2024年中考仿真模拟试题（天津卷）（二）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·山西朔州·一模）中国海油2月25日发布公告，我国渤海深层油气勘探取得新的重大发现.渤中26-6油田的新钻探井测试产能创新高，新增油气探明储量超过万立方米.数据万立方米用科学记数法表示为（ ）
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是把万表示为的形式，其中，即可
【详解】∵万故选：C．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查有理数的混合运算，把运算符号分别代入逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】、由，、由，
、由，、，
∵，故选：．
3．（2024·陕西西安·二模）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩（lǐn）等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】解：榫的左视图为：．故选：D．
4．（2023·重庆渝北·一模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：，，
∵，∴，∴，
即的值在和之间 故选：．
5.（2023·广东潮州·统考三模）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键；
根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解；
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．
6．（2024·山东济南·一模）已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C．3 D．9
【答案】A
【分析】依据题意，直接利用异分母分式的加减运算法则转化为同分母分式提取分子公因式，化简分式，代入已知，即可求解.
【详解】∵∴原式，故选A
【点睛】本题主要考查异分母分式的运算，掌握分式加法和乘法法则是关键.
7．（2024·安徽芜湖·一模）如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．
【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点，当时，，
∴，解得，故选：B．
8．（2023·江苏南京·二模）若关于的一元二次方程（m为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
先把方程化为一般式，则根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意得或，然后分别解两不等式，从而得到取值范围．
【详解】解：方程化为一般式为，
根据题意得，解得，解方程得，，
方程在的范围内有实数根，或，
解得，解得，取值范围为．故选：A．
9.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（ ）
A． B． C．（8，6） D．
【答案】A
【分析】由矩形折叠可知，，，可求出，，再根据点A的坐标求出，，根据特殊角三角函数求出，然后求出，最后根据得出答案．
【详解】由矩形折叠可知，，．∴．在中，，
∴．∴由折叠可知，．
∵，∴.根据矩形的性质，可知，
由折叠的性质，得.在中，，
∴，即．
∵，∴，∴．
又∵，∴．
在中，，∴，即，
∴．故点．故选：A．
【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数值等，根据折叠的性质和矩形的性质得出相应线段的长是解题的关键．
10．（2023·重庆开州·一模）若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A．10 B．13 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法与分式方程的解法；分别解出一元一次不等式组的解集和分式方程的解，根据题目要求求出a的取值范围，再求出满足条件的整数a的值之和即可．
【详解】解：解一元一次不等式组，得，
∵一元一次不等式组恰有4个整数解，∴，∴，
解分式方程，去分母，得，得，
∵分式方程的解为非负数，∴且，解得且，
综上，满足条件的整数a有，，，∴，故选：B．
11．（2023·山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定最小时，F在线段上，是一道中等难度的试题．
根据题意先证明，则，根据三角形三边关系得：，即，可知：当F在上时，最小，所以由勾股定理可得的长，可求得的最小值．
【详解】解：如图，连接，，，
∵四边形是正方形，，，，，
在和中，，，
，，即，∴当F在上时，最小，
∵正方形的边长为4，，的最小值是；故答案为：B．
12．（2023·辽宁沈阳·一模）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；由二次函数的图象可得：，，，对称轴，则再结合图象判断各结论．
【详解】解：由图象可得：，，，对称轴，
①，，，，正确；②时，，，错误；
③，，，，正确；
④对称轴为直线，，顶点的纵坐标小于，错误；
⑤抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，正确；
⑥顶点的纵坐标小于，，，，错误．故选：A．
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．（2024·安徽阜阳·一模）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可．
【详解】解：根据题意，该三角形的三边长，，分别为，
∴该三角形的面积
．故答案为：．
14．（2024·山东济南·模拟预测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 个
【答案】
【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数．
【详解】解：由题意：设棋子的总数为个解得故答案为：20．
【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，2的乘方的个位数字4个一循环，
，的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题关键．
16．（2023·河南商丘·二模）已知是的一次函数，且函数图象过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据题意写出一个符合题意的一次函数解析式，即可求解．
【详解】设该一次函数的解析式为不等于0即可．故答案为：（答案不唯一）．
17．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段的长为 ；（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)
(2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；（2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论．
【详解】（1）解：；故答案为：．
（2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，
由图可得：∵，，，∴，∴，，
∵，∴，即，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，∴，
∵是等边三角形，∴，即，∴，即，
∵，，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知正方形，点P，Q分别在、上运动，连接，，，其中交于点E，且，将沿翻折得到．当点落在上时， ，则 ， ．
【答案】 2 /
【分析】证明，得出，根据，求出；证明，得出，证明，得出，证明为等腰直角三角形，过点E作于点N，证明，得出，，求出，作，截取，连接，，证明，得出，，证明，得出，求出，得出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为正方形，∴，，
，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴；∵，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴为等腰直角三角形，
根据折叠可知，，，∴，过点E作于点N，
∴，∴，
∴，∴，∴，，
∵，，∴为等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴，
作，截取，连接，，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，根据勾股定理得：，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
∴，∴．故答案为：2；．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题 （本大题共7小题，其中19-20每题8分，21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2023·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________________；
(2)解不等式②，得________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________________．
【答案】(1)(2)(3)见解析(4)
【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可．
【详解】（1）解：解不等式①，得，故答案为：；
（2）解：解不等式②，得，故答案为：；
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）解：原不等式组的解集为，故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
20．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）某新型充电电池生产厂研发了“天干”、“地支”两种存储电量相同的快速充电电池，为了掌握这两种电池从电量为零到充满电量所需要的时长，从“天干”、“地支”两种型号电池中各随机抽取了10块电池，对它们的充电时长（单位：分钟）进行整理、描述和分析．下面分别给出了抽取的电池的充电时长的部分信息：
“天干”电池的充电时长：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，
抽取的“天干”、“地支”电池的充电时长统计表：
电池型号 平均数 中位数 众数 方差
天干 30 24
地支 30 29 29 50
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：___________，___________；
(2)该厂在3月份共生产了1000块“天干”型号的充电电池，估计该型号电池充电时长超过30分钟的数量；
(3)若电池的充电时长越短，电池性能越优异．根据以上数据，你认为哪个型号的电池的性能更优异，请说明理由．（写出一条即可）
【答案】(1)30；30(2)估计1000块“天干”型号电池中，充电时长超过30分钟的数量为300块
(3)因为“地支”型号电池的中位数为29小于“天干”型号电池的中位数30，所以“地支”型号电池的性能更优异
【分析】（1）由小到大排列“天干”电池的充电时长，中间两个数据的平均值，即为中位数，出现次数最多的数据，即为众数，（2）根据样本中充电时长超过30分钟的数量，预估1000块中充电时长超过30分钟的数量，（3）根据“电池的充电时长越短，电池性能越优异”，比较两组数据中的中位数即可，
本题考查了众数，中位数，用样本的频数估计总体的频数，运用中位数做决策，解题的关键是：熟练相关定义．
【详解】（1）解：“天干”电池的充电时长：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，
中位数，众数，故答案为：30；30
（2）解：∵抽取10块“天干”电池中，充电时长超过30分钟的数量为3块，
∴估计1000块“天干”型号电池中，充电时长超过30分钟的数量为（块），
故答案为：估计1000块“天干”型号电池中，充电时长超过30分钟的数量为300块，
（3）解：∵电池的充电时长越短，电池性能越优异，∴比较两种型号的电池的中位数，，
∴充电时长更短的“地支”型号电池的性能更优异，
故答案为：因为“地支”型号电池的中位数为29小于“天干”型号电池的中位数30，所以“地支”型号电池的性能更优异．
21．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求直径的长．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，等腰三角形的性质得到；由圆周角定理得到．
（1）由切线的性质得到，由，得到，由三角形外角的性质得到，因此，得到，求出，得到．
（2）由圆周角定理推出，由直角三角形的性质求出的长，即可得到的长．
【详解】（1）与相切于点，，，
，，
，，，，．
（2）连接，是直径，，
点是的中点，，，
，，，，
，，，的直径的长为．
22．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，小李为了测量某居民楼的高度，在楼底端点沿斜坡走36米到达点，已知斜坡与地面夹角为，再沿水平方向走6米就到达到达点，然后他沿着坡度的斜坡走了52米到达了点，此时他在点处放置了高度为1.6米的测角仪，在点处测得某楼顶端点的仰角．（参考数据：）
(1)求居民楼的高度约为多少米；(2)如图，在处的小李与在处的小明约好在中点处见面，已知两人的下坡速度都为，平地速度为，居民楼的电梯运行速度是，不考虑电梯的等待时间和中途进出时间，那么谁会先到达？请说明理由．（精确到0.1米）
【答案】(1)居民楼的高度约为41.1米(2)小李先到，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，坡度问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长交于点G，延长交于点H，过点F作，垂足为，则，根据已知可设米，则米，再根据勾股定理、含30度角的直角三角形的性质及锐角三角函数求解即可；
（2）根据题意，分别计算小李用的时间和小明用的时间，然后进行比较即可．
【详解】（1）延长交于点G，延长交于点H，过点F作，垂足为，
∴四边形是矩形，∴，
∵斜坡的坡度，∴，∴设米，则米，
在直角三角形中，，∴，∴米，则米，
∵米，∴米，
在直角三角形中，米，，∴米，∴米，
∵米，∴米，
在直角三角形中，，∴米，
∴米，所以，居民楼的高度约为41.4米；
（2）小李先到，理由如下：小李用时：秒，
小明用时：秒，∵，∴小李先到．
23．（2022·天津红桥·统考三模）甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速驶向B地．乙车在途中由于车辆发生故障，修车停留了1.5h，两车同时到达B地．如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与离开A地的时间x（h）的函数图象．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开A地的时间/h 1 2.5 4
甲车行驶的路程/km 60 240
乙车行驶的路程/km 150
(2)设甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，请直接写出，关于x的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间（直接写出结果即可）．
【答案】(1)150；100，240(2)；(3)或2或3
【分析】（1）根据图象及一次函数的性质即可求解．（2）设，，根据图象分段求出即可．（3）分三种情况：当时；当时；当时，利用行驶相距30km为等量关系可列得方程，解出方程即可求解．
【详解】（1）解：由图象可得，当（h）时，甲车行驶的路程为（km），
当（h）时，乙车行驶的路程为（km），
当（h）时，乙车行驶的路程为240（km），故答案为：150；100；240．
（2）由题意可设，
当时，，则，解得k=60，，设，
当时，，则，解得，，
当时，，当时，，
则，解得，，
、关于x的函数解析式为：，．
（3）由题意得，当时，则，解得，
当时，①，解得，
②，解得，当时，，解得（舍去），
综上所述，当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间为或2或3．
【点睛】本题考查了一次函数与分段函数的实际应用问题—行程问题、一元一次方程的实际问题—行程问题，熟练掌握一次函数的性质及图象和分段函数的概念及图象是解题的关键．
24．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛物线可以写成的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
(1)直接填空：______；(2)当时，图像如图1所示．①试判断的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；(3)现以为直径画圆，交直线于点，连接，当时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)(2)①是等腰直角三角形；②；的最大值为
(3)且，
【分析】（1）当，得出；（2）①分别求得的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
②先求得直线的解析式，进而表示出与之间的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解；（3）分在点的左侧与右侧两种情况讨论，根据的最小值为，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：当时，∴；则故答案为：．
（2）解：①当时，
当时，解得：∴，∴，
又∵,∴∴∴是等腰直角三角形；
②∵，,设直线的解析式为，将点代入得，
，解得：∴直线的解析式为
∵点P的横坐标为，∴
∵过点作轴交直线于点，设，
∴直线的解析式为，则，∴的横坐标为
∴∴当时，的最大值为
（3）解：∵当时，∴,，
如图所示，当在点的左侧时，过点作轴于点，∴，
∵，则是等腰直角三角形，∴，则是等腰直角三角形，
∴，∴，,
又∵,即
将作为整体，解得：或∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
当时，
当时，则为的中点，如图所示
∴，即的最小值为,则或∴或；
如图所示，当点在点的右侧时，如图所示，∴
∵，则是等腰直角三角形，∴，则是等腰直角三角形，
∴，∴，,
又∵,即
将作为整体，解得：或∴（舍去）或；
观察函数图象，当时，越大，开口越小，则
综上所述，当时，且，
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，线段周长问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2023·北京·中考模拟）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．
(1)求证：△PQM≌△CHD；(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】(1)见详解(2)①；②；③
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明；
（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；
②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；
③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系．
【详解】（1）∵，∴
则在四边形中 故四边形为矩形
， 在中， ∴，
∵∴；
（2）①过点Q作于S 由（1）得：
在中， ∴ 平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过的面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：
旋转阶段：由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T 设，则
在中：
设，则，，
，， ∵DM为直径∴
在中 ：
在中：在中：
∴， PQ转过的角度： s
总时间：
③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：
∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C， 又∵∠DEF=∠CED，∴，
∴，即，∴，
∵在中，，
∴，∴
当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，
同理：可得 综上所述：．
【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出是难点，第（2）问第③小题用到相似三角形的判定和性质．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年中考仿真模拟试题（天津卷）（二）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共36分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．（2024·山西朔州·一模）中国海油2月25日发布公告，我国渤海深层油气勘探取得新的重大发现.渤中26-6油田的新钻探井测试产能创新高，新增油气探明储量超过万立方米.数据万立方米用科学记数法表示为（ ）
A．立方米 B．立方米 C．立方米 D．立方米
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）在算式中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·二模）中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架结构为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩（lǐn）等主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆渝北·一模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
5.（2023·广东潮州·统考三模）我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东济南·一模）已知，则的值为（ ）
A．6 B．－6 C．3 D．9
7．（2024·安徽芜湖·一模）如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏南京·二模）若关于的一元二次方程（m为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.（2023·河南信阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点落在上，折痕是，连接，，已知点，则点C的坐标是（ ）
A． B． C．（8，6） D．
10．（2023·重庆开州·一模）若关于的一元一次不等式组恰有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则所有满足条件的整数的值之和是( )
A．10 B．13 C．15 D．18
11．（2023·山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·辽宁沈阳·一模）二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④其顶点坐标为；⑤当时，y随x的增大而减小；⑥中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第Ⅱ卷（共84分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）
13．（2024·安徽阜阳·一模）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a， b， c， 则 这 个 三 角 形 的 面 积．若一个三角形的三边长，，分别为，则这个三角形的面积为
14．（2024·山东济南·模拟预测）围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 个
15．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”己经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
16．（2023·河南商丘·二模）已知是的一次函数，且函数图象过，请写出一个符合条件的函数解析式 ．
17．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．（1）线段的长为 ；（2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
18．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知正方形，点P，Q分别在、上运动，连接，，，其中交于点E，且，将沿翻折得到．当点落在上时， ，则 ， ．
三、解答题 （本大题共7小题，其中19-20每题8分，21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（2023·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得________________；
(2)解不等式②，得________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为________________．
20．（23-24九年级下·重庆合川·阶段练习）某新型充电电池生产厂研发了“天干”、“地支”两种存储电量相同的快速充电电池，为了掌握这两种电池从电量为零到充满电量所需要的时长，从“天干”、“地支”两种型号电池中各随机抽取了10块电池，对它们的充电时长（单位：分钟）进行整理、描述和分析．下面分别给出了抽取的电池的充电时长的部分信息：
“天干”电池的充电时长：28，28，29，29，30，30，30，31，32，33，
抽取的“天干”、“地支”电池的充电时长统计表：
电池型号 平均数 中位数 众数 方差
天干 30 24
地支 30 29 29 50
根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：___________，___________；
(2)该厂在3月份共生产了1000块“天干”型号的充电电池，估计该型号电池充电时长超过30分钟的数量；
(3)若电池的充电时长越短，电池性能越优异．根据以上数据，你认为哪个型号的电池的性能更优异，请说明理由．（写出一条即可）
21．（2024·山东济宁·模拟预测）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求直径的长．
22．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，小李为了测量某居民楼的高度，在楼底端点沿斜坡走36米到达点，已知斜坡与地面夹角为，再沿水平方向走6米就到达到达点，然后他沿着坡度的斜坡走了52米到达了点，此时他在点处放置了高度为1.6米的测角仪，在点处测得某楼顶端点的仰角．（参考数据：）
(1)求居民楼的高度约为多少米；(2)如图，在处的小李与在处的小明约好在中点处见面，已知两人的下坡速度都为，平地速度为，居民楼的电梯运行速度是，不考虑电梯的等待时间和中途进出时间，那么谁会先到达？请说明理由．（精确到0.1米）
23．（2022·天津红桥·统考三模）甲、乙两车同时从A地出发，沿相同的路线匀速驶向B地．乙车在途中由于车辆发生故障，修车停留了1.5h，两车同时到达B地．如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与离开A地的时间x（h）的函数图象．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开A地的时间/h 1 2.5 4
甲车行驶的路程/km 60 240
乙车行驶的路程/km 150
(2)设甲车行驶的路程为，乙车行驶的路程为，请直接写出，关于x的函数解析式；
(3)当甲、乙两车相距30km的路程时，求离开A地的时间（直接写出结果即可）．
24．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）抛物线可以写成的形式，且函数图像轴交于，两点（，不重合），与轴交于点．
(1)直接填空：______；(2)当时，图像如图1所示．①试判断的形状并说明理由；
②抛物线上有一动点，且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，设，求与之间的函数关系式，并求的最大值；(3)现以为直径画圆，交直线于点，连接，当时，请直接写出的取值范围．
25．（2023·北京·中考模拟）如图，四边形ABCD中， ，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．
(1)求证：△PQM≌△CHD；(2)△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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