人教版2023-2024学年七年级（下）期末测试卷
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024七年级·江苏扬州·期末）正整数a、b分别满足，则 ( )
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】A
【分析】
本题考查无理数的估算，利用无理数的估算求得，的值后代入中计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴，，
∴，
故选：A．
2．（2024七年级·山东泰安·期末）已知点的坐标为，线段平行于轴且，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等，分点在点的左边与右边两种情况讨论求解，掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标为，线段平行于轴，
∴点的纵坐标为，
当点在点的右侧时，
∵，
∴点的横坐标为，此时点的坐标为；
当点在点的左侧时，
∵，
∴点的横坐标为，此时点的坐标为；
∴点的坐标为或，
故选：．
3．（2024七年级·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的变形，把x看作已知数求出y即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
4．（2024七年级·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质，不等式性质一：不等式两边同时加上可减去同一个数或整式，不等号不变；不等式性质二：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变；不等式性质三：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向．
根据不等式的性质，逐项判定即可．
【详解】解：∵，
A. ，故此选项不符合题意；
B. 不能推出，故此选项不符合题意；
C. 当时，当时，当时，故此选项不符合题意；
D. 一定成立，故此选项符合题意，
故选：D．
5．（2024七年级·山东泰安·期末）小明同学统计了某学校七年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：①小明此次一共调查了90位同学；②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于分钟的人数；③每天阅读图书时间在分钟的人数最多；④每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的．根据图中信息，上述说法中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由直方图可得，
小明此次一共调查了名同学，故①错误；
每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数和分钟的人数一样多，故②错误；
每天阅读图书时间在分钟的人数最多，故③正确；
每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的：，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
6．（2024七年级·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：、平分，，
，故不符合题意；
、，
平分
，故不符合题意；
、，
平分
，故不符合题意；
、，
不能判断，故符合题意，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键．
7．（2024七年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（ ）
A．40 B．41 C．45 D．46
【答案】B
【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴
解得：
∴ =41
故选B．
【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
8．（2024七年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点．有四个点，，，一定在线段上的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据平移的结果结合四个点的坐标进行分析比较即可判断．
【详解】解：解：∵将沿着y的负方向向下平移个单位后得到B点，
∴，
∵，
∴，
∴线段在y轴右侧，点A在点B上方，且与y轴平行，距离y轴1个单位，
∵，
∴不在线段上，
∵，
∴当时，在线段上，当时，不在线段上，
∵，则，且，
∴一定在线段上，
而当时，此时，此时在线段上，
当时，此时，此时不在线段上，
∴一定在线段上的是P点．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，不等式的性质的应用，理解题意，建立不等式解题是关键．
9．（2024七年级·湖北荆州·期中）如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可．
【详解】由图和题意，可知：
当点移动到时，用时2秒，
当点移动到时，用时6秒，
当点移动到时，用时12秒；
∴点移动到时，用的时间为秒，
当点移动到时，先向右移动1秒，得到，再向下移动1秒得到，
当点移动到时，向上移动1秒，得到，
当点移动到时，先向右移动3秒，得到，再向下移动3秒得到，
∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动1秒，得到，
∴当点移动到时，用时秒，再向下移动9秒，得到，
即：第99秒时质点所在位置的坐标是为；
故选A．
10．（2024七年级·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图1所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴
当时，如图2所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024七年级·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：的立方根是；
的平方根是．
故答案为：；．
12．（2024七年级·山东烟台·期末）如图，的边长cm，cm，cm，将沿方向平移cm（cm），得到，连接，则阴影部分的周长为 cm．
【答案】13
【分析】本题考查平移的基本性质，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：将沿方向平移cm（cm），得到，
，，，
阴影部分的周长cm．
故答案为：13．
13．（2024七年级·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出，从而可得：，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
得：，
解得：，
∵，
∴，
解得，，
∴满足题意的最小整数a是3，
故答案为：3．
14．（2024七年级·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为 .
【答案】
【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
15．（2024七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，直线、相交于点G，，平分，若，则 °．
【答案】30
【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：30．
16．（2024七年级·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当点，在同侧或异侧时，利用角平分线的定义和平行线的性质，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
①如图1，过点，分别作，，
，
．
，．
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
，
，
同理可得；
②如图2，过点，分别作，，
，
．
，．
，
．
的平分线与的平分线交于点，
，．
．
，同①可得．
综上所述，的度数为或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，利用分类讨论的思想求解问题．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024七年级·四川凉山·期末）计算题．
(1)计算
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练掌握和运用各运算法则．
（1）根据二次根式的混合运算，即可求得；
（2）利用加减消元法即可解得．
【详解】（1）解：
=
=
=；
（2）解：
②×4，可得，
得，解得，
把代入①得，，解得，
∴原方程组的解为．
18．（6分）（2024七年级·辽宁抚顺·期末）解不等式（组）：
(1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)求不等式组的整数解．
【答案】(1)，数轴见解析；
(2)整数解为，．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，求一元一次不等式组的整数解，熟练运用口诀求出不等式组的解集是解题的关键．
（1）运用解一元一次不等式的步骤计算，并把解集表示在数轴上即可解答；
（2）把每个不等式的解集求出，再找两个不等式的解集的公共部分，并在不等式组的解集中寻找整数解，即可解答．
【详解】（1）解：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
不等式的解集在数轴上表示为：
．
（2）
解不等式①，，得
解不等式②，，得 ，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为1，2．
19．（8分）（2024七年级·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解；
（）由，可得，求的平方根即可求解；
本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是，
∴，，
即，
解得，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴的平方根是．
20．（8分）（2024七年级·河南鹤壁·期末）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为A “剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次一共抽取了________名学生；统计图中的________，________；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为________．
【答案】(1)120；12；36
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由A所占的百分比及参加A类活动课的人数可求得总人数，再由总人数及B和D所占的百分比即可求得a和b的值；
（2）先求得E类活动课参加的人数，再补全条形统计图即可；
（3）根据抽样调查中喜爱“葫芦雕刻”的学生所占的百分比乘以即可求出C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角．
【详解】（1）解：，，，
故答案为：120；12；36．
（2）解：类别的人数为：（人）
补全条形统计图如图所示：
（3）解：扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以看出每个量所占的百分比．
21．（8分）（2024七年级·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．
(1)求出点，的坐标；
(2)如图2，若，，分别平分，；求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在， 或或或
【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案；
（2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案；
（3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴、；
（2）解：如图，过点作，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，分别平分，，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：连接，如图．
设，
∵，
∴，
解得，
∴点坐标为，，
当点在轴上时，设，
∵，
∴，
解得或，
∴此时点坐标为或，
当点在轴上时，设，
，
解得或，
∴此时点坐标为或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键．
22．（8分）（2024七年级·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元
(2)有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根
(3)购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元
【分析】（1）设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，然后根据题意建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，然后根据题意建立不等式组求出其解即可；
（3）根据（2）的结论，结合题意，分别求得利润，比较即可求解．
【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要a元，购进乙种跳绳每根需要b元，由题意得：
，解得：，
答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元．
（2）解：设购进甲种跳绳x个，则购进乙种跳绳个，根据题意得，
解得：，
∵为正整数，
∴，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，，不是整数，不符合题意，舍去，
当时，，
答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；
（3）解：∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，
由（2）可知，方案①：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案②：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，则利润为；
∵，
∴方案③：购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，获利最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键．
23．（8分）（2024七年级·福建泉州·期末）如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．
(1)如图1，求的度数（用含的式子表示）；
(2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．
①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．
②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②存在使得，为定值
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质得到，，则；
（2）①由平行线的性质得到，则，则，进而得到，由角平分线的定义得到，则，即可得到；②分当在左侧时，当在右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到，进而得到，再由，得到，可得，进而求出，据此可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：①，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，当在左侧时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴此时不存在常数k使得为定值，
如图所示，当在右侧时，
同理可得，
∴当，即时，，为定值；
综上所述，存在使得，为定值．
人教版2023-2024学年七年级（下）期末测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024七年级·江苏扬州·期末）正整数a、b分别满足，则 ( )
A．16 B．9 C．8 D．4
2．（2024七年级·山东泰安·期末）已知点的坐标为，线段平行于轴且，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2024七年级·湖北武汉·期末）把方程改写成含x的式子表示y的形式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七年级·四川凉山·期末）已知，下列变形一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七年级·山东泰安·期末）小明同学统计了某学校七年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图，如图所示．下面有四个推断：①小明此次一共调查了90位同学；②每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于分钟的人数；③每天阅读图书时间在分钟的人数最多；④每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的．根据图中信息，上述说法中正确的是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
6．（2024七年级·山东烟台·期末）如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024七年级·浙江杭州·专题练习）对于实数，，定义新运算，其中，为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若，，则（ ）
A．40 B．41 C．45 D．46
8．（2024七年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，将，沿着轴的负方向向下平移个单位后得到点．有四个点，，，一定在线段上的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．（2024七年级·湖北荆州·期中）如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024七年级·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A．129° B．72° C．51° D．18°
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024七年级·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ．
12．（2024七年级·山东烟台·期末）如图，的边长cm，cm，cm，将沿方向平移cm（cm），得到，连接，则阴影部分的周长为 cm．
13．（2024七年级·吉林长春·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是 ．
14．（2024七年级·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为 .
15．（2024七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，直线、相交于点G，，平分，若，则 °．
16．（2024七年级·河南新乡·期末）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024七年级·四川凉山·期末）计算题．
(1)计算
(2)
18．（6分）（2024七年级·辽宁抚顺·期末）解不等式（组）：
(1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
(2)求不等式组的整数解．
19．（8分）（2024七年级·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
20．（8分）（2024七年级·河南鹤壁·期末）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为A “剪纸”、B“沙画”、C“葫芦雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次一共抽取了________名学生；统计图中的________，________；
(2)通过计算补全条形统计图；
(3)扇形统计图中C“葫芦雕刻”对应的扇形的圆心角为________．
21．（8分）（2024七年级·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点．
(1)求出点，的坐标；
(2)如图2，若，，分别平分，；求（用含的代数式表示）；
(3)如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
22．（8分）（2024七年级·四川凉山·期末）某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳根，乙种跳绳5根，需要元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要元．
(1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？
(2)若该体育用品店刚好用了元购进这两种跳绳，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于根，那么该文具店共有哪几种购买方案？
(3)若该体育用品店销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
23．（8分）（2024七年级·福建泉州·期末）如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，．
(1)如图1，求的度数（用含的式子表示）；
(2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，．
①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由．
②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
