7.4.2 超几何分布（同步检测）
一、选择题
1.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰好抽取1名女生的概率为，则a的可能取值为( )
A.1 B.3
C.2 D.8
2.(多选)关于超几何分布，下列说法正确的是( )
A.超几何分布的模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以有两类或三类物品
C.超几何分布的参数是N、M、n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成
3.有8件产品，其中3件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的件数，则P(X≤1)＝( )
A. B. C. D.
4.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于的是( )
A.P(ξ＝2) B.P(ξ≤2)
C.P(ξ＝4) D.P(ξ≤4)
5.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P(X＝2)＋P(Y＝2)等于( )
A. B.
C. D.
6.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )
A. B. C. D.
7.10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于( )
A.1 B.2或8
C.2 D.8
8.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则E(X)＝________
10.从装有3个红球和2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则P(ξ≤1)＝________
11.从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数ξ的均值为________
12.50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________
三、解答题
13.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
14.在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列和均值．
15.目前，有些城市面临“垃圾围城”的窘境．垃圾分类可助力将不易降解的物质分出来，减轻对土地的严重侵蚀，减少土地流失．某市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类．生活垃圾中有30%～40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源．如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱240千克，降低造纸的污染排放75%，节省造纸能源消耗40%～50%．
现调查了该市5个小区12月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：
A小区 B小区 C小区 D小区 E小区
废纸投放量/吨 5 5.1 5.2 4.8 4.9
塑料品投放量/吨 3.5 3.6 3.7 3.4 3.3
(1)从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；
(2)从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．
参考答案及解析：
一、选择题
1.CD 解析：由题意知＝，解得a＝2或8．
2.ACD 解析：由超几何分布的定义可知A、C、D均正确，因超几何分布的总体只有两类物品，故B错误．
3.B 解析：根据题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＋＝．
4.C 解析：A项，P(ξ＝2)＝；B项，P(ξ≤2)＝P(ξ＝2)≠；C项，P(ξ＝4)＝；
D项，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)>．
5.C 解析：由题意可知X，Y服从超几何分布，P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝，所以P(X＝2)＋P(Y＝2)＝．故选C．
6.B 解析：由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
7.B 解析：由题意得＝，即a(10－a)＝16，解得a＝2或a＝8，故选B.
8.D 解析：从袋中任取10个球，其中红球的个数X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，故恰有6个红球的概率为P(X＝6)＝.
二、填空题
9.答案： 解析：E(X)＝4×＝．
10.答案：
解析：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＋＝．
11.答案：
解法一：由题意知，ξ＝0，1，2．
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴取得次品数ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．
法二：由超几何分布的均值公式可知E(ξ)＝n·＝3×＝．
12.答案：15 解析：用X表示中奖票数，P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15．
三、解答题
13.解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝＝．
(2)由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝．
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
14.解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝．
因此X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝．
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
P(Y＝0)＝＝＝，P(Y＝10)＝＝＝，P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，P(Y＝60)＝＝＝．
因此随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16．
15.解：(1)记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件A．
由题意，得B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨，所以P(A)＝．
(2)因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区，X的所有可能取值为0，1，2．
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝；P(X＝2)＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝．
