2024年中考仿真模拟试题（广西卷）（二）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·云南昆明·一模）如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，即可得出结果．
【详解】解：如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作，故选：D．
2．（23-24九年级下·广东中山·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂相乘、除，积的乘方，幂的乘方，根据相关运算法则进行逐项计算分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；D、，故该选项是正确的；故选：D
3．（2023·山东青岛·二模）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．根据题意画出图形，即可可得结论．
【详解】解：如图，．
故选：B．
4．（2023·湖北荆州·三模）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，第一象限内点的坐标特点，先根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到点P的对应点坐标为，再根据第一象限内的点横纵坐标都为正数列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限，
∴点在第一象限，∴，∴，故选：A．
5．（2023·辽宁沈阳·一模）下列说法中，正确的是( )
A．为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B．抛掷一个正方体骰子，朝上面的点数为偶数的概率是
C．若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
【答案】B
【分析】根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
【详解】解：A．测某市正在销售的酸奶质量，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是，此选项正确；
C．若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学的数学成绩更稳定，此选项错误；
D．“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；故选：B．
6．（2024·陕西西安·二模）如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．根据平行得到，再利用外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，∴，
∵，∴，故选B．
7．（2023·吉林长春·一模）如图，是某大桥主塔的正面示意图，，则桥面宽度（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答时涉及等腰三角形性质．过点O作于点C，在中，利用三角函数求出，再利用等腰三角形性质即可求出．
【详解】解：过点O作于点C，
∵，∴，在中，，
∵，∴，∴，故选：D．
8．（2023·山东聊城·二模）随着初中学业水平考试的临近，某校九年级连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论正确的是（ ）
A．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
B．第4月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多
C．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数增长最多的是第4月
D．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，正确理解折线统计图是解题关键．由条形统计图可知，九年级学生人数为人，再结合折线统计图，逐一分析选项，即可得出答案．
【详解】解：由条形统计图可知，九年级学生人数为人，
A、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为人，不足人，选项错误；
B、由折线统计图可知，第4月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数少，选项错误；
C、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数增长最多的是第2月，2月：，4月：选项错误；D、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，选项正确；故选：D．
9．（2023·广西柳州·二模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形． 如果桥顶到水面的距离米， 桥拱的半径米， 此时水面的宽（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，连接，根据垂径定理可知，在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解．
【详解】解：连接，如图所示．∵，∴，
在中，，，，
∴，∴．故选：C．
10．（2024·四川达州·二模）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则自驾车平均每小时行驶千米，
由题意得，，故选：B．
11．（2024·安徽阜阳·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象．根据一次函数与反比例函数图象找出、的正负，再根据抛物线的对称轴为，得出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数图象过第一、二、三象限，∴，
对于二次函数，∴对称轴为，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧；排除选项A和B；
∵反比例函数的图象在第二象限内，∴，则，
∴二次函数的图象与轴交点在轴下方，
满足上述条件的函数图象只有选项D．故选：D．
12．（2023·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大，连接，先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值．
【详解】解：如图，当在对角线延长线上时，最大，连接，
由旋转得：，∴，
∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴，
在和中，，∴，
∴，∴在以点A为圆心，半径为2的圆上，
在中，，∴，
即长度的最大值为，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键．
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，满分12分，将答案填在答题纸上）
13．（2024·山西大同·一模）计算：的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把除法化为乘法运用乘法分配律，再运算减法，即可作答．
【详解】解：故答案为：
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）关于的方程的解是，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查分式方程的解，依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将代入求解可得．解题的关键是掌握分式方程的解的概念．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
将代入，得：，解得，答案为：1．
15．（23-24九年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可．
【详解】解：
当时，即3→3，a→15，→3，→11，
可得密码为：．故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键．
16．（2023·北京西城·模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【答案】 是
【分析】（1）10000人5人化验一次，第一批需要化验2000次，再加上混合血样呈阳性需要需要对这组的每个人再分别化验一次的总次数，即可判定是否能减少化验次数；（2）根据题意可以知道有3人携带，最多次数的是这3人不在同一组，即第二轮有3组即15人要化验，即可求出结果．
【详解】解：（1）次次，明显减少；故答案为：是．
（2）（人，故有3人是携带者，
第一轮：（次，至多化验次数，故而这3个人都在不同组，
这样次数最多，第二轮有3个组需要化验，
（次，（次，故至多需要2015次化验．故答案为：2015．
【点睛】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意．
17．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知，，与的面积和为10，则的长为 ．
【答案】
【分析】作，，证明，推出，设，，构建方程组求出，可得结论．
【详解】解：如图，过点A作于点H，过点D作于点K．
，，
，，.
，.
，，
又，，，
设，.
与的面积和为10，即，，
在中，，即，则有，，
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在等腰直角三角形中，E为上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，，，利用等腰直角三角形的性质，旋转的性质易证，得，根据题意知，由三角形三边关系可知，（当在线段上时取等号），即可求解．
【详解】解：连接，，，由题意可知，，，
由旋转可知，，，则，
∴，∴，∴，
∵E为靠近点A的三等分点，∴，则，
由三角形三边关系可知，（当在线段上时取等号），
则的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质，三角形三边关系的应用，添加辅助线构造全等三角形得是解决问题的关键．
三、解答题 （本大题共8小题，其中19-20每题6分，21-26每题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2024·山西临汾·一模）计算：；
【答案】1；
【分析】本题主要考查有理数的混合运算以及分式的混合运算：先算乘方，再算乘法，最后算减法即可；
【详解】解：；
20．（23-24九年级·山东德州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
先根据整混合运算法则与顺序化简，再把x、y值代入计算即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
21．（2023·山东泰安·三模）如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
(1)求证：；(2)写出与之间的数量关系，再说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【分析】（）先证出，得，由于，得；（）由，得，由（）得，从而得，，进而即可得解．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，∴，，
在和中，，∴（），∴，
∵，∴；
（2）解：，理由：
∵，∴，由（）得（），
∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，等边对等角，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）新学期开始，学校食堂新上了两道菜取名为“节节高升”和“鸿运当头”，学生事务处从学生对两道菜的喜爱度评分中各随机抽取20个同学的评分，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢），下面给出了部分信息：抽取的对“节节高升”的评分数据：
66，68，75，76，77，78，81，85，86，86，86，89，89，90，91，93，94，95，96，99；
抽取的对“鸿运当头”评分数据中“喜欢”包含的所有数据：80，85，87，87，87，88．
抽取的对两道菜的评分统计表
菜名 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比
节节高升 85 86 b 35%
鸿运当头 85 a 87 45%
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪一道菜肴更加受学生欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若共有600名学生对“节节高升”这道菜进行打分，估计其中对“节节高升”这道菜“比较喜欢”的人数．
【答案】(1)，，(2)我认为“鸿运当头”更加受学生欢迎，理由见解析(3)人．
【分析】此题考查了扇形统计图和统计表、中位数、众数、平均数的统计量，根据题意进行正确求解和分析是解题的关键．（1）求出“鸿运当头”评分数据中“喜欢”的占比，用1减去已知各项的占比，即可得到c的值，根据题意可知，“鸿运当头”评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即可求出a的值，根据抽取的对“节节高升”的评分数据中出现次数最多的是86，即可求出b的值；
（2）根据中位数、“非常喜欢”所占百分比等方面分析即可得到答案；
（3）用总人数乘以抽取的对“节节高升”的评分数据中“比较喜欢”的占比即可得到答案．
【详解】（1）抽取的对“鸿运当头”评分数据中“喜欢”占比为，
∴抽取的对“鸿运当头”评分数据中“不喜欢”占比为，∴；
由题意可知抽取的对“鸿运当头”评分数据的中位数位于“喜欢”中包含的数据，“不喜欢”和“比较喜欢”占的数据个数为，“喜欢”包含数据个数为6，且分别为80，85，87，87，87，88．即可知“鸿运当头”评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即，
抽取的对“节节高升”的评分数据中出现次数最多的是86，即，故答案为：，，
（2）我认为“鸿运当头”更加受学生欢迎，理由是：
“鸿运当头”的评分数据中位数高于“节节高升”的评分数据中位数，“鸿运当头”的评分数据中“非常喜欢”所占百分比高于“节节高升”的评分数据中“非常喜欢”所占百分比；
（3）∵抽取的对“节节高升”的评分数据中“比较喜欢”的人数为4人，则（人），
即估计其中对“节节高升”这道菜“比较喜欢”的人数为人．
23．（2024·湖北武汉·一模）根据市场调查，某公司计划投资销售A，B两种商品．
信息一：销售A商品x（吨）所获利润（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x（吨） 1 2 3 4 …
（万元） 6 12 18 24 …
信息二：销售B商品x（吨）所获利润（万元）之间存在二次函数关系：，且销售2吨时获利润20万元，销售4吨时，可获利润32万元．(1)直接写出与x之间的关系式为______；并求出与x的函数关系式；(2)如果企业同时对A，B两种产品共购进并销售10吨，每吨产品购进成本为4万元，请设计能获得最大利润的采购方案，并求出最大利润；(3)假设购买A商品的成本为3万元/吨，购买B商品的成本为5万元/吨，某公司准备投资44万元购进A，B两种商品并销售完毕，要求A商品的数量不超过B商品数量的2倍，且销售总利润不低于53万元，直接写出B商品的销售数量x的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)购进商品吨，购进商品吨，最大利润万元(3)
【分析】本题考查了二次函数在销售利润问题中的应用；（1）由信息一得，每销售吨A商品可获利万元，由信息二得：当时，，当时，，代入解析式，即可求解；（2）设购进商品吨，总利润为万元，商品的利润商品的利润，化成二次函数的顶点式，即可求解；
（3）由商品和商品数量关系列出不等式求出的取值范围，商品的利润商品的利润，求出时的取值范围，即可求解；找出等量关系式，理解二次函数与对应不等式之间的关系及、的实际意义是解题的关键．
【详解】（1）解：由信息一得：每销售吨A商品可获利万元；
由信息二得：当时，，当时，， ，故答案：；
由信息二得当时，，当时，，
，解得：，与x的函数关系式为；故答案：；
（2）解：设购进商品吨，总利润为万元，则有
，当时，，（吨），
故购进商品吨，购进商品吨，最大利润万元；
（3）解：由题意得，解得：，，
当时，解得：，，
销售总利润不低于53万元，，
，，，；故答案：．
24．（2024·广东阳江·一模）综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分．(1)在图1中，若为的直径，求证：与相切；(2)在图1中，若为的直径，，求的度数；(3)在图2中，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【分析】（1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切；
（2）先判断出，得出，进而求出，即可求出答案；
（3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，得出，进而判断出是等边三角形，得出，进而判断出，得出，即可求出结论．
【详解】（1）证明：如图，连接∵，∴．∴．
∵平分，∴．∴．
∵，∴．∴，即．∴．
∵为的半径，∴与相切．
（2）解：∵为的直径，∴．
∵，∴．∴．由（1）知，
∵，∴．∴．∴．
∵，∴．∵，∴．
（3）证明：如图，连接，在上截取，连接，
∵，∴．∴．
∵平分，∴．
∴．∴是等边三角形．∴．
∵，，∴是等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．∴．∴．
【点睛】本题主要考查圆的切线判定、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键．
25．（2023上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）问题背景：如图，在和中，若，，易知，与的夹角为：
问题提出：（）如图，若，，则与的数量关系为____ ，它们的夹角为_______．
尝试运用：（）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合）；与相交于点，连接，若，，求的长度：
拓展创新：（）如图，在中，，，，点、点分别为上一点，，，求的值．
【答案】（），；（）；（）
【分析】（）延长相交于点，与相交于点，由题意易证明，得到，，，再根据，即可得到与的夹角为；（）先证明，得到，，再证明，得到，根据得到，利用三角函数即勾股定理即可求出的长度；（）过点作，过点作，过点作，分别证明、、、，利用相似三角形的性质即可求出的值．
【详解】解：()如图，延长相交于点，与相交于点，
∵，∴，又∵，∴，
∴，，∴，∵，∴，
∵，∴，即与的夹角为，故答案为：，；
（）如图，∵，∴，
又∵，∴，∴，，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
设，则，，∵，，
∴，∴，∴，∴，，
∴；
（）如图，过点作，过点作，过点作，
则，
∵，∴，∴，
∵，，，∴，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，同理可证，∴，即，
∴，∴，
∵，，∴，
又∵，∴，∴，
设，∵，，∴，
∴，即，∴，，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，正确作出辅助线构造出相似三角形是解题的关键．
26．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛物线可以写成的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
(1)直接填空：______；(2)当时，图像如图1所示．①试判断的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；(3)现以为直径画圆，交直线于点，连接，当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)①是等腰直角三角形；②；的最大值为
(3)且，
【分析】（1）当，得出；（2）①分别求得的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
②先求得直线的解析式，进而表示出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解；（3）分在点的左侧与右侧两种情况讨论，根据的最小值为，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：当时，∴；则故答案为：．
（2）解：①当时，
当时，解得：∴，∴，
又∵,∴∴∴是等腰直角三角形；
②∵，,设直线的解析式为，将点代入得，
，解得：∴直线的解析式为
∵点P的横坐标为，∴
∵过点作轴交直线于点，设，
∴直线的解析式为，则，∴的横坐标为
∴∴当时，的最大值为
（3）解：∵当时，∴,，
如图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点，∴，
∵，则是等腰直角三角形，∴，则是等腰直角三角形，
∴，∴，,
又∵,即
将作为整体，解得：或∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
当时，
当时，则为的中点，如图所示
∴，即的最小值为,则或∴或；
如图所示，当点在点的右侧时，如图所示，∴
∵，则是等腰直角三角形，∴，则是等腰直角三角形，
∴，∴，,
又∵,即
将作为整体，解得：或∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
综上所述，当时，且，
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，线段周长问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考仿真模拟试题（广西卷）（二）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·云南昆明·一模）如果公元前500年记作年，那么公元2024年应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·广东中山·阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东青岛·二模）如图，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移个单位，得到线段，则点的对应点的坐标（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北荆州·三模）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·一模）下列说法中，正确的是( )
A．为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B．抛掷一个正方体骰子，朝上面的点数为偶数的概率是
C．若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定
D．“打开电视，正在播放广告”是必然事件
6．（2024·陕西西安·二模）如图为某品牌折叠椅子的侧面示意图，，与地面平行，，则（ ）
A．78° B．73° C．69° D．61°
7．（2023·吉林长春·一模）如图，是某大桥主塔的正面示意图，，则桥面宽度（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东聊城·二模）随着初中学业水平考试的临近，某校九年级连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理，绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论正确的是（ ）
A．第4月测试成绩“优秀”的学生人数达到100人
B．第4月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多
C．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数增长最多的是第4月
D．从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
9．（2023·广西柳州·二模）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一． 如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形． 如果桥顶到水面的距离米， 桥拱的半径米， 此时水面的宽（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·四川达州·二模）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车．已知张叔叔家距上班地点，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少．他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶，则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·安徽阜阳·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·广西南宁·三模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题2分，满分12分，将答案填在答题纸上）
13．（2024·山西大同·一模）计算：的结果为 ．
14．（23-24九年级上·四川成都·期末）关于的方程的解是，则 ．
15．（23-24九年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ．（写出满足条件的一个答案即可）
16．（2023·北京西城·模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
17．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知，，与的面积和为10，则的长为 ．
18．（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在等腰直角三角形中，E为上靠近点A的三等分点．圆C半径为2，D为圆C上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段．连接，则的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共8小题，其中19-20每题6分，21-26每题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2024·山西临汾·一模）计算：；
20．（23-24九年级·山东德州·阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
21．（2023·山东泰安·三模）如图，菱形中，是对角线上的点，点在上，且．
(1)求证：；(2)写出与之间的数量关系，再说明理由．
22．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）新学期开始，学校食堂新上了两道菜取名为“节节高升”和“鸿运当头”，学生事务处从学生对两道菜的喜爱度评分中各随机抽取20个同学的评分，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢），下面给出了部分信息：抽取的对“节节高升”的评分数据：
66，68，75，76，77，78，81，85，86，86，86，89，89，90，91，93，94，95，96，99；
抽取的对“鸿运当头”评分数据中“喜欢”包含的所有数据：80，85，87，87，87，88．
抽取的对两道菜的评分统计表
菜名 平均数 中位数 众数 “非常喜欢”所占百分比
节节高升 85 86 b 35%
鸿运当头 85 a 87 45%
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为哪一道菜肴更加受学生欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若共有600名学生对“节节高升”这道菜进行打分，估计其中对“节节高升”这道菜“比较喜欢”的人数．
23．（2024·湖北武汉·一模）根据市场调查，某公司计划投资销售A，B两种商品．
信息一：销售A商品x（吨）所获利润（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x（吨） 1 2 3 4 …
（万元） 6 12 18 24 …
信息二：销售B商品x（吨）所获利润（万元）之间存在二次函数关系：，且销售2吨时获利润20万元，销售4吨时，可获利润32万元．(1)直接写出与x之间的关系式为______；并求出与x的函数关系式；(2)如果企业同时对A，B两种产品共购进并销售10吨，每吨产品购进成本为4万元，请设计能获得最大利润的采购方案，并求出最大利润；(3)假设购买A商品的成本为3万元/吨，购买B商品的成本为5万元/吨，某公司准备投资44万元购进A，B两种商品并销售完毕，要求A商品的数量不超过B商品数量的2倍，且销售总利润不低于53万元，直接写出B商品的销售数量x的取值范围是______．
24．（2024·广东阳江·一模）综合探究：如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分．(1)在图1中，若为的直径，求证：与相切；(2)在图1中，若为的直径，，求的度数；(3)在图2中，若，求证：．
25．（2023上·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考期中）问题背景：如图，在和中，若，，易知，与的夹角为：
问题提出：（）如图，若，，则与的数量关系为____ ，它们的夹角为_______．
尝试运用：（）如图，若，，点为线段上一点（不与点重合）；与相交于点，连接，若，，求的长度：
拓展创新：（）如图，在中，，，，点、点分别为上一点，，，求的值．
26．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛物线可以写成的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
(1)直接填空：______；(2)当时，图像如图1所示．①试判断的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；(3)现以为直径画圆，交直线于点，连接，当时，请直接写出的取值范围．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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