥EF；要判断△DCE≌△CDF，则四边形CEFD为等腰梯形，△OAB为等腰直角三角形，而a的值不确定，所以△DCE和△CDF不一定全等；易得四边形ACEF，四边形BDFE都是平行四边形，则AC＝EF＝BD，所以BD＝AC．
【详解】解：设点D的坐标为（，），则F（x，0）．
∵由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE＝DF OF＝ ＝，
同理可得S△CEF＝，
∴S△DEF＝S△CEF，故①正确；
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
∴AC＝EF＝BD，
∴BD＝AC，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的满足其解析式；熟练由运用三角形面积公式和平行四边形的判定与性质解决线段相等的关键．
29．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图像在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据题意，设，，则点，，，从而求出直线的解析式，点的坐标，可判断，根据平行四边形的性质，面积公式，，即可求解．
【详解】解：矩形，比例函数，
∴设，，则点，，，
∴设直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，解得，，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，且，则，
∴，
∴，
∵直线的解析式为，
∴，且，
∴，
∴，故③错误；
∵，
∴，解得，，
∵，即，
∴，
∴，
∴（舍去）或，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数图形的性质是解题的关键．
30．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填正确的序号）
【答案】①③④
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，利用三角形面积公式求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证得是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，
设，
的中点为，，
的图象经过点，
，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，
的纵坐标，
把代入得，，
，
，
，故②错误；
如图，过点作轴于．
，，，，
过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
，
，
，故③正确；
，，，，，
是的中点，
，
，
轴，
，
，
若，则，
，
．故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，平行线的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考填空题中的压轴题．
31．如图，矩形的顶点坐标分别为、、、，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②
【分析】①若k＝4，则计算S△OEF＝，故命题①正确；
②若，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
③因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
④求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式，求出k＝1，故命题④错误．
【详解】解：命题①正确．理由如下：
∵k＝4，
∴E（，3），F（4，1），
∴CE＝4 ＝，CF＝3 1＝2．
∴S△OEF＝S矩形AOBC S△AOE S△BOF S△CEF
＝S矩形AOBC OA AE OB BF CE CF＝4×3 ×3× ×4×1 ××2＝12 2 2 ＝，故命题①正确；
命题②正确．理由如下：
∵，
∴E（，3），F（4，），
∴CE＝4 ＝，CF＝3 ＝．
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM＝3，OM＝；
在线段BM上取一点N，使得EN＝CE＝，连接NF．
在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN2＝EN2 EM2=，
∴MN＝，
∴BN＝OB OM MN＝4 ＝．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF2＝BN2＋BF2=，
∴NF＝．
∴NF＝CF，
又EN＝CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，得点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3＝12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
设k＝12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y＝ax＋b，
则，解得，
∴y＝x＋3m＋3．
令x＝0，得y＝3m＋3，
令y＝0，得x＝4m＋4，
∴D（0，3m＋3），G（4m＋4，0）．
如图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM＝AE＝4m，EM＝3．
在Rt△ADE中，AD＝OD OA＝3m，AE＝4m，由勾股定理得：DE＝5m；
在Rt△MEG中，MG＝OG OM＝（4m＋4） 4m＝4，EM＝3，由勾股定理得：EG＝5．
∴DE EG＝5m×5＝25m＝，解得m＝，
∴k＝12m＝1，故命题④错误．
综上所述，正确的命题是：①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题综合考查函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法求解析式、矩形的性质及勾股定理等知识点，本题计算量较大，正确的计算能力是解决问题的关键．
32．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D． AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结OD，ED．有下列结论：
①OA=OB；
②AE⊥OD；
③S△AOD= S△AED；
④若AC=3CD，△AED的面积为4，则k的值为6．
其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）．
【答案】①③
【分析】连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，得OE＝OA＝OB，进而得到∠OAE＝∠AEO，由AE为∠BAC的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件AC＝3DC，，可得3DH＝AF，则点，证明△DHC∽△AGD，得到，所以，可求得的值，根据以上分析即可逐一判断．
【详解】解：连接OE，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF，
∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，
∴A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵BE⊥AE，
∴OE＝OA＝OB，
∴①正确；
∴∠OAE＝∠AEO，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAE＝∠AEO＝∠OAE，
∴，
∴，
∴③正确；
∵无法证明AE⊥OD，
∴②错误；
∵AC＝3DC，△AED的面积为4，
∴，
设点，
∵AC＝3DC，，
∴3DH＝AF，
∴，
∵，
∴△DHC∽△AGD，
∴，
∵
∴ ，
∴，
∴④错误，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查的是反比例函数与几何综合，借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．
33．如图，已知函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于两点，以为邻边作平行四边形．下列结论中：
①；②若，则当时，；③若，则平行四边形的面积为3；④若，则．其中正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】联立求得两点的坐标，利用勾股定理即可判断①；根据两点的坐标即可判断②；求得的坐标，利用菱形的面积公式进行计算即可判断③；假设，则，而，即可判断④．
【详解】解：①函数的图象与函数的图象交于两点，
联立，
解得：或，
，，
由勾股定理可得：，
，
，故①正确，符合题意；
②若，
联立，
解得：或，
，，
根据图象可得：当时，，故②正确，符合题意；
③如图，连接，
，
平行四边形中，，
四边形是菱形，
若，则，，
，
根据勾股定理可得：，，
，故③正确，符合题意；
④若，根据菱形的性质，
，
平分，
必须有，
由③可知，若，则，
那么，
，，
若，则不成立，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的为：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，菱形的判定与性质、坐标与图象、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，求得交点坐标是解此题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与交于点，与对角线交于点，与交于点，连接．下列结论正确的有 个．
①；②；③；④．
【答案】4
【分析】根据矩形的性质，计算和的长，再利用三角函数定义可判断①，求得的解析式，列方程求出交点的坐标，可判断②，计算的面积可判断③，根据勾股定理计算的长，可判断④，即可解答．
【详解】解：在矩形中，点B的坐标为，
，
根据勾股定理可得，
当时，可得，解得，
，
，
根据勾股定理可得，
，，
，故①正确；
设的解析式为，将代入解析式可得，解得，
的解析式为，联列方程，，
解得，，
，
，
是的中点，
，
故②正确；
当时，，
,
,
，
，
，故③正确；
根据坐标系中两点距离公式可得：
，
，故④正确，
故答案为：4．
【点睛】本题为反比例函数与几何综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是利用点的坐标求线段长．
35．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，有以下结论：①；②点是一个定点，坐标为；③；④面积有最小值，．则其中正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①②③④
【分析】如图，过点P作PM⊥y轴于M，PQ⊥AB于Q，PN⊥x轴于N，延长ON到C，使CN=MA，根据角平分线的性质可得PM=PQ=PN，可得四边形PMON是正方形，利用HL可证明△APM≌△APQ，△BPQ≌△BPN，可得∠MPA=∠QPA，∠BPQ=∠BPN，可得∠APB=∠MPN=45°，可判定①正确；由PM=PN可得点P横纵坐标相等，根据点P在反比例函数的图象上可得P（6，6），可判定②正确；利用线段的和差关系可得AB=BC，由BN=6-n，AM=6-m可得AB=12-（m+n），可判定③正确，根据PQ为定值6可得AB取最小值时，S△PAB有最小值，根据平方的非负数性质可得m2+n2≥2mn，可得当m=n时，AB取最小值，
根据AB2=m2+n2=[12-（m+n）]2可求出m的值，进而可得出S△PAB的最小值，可对④进行判定；综上即可得答案．
【详解】如图，过点P作PM⊥y轴于M，PQ⊥AB于Q，PN⊥x轴于N，延长ON到C，使CN=MA，
∵AP、BP分别为∠MAB和∠ABC的角平分线，
∴PM=PQ=PN，
∴四边形PMON是正方形，
在△APM和△APQ中，，
∴△APM≌△APQ，
∴∠MPA=∠QPA，MA=AQ，
同理：△BPQ≌△BPN，
∴∠BPQ=∠BPN，BQ=BN，
∴∠QPA+∠BPQ=∠MPA+∠BPN=∠MPN=45°，即∠APB=45°，故①正确，
∵PM=PN，
∴点P横纵坐标相等，
∵点P在反比例函数的图象上，
∴P（6，6），故②正确，
∵MA=AQ，BQ=BN，CN=MA，
∴AQ+BQ=BN+CN，即AB=BC，
∵AM=CN=6-m，BN=6-n，
∴AB=BC=BN+CN=6-m+6-n=12-（m+n），故③正确，
∵PQ=PM=6，
∴AB取最小值时，S△PAB有最小值，
∵（m-n）2≥0，
∴m2+n2≥2mn，
∴m=n时，m2+n2有最小值，
∵AB2=m2+n2=[12-（m+n）]2，
∴当AB取最小值时，2m2=（12-2m）2，
解得：m=12，
∵m＜6，
∴m=12，
∴AB=，
S△PAB= =，故④正确，
综上所述：正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握相关性质及定理是解题关键．
36．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③④
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①错误；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确．
【详解】解：①由图象知，，，
，故①正确；
②把、代入中得，
，故②正确；
③把、代入得，
解得，
，
，
已知直线与轴、轴相交于、两点，
，，
，，
，，
，故③正确；
④由图象知不等式的解集是或，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了反比例函图象与一次函数图象与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点是解题的关键．
37．如图，已知直线与y轴，x轴相交于P，Q两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④当时，x的取值范围为或，其中正确结论的是 （填番号）
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，
，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确．
【详解】解：①由图象知，，，
，故①正确；
②把、代入中得，
∴，故②正确；
③把、代入得，
解得，
，
∴
，
已知直线与轴、轴相交于、两点，
，，
，，
，，
∴，故③正确；
④由图象知不等式的解集是或，故④正确；
故答案为：①②③④．
38．如图，若点是轴正半轴上的任意一点，过点作轴，分别交函数和的图象于点和，连接，，则下列结论：①；；②；③；④点与点的横坐标相等；⑤的面积是，其中判断正确的是 填序号
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数的性质和反比例函数系数的几何意义判断即可，
【详解】解：函数在第一象限，的图象位于第四象限，
；，故正确；
由反比例函数系数的几何意义，，，
，即；故正确；
轴，
点与点的横坐标相等，故正确；
，，
的面积，故正确，
故答案为：．
39．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；② 四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④．其中一定正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，对四个选项逐一进行分析，即可得出正确答案．
【详解】解：由于点A和点B均在同一个反比例函数的图象上，
所以，
故与的面积相等，故①正确；
∵矩形的面积是k、而、为定值1，则四边形的面积只与k有关，
∴四边形的面积不会发生变化，故②正确；
只有当四边形为正方形时满足，
∴与不一定相等，故③错误；
由图象可知：当时，，则，
又∵当x取同一个值时，的图象在的图象的上方，
故，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
40．如图，已知直线与的图像交于A (－2，m)和B (1，n)两点，过点A作AC⊥轴，垂足为C，过点B作BD⊥轴，垂足为D，连结OA，OB，给出下列结论：①；② S△AOC=S△BOD；③ m+n=0；④不等式 的解集为<－2或0<<1，其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】①根据一次函数图象过二、三、四象限，可知＜0，根据反比例函数图象过二、四象限，可知＜0，再进行判断即可；
②根据反比例函数的比例系数的几何意义，分析解答；
③反比例函数图象上的点，横纵坐标之积为定值，因此，再利用等式的性质变形；
④根据图象直接分析解答.
【详解】①∵一次函数图象过二、三、四象限，
∴＜0，
∵反比例函数图象过二、四象限，
∴＜0，
∴，①错误；
②根据反比例函数的比例系数的几何意义：S△AOC，S△BOD，
∴S△AOC＝S△BOD，②正确；
③∵A（－2，m）、B（1，n）都在反比例函数图象上，
∴，，即：，则有，故③正确；
④利用不等式结合图象直接分析：
当 时，＜－2或0＜＜1，故④正确；
故填②③④.
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、性质，比例系数的几何意义，与不等式、一次函数的结合，解题时要充分利用图象分析.
反比例函数性质综合题（共40道）
一、单选题
1．如图，A、B是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是( )
①；②；③若，则平分；④若，则
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
2．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为D，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点C的坐标为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④
4．函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
6．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作 轴交函数的图象于点，过点作 轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．
下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
7．两个反比例函数和在第一象限内的图像如图所示，点在的图像上，轴于点，交的图像于点，轴于点，交的图像于点，轴于点，当点在图像上运动时，以下结论：①与始终平行；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④的面积等于四边形的面积．其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A．C分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM、ON、MN．
下列结论：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN；
③四边形DAMN与△MON面积相等；
④若∠MON=450，MN=2，则点C的坐标为．
其中正确的个数是【 】
A．1 B．2 C．3 D．4
9．反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．其中正确结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接、，有下列结论：①与的面积相等；②；③；④其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若＝，则＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②④ D．①③
12．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF=OE；②∠EOF=60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF=CF+AE；⑤若∠EOF=45°，EF=4，则直线FE的函数解析式为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点D，，双曲线经过的中点F，交于点E，下列四个结论：①；②；③E点的坐标是；④连接、，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，矩形的顶点坐标分别为，动点F在边上（不与重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E，直线分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点C关于直线的对称点在x轴上；③满足题设的k的取值范围是；④若，则．其中正确的命题个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，直线与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，轴于M，轴于N；有以下结论：①；②；③若∠AOB=45°，则；④当AB=时ON-BN=1；其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF． 有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
18．如图，已知直线y＝x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k＝6；②A点与B点关于原点O中心对称；③关于x的不等式＜0的解集为x＜﹣3或0＜x＜3；④若双曲线y＝（k＞0）上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8，其中正确结论的个数（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
19．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=3；②关于x的不等式的解集为或；③若双曲线上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8；④若在轴上有一点M，轴上有一点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点，下列叙述正确的是（ ）
①反比例函数的表达式是；
②一次函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标为；
③直线与轴的交点为；
④．
A．①②③④ B．②③④ C．①④ D．②③
二、填空题
21．在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
22．如图，函数(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则；④若，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是 ．
23．如图，直线与双曲线 交于、两点，连接、，轴于，轴于，设，的解析式分别为，，现有以下结论：①；②；③若，则；④有最小值．其中正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)
24．反比例函数（，为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点；轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：
；
四边形的面积为；
当时，点是的中点；
若，则四边形为正方形．
其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线交于A，B两点，直线与双曲线的另一个交点为C．现给出以下结论：
①一定是直角三角形；
②一定不是等腰直角三角形；
③存在实数k，使得；
④对于任意的正数k，都存在b，使得．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
26．如图，直线分别与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接．给出以下结论：①，，；②；③五边形的面积；④．所有正确的结论有 ．（填正确的序号）
27．函数和在第一象限内的图像如图，点P是的图像上一动点，轴于点C，交的图像于点A，轴于点D，交的图像于点B．给出如下结论：①与的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④．其中所有正确结论的序号是 ．
28．如图，一次函数的图象与轴交于两点，与反比例的图象交于两点，分别过两点作轴的垂线，垂足为，连接，有下列结论：①与面积相等；②；③；④．中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
29．如图，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数的图像在第一象限的分支交于点，交于点，直线交轴于点，交轴于点，连接．则下列结论：①；②四边形为平行四边形；③若，则；④若，，则．其中正确的有 ．（填序号）
30．如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点．下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是 ．（填正确的序号）
31．如图，矩形的顶点坐标分别为、、、，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和，给出下列命题：①若，则的面积为；②若，则点关于直线的对称点在轴上；③满足题设的的取值范围是；④若，则．其中正确的命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号）
32．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D． AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结OD，ED．有下列结论：
①OA=OB；
②AE⊥OD；
③S△AOD= S△AED；
④若AC=3CD，△AED的面积为4，则k的值为6．
其中正确的是 （把正确结论的序号都填上）．
33．如图，已知函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于两点，以为邻边作平行四边形．下列结论中：
①；②若，则当时，；③若，则平行四边形的面积为3；④若，则．其中正确的有 ．
34．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，边在轴的正半轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象与交于点，与对角线交于点，与交于点，连接．下列结论正确的有 个．
①；②；③；④．
35．如图，在直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点，且点恰好在反比例函数的图象上，有以下结论：①；②点是一个定点，坐标为；③；④面积有最小值，．则其中正确的结论有 （填写序号）．
36．如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是 ．
37．如图，已知直线与y轴，x轴相交于P，Q两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④当时，x的取值范围为或，其中正确结论的是 （填番号）
38．如图，若点是轴正半轴上的任意一点，过点作轴，分别交函数和的图象于点和，连接，，则下列结论：①；；②；③；④点与点的横坐标相等；⑤的面积是，其中判断正确的是 填序号
39．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；② 四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④．其中一定正确的是 ．
40．如图，已知直线与的图像交于A (－2，m)和B (1，n)两点，过点A作AC⊥轴，垂足为C，过点B作BD⊥轴，垂足为D，连结OA，OB，给出下列结论：①；② S△AOC=S△BOD；③ m+n=0；④不等式 的解集为<－2或0<<1，其中正确结论的序号是 ．
