压轴题9 电磁感应
1.本专题是电磁感应的典型题型，包括应用电磁感应的知识解决实际问题。高考中经常在选择题中命题，更是在在计算题中频繁出现。2024年高考对于电磁感应的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:楞次定律,法拉第电磁感应定律的知识等。近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考查电磁感应中的电路问题，电磁感应中的图像问题，电磁感应中的单、双杆问题，导线框进出磁场问题等。
考向一：电磁感应中的电路问题
1.闭合电路与电磁感应的关系
2.分析电磁感应中电路问题的思路
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路。
(2)画等效电路图，分清内、外电路。
(3)用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blvsin θ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向，注意在等效电源内部，电流从负极流向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的特点、电功率等求解。
3.感应电荷量的求法
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一横截面的电荷量(感应电荷量)q＝IΔt＝·Δt＝n··Δt＝。
(1)由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一横截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。
(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值。
考向二：电磁感应中的图像问题
1.解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，是B－t图像、Φ－t图像，还是E－t图像、I－t图像等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
2.解决图像问题的“三点关注”
(1)关注初始时刻，如：初始时刻感应电流是否为零，若不为零，是正方向还是负方向。
(2)关注变化过程，看电磁感应发生的过程分为几个阶段，这几个阶段是否与图像变化相对应。
(3)关注大小、方向的变化趋势，看图线斜率的大小、正负以及图线与横轴的位置关系是否与物理过程相对应。
考向三：电磁感应中的平衡和动力学问题
1.电磁感应中的动力学分析
2.处理问题的基本思路
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)求出感应电动势的大小和方向。
(2)依据闭合电路欧姆定律，求出电路中的电流。
(3)分析导体的受力情况(包含安培力，可用左手定则确定安培力的方向)。
(4)依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，或运动学方程，或能量守恒方程，然后求解。
3.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析。
4.电磁感应中的动力学临界问题
基本思路：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力→合外力变化加速度变化→临界状态。
考向四：电磁感应中的能量问题
1.电磁感应现象中的能量转化
2.处理电磁感应中能量问题的常用方法
(1)利用克服安培力做功求解：能量的转化是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。
(2)利用能量守恒定律求解：一般是机械能与电能的转化，即机械能的减少量等于电能的增加量。
(3)利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。
3.常见的功能关系
做功情况 能量变化特点
滑动摩擦力做功 有内能产生
重力做功 重力势能必然发生变化
克服安培力做功 必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能
安培力做正功 电能转化为其他形式的能
4.焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。
(2)感应电流变化时，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安。
②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。
考向五：电磁感应中的动量问题
1.动量定理的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀速直线运动时，安培力的冲量为I安＝LBt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
2.动量守恒定律的应用
守恒条件分析：在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。
3.解题三大观点
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒所受的安培力大小相等方向相反，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
01 电磁感应中的电路问题
1.如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω的电阻相连。在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向。
(1)求通过电阻R的电流方向；
(2)求理想电压表的示数；
(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试求在施加新磁场过程中通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)A→R→B (2)4.71 V (3)1.57 C
【解析】 (1)线圈内磁感应强度方向向里且增大，根据楞次定律可知通过电阻R的电流方向为A→R→B。
(2)根据法拉第电磁感应定律得
E＝nS＝n·π＝2π V
感应电流大小为I＝＝ A＝ A
故电压表的示数为U＝IR＝4.71 V。
(3)根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为＝n
平均感应电流为＝
则通过电阻R的电荷量为
q＝Δt＝n
ΔΦ＝B′π
代入数据解得q＝1.57 C。
02 电磁感应中的图像问题
2．两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.2 T，方向与纸面垂直，边长L＝0.1 m、总电阻R＝0.05 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边距磁场边界距离为L，如图所示，已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝1 s时刻进入磁场，以初始位置为计时起点，规定：电流沿顺时针方向时的电动势E为正，磁感线垂直纸面向外时磁通量Φ为正。则以下关于线框中的感应电动势E、磁通量Φ、感应电流I和安培力F随时间变化的图像中正确的是( )
【答案】B
【解析】2 s时线框全部进入磁场，磁通量最大为Φ＝BS＝0.2×0.12 Wb＝2×10－3 Wb，A错误；0～1 s内无感应电动势，导线框匀速运动的速度为v＝＝ m/s＝0.1 m/s，cd边及ab边切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv＝0.2×0.1×0.1 V＝2×10－3 V，根据楞次定律可知，1～2 s电流方向为顺时针方向，2～3 s内的电流方向为逆时针方向，B正确；1～2 s内电流为I＝＝4×10－2 A，C错误；1～2 s内导线框受到的安培力为F＝ILB＝＝8×10－4 N，D错误。
03 电磁感应中的平衡和动力学问题
3.如图所示，两条平行的光滑金属轨道MN、PQ与水平面成θ角固定，轨道间距为d。P、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效阻值为R。空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上。现由静止释放ab，若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)ab运动的最大速度vm；
(2)当ab具有最大速度时，ab消耗的电功率P；
(3)为使ab向下做匀加速直线运动，在ab中点施加一个平行于轨道且垂直于ab的力F，推导F随时间t变化的关系式，并分析F的变化与加速度a的关系。
【答案】(1) (2)R (3)F＝t＋ma－mgsinθ 见解析
【解析】(1)ab具有最大速度时处于平衡状态，受力分析如图甲所示。
甲
由平衡条件得
mgsinθ＝FA
又FA＝IdB
由闭合电路欧姆定律可得
I＝＝
联立解得vm＝。
(2)由P＝I2R，I＝
解得P＝R。
(3)ab做匀加速直线运动时，设F沿轨道向下，受力分析如图乙所示。
乙
由牛顿第二定律得
F＋mgsin θ－FA＝ma
又FA＝IdB
I＝＝
v＝at
联立可得F＝t＋ma－mgsinθ
可见F的大小随时间t呈线性变化。
a.当a
c.当a>gsinθ时，F的方向沿轨道向下，大小从ma－mgsinθ开始增大。
04 电磁感应中的能量问题
4.如图所示，CD、EF是两条水平放置、阻值可忽略且间距为L的足够长平行金属导轨，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲轨道上端接有一阻值为R的电阻，水平导轨所在空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将一阻值也为R、质量为m的导体棒从弯曲轨道上高为h处由静止释放，导体棒在水平导轨上运动距离d停止。已知导体棒与水平导轨接触良好，它们之间动摩擦因数为μ。求导体棒从释放到最终停止过程中：
(1)通过电阻R的最大电流；
(2)流过电阻R的电荷量；
(3)电阻R中产生的焦耳热。
【答案】(1) (2) (3)mg(h－μd)
【解析】(1)由机械能守恒定律得
mgh＝mv2
金属棒到达水平面时的速度v＝
金属棒刚到水平面的速度为切割磁感线最大速度，因此最大感应电动势为E＝BLv
最大的感应电流为I＝＝。
(2)通过电阻R的电荷量
q＝It＝＝。
(3)全过程由能量守恒定律得
mgh＝μmgd＋Q
电阻R中产生的焦耳热
QR＝Q＝mg(h－μd)。
05 电磁感应中的动量问题
5.如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是( )
A.ab杆将做匀减速运动直到静止
B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为
【答案】B
【解析】ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，安培力大小为FA＝，加速度大小为a＝＝，由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的变减速运动直到静止，故A错误；当ab杆的速度为时，加速度大小为a＝，故B正确；对ab杆，由动量定理得－LBΔt＝m－mv0，即BLq＝mv0，解得q＝，即通过定值电阻的电荷量为，故C错误；由q＝＝，解得ab杆通过的位移x＝＝，故D错误。
一、单选题
1．（23-24高三下·四川成都·开学考试）如图甲所示，一个矩形线圈悬挂在竖直平面内，悬点 P为AB 边中点。矩形线圈水平边AB=CD，竖直边 AC=BD，在EF下方有一个范围足够大、方向垂直纸面（竖直平面）的匀强磁场。取垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，电流顺时针方向为正方向，安培力向上为正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。下列关于线圈内的感应电流i、线圈受到的安培力F 随时间t变化的图像正确的是
B．
C． D．
【答案】C
【详解】在一个周期内，B先线性增大，再线性减小，且增大时的变化率比减小时的变化率大，所以线圈内的磁通量先垂直纸面向外线性增大，再垂直纸面向外线性减小，前者的变化率大于后者的变化率，根据楞次定律可知，感应电流先沿顺时针（正方向），再沿逆时针（负方向），且根据法拉第电磁感应定律可知，顺时针的电流大于逆时针的电流，故 AB错误；
根据左手定则可知，当电流沿顺时针方向时，F 方向向上，且线性增大；当电流沿逆时针方向时，F方向向下，且线性减小，根据F=BIL,可知，F 线性增大时的变化率大于线性减小时的变化率，故C正确，D错误。
故选C。
二、多选题
2．（2024·山东聊城·二模）如图所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为R的电阻，与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小随时间t的变化关系为，式中k为大于0的常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。零时刻，金属棒在水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在时刻恰好以速度越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．在0~t0时间内，流过电阻的电荷量为
B．在时刻以后，电阻R上的电流方向向上
C．在时刻穿过回路的总磁通量为
D．在时刻金属棒所受水平恒力的大小为
【答案】AD
【详解】0~t0时间内闭合回路中产生感生电动势为,回路中电流为,流过电阻的电荷量为,故A正确；在t0时刻以后，根据楞次定律可知，金属杆上的电流方向向上，而电阻R上的电流方向向下，故B错误；在时刻穿过回路的总磁通量为故C错误；回路中同时产生感生电动势和动生电动势，根据电流方向可知回路中总电动势,回路中电流为,则导体棒所受安培力大小为,故D正确。
故选AD。
3．（2024·安徽黄山·二模）某工厂为了检验正方形线圈的合格率，将线圈放在传送带上，传送带所在空间中加上竖直向下的匀强磁场，磁场边界与平行且与线圈速度方向成，磁感应强度为B。如图所示，线圈与传送带一起以恒定速度v向右运动，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ。线圈进入磁场过程中线圈恰好不打滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知线圈质量为m，匝数为N，边长为L，总电阻为R，且磁场宽度大于L。下列说法正确的是（ ）
A．线圈进入磁场过程中，电流方向为
B．在线圈进入磁场的过程中，线圈对传送带的摩擦力始终沿所在直线方向，且最大值为
C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为
D．在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为的线圈进入磁场过程也恰好不打滑
【答案】ABD
【详解】线圈进入磁场的过程，磁通量增加，根据楞次定律，可判断出，感应电流的方向为，故A正确；在线圈进入磁场的过程中，受到沿方向的安培力作用，由于线圈匀速运动，所以线圈受到的摩擦力方向为方向，由牛顿第三定律知，线圈对传送带的摩擦力始终沿方向，最大值为,又有，,解，
故B正确；线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为，，，
解得，故C错误；线圈质量不变，材料不变，边长不变，匝数变成2倍，则导线长度变为原来的2倍，横截面积变为原来的，根据，可知，电阻变为原来的4倍，又因为安培力的最大值为，可知，匝数变成2倍，电阻变为原来的4倍，线框受到的安培力的最大值不变，而最大静摩擦力为，不变，所以在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为的线圈进入磁场过程也恰好不打滑，故D正确。
故选ABD。
4．（2024·河北承德·二模）两根足够长的平行金属导轨固定在倾斜角为的斜面上，导轨电阻不计，间距为，在导轨ef和gh之间有宽度为d、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场Ⅰ，gh线上方有垂直于轨道平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅱ。两根质量均为0.1kg、电阻均为的导体棒间隔为d，如图垂直导轨放置，导体棒a与gh间距为d。现同时将两根导体棒由静止释放，发现当α棒刚进入磁场Ⅰ时，两根导体棒立即开始匀速运动，b棒刚要出磁场Ⅰ时沿斜面向下的加速度为。不计一切摩擦，两棒在下滑过程中，与导轨始终接触良好，已知，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．题中
B．磁场Ⅰ的磁感应强度
C．b棒离开磁场Ⅰ时，a棒与ef的距离为
D．从静止释放到b棒离开磁场Ⅰ的过程中，b棒产生的焦耳热为0.2J
【答案】BC
【详解】当a棒刚进入磁场I时，b棒在磁场Ⅱ中，两根金属棒均做匀速运动，受力相同，电流大小相同，速度相同，所以两个磁场的大小相同，磁场I的磁感应强度为，故B正确；设a棒刚进入磁场Ⅰ时的速度为v0，根据动能定理可得，a棒匀速运动时电动势为，，解得，，
故A错误；金属棒b在磁场Ⅱ中做匀速运动时产生的热量为，，解得
设b棒刚要出磁场I时沿斜面向下的速度为v，由牛顿第二定律得
，解得，b棒在磁场I中做变加速直线运动产生的热量为Q2，由动能定理得解得，从静止释放到b棒离开磁场I的过程中，b棒产生的焦耳热为故D错误；设b穿过磁场I的时间为t2，根据动量定理得，解得b棒离开磁场I时，a棒做匀加速直线运动，则，，解得，故C正确。
故选BC。
5．（2024·辽宁朝阳·二模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨与水平面成角放置，导轨电阻不计，其顶端接有一电阻，底端静止一金属棒。整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，为了使金属棒沿导轨上滑，磁感应强度开始随时间均匀变化，当金属棒运动到a处时磁感应强度开始保持不变。金属棒运动刚到a处时的速度大小为，继续滑行一段距离到达最高点b后，再返回到a处时的速度大小为。重力加速度为g，则（ ）
A．金属棒从导轨底端上滑到a的过程中，磁感应强度随时间在均匀增大
B．金属棒上滑经过ab段的加速度小于下滑经过ab段的加速度
C．金属棒上滑经过ab段和下滑经过ab段过程中，通过R的电荷量之比为1∶1
D．金属棒从a处上滑到b到再返回到a处的总时间等于
【答案】ACD
【详解】根据楞次定律的推论“增缩减扩”可判断，开始时回路中磁通量在增大，磁感应强度随时间在均匀增大，故A正确；金属棒在ab段滑动过程中，上滑时金属棒受到沿斜面向下的安培力，下滑时金属棒受到沿斜面向上的安培力，
显然，故B错误；在段上滑和下滑过程中的磁通量变化量大小相同，根据可知流经的电荷量相同，故C正确；上滑时安培力的冲量为，
同理可知下滑时安培力的冲量与之大小相等，方向相反，全程根据动量定理
，得，故D正确。
故选ACD。
6．（2024·河南濮阳·一模）如图1所示，间距为L的两足够长平行光滑导轨处于竖直固定状态，导轨处在垂直导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。质量为m、接入电路电阻也为R的金属杆垂直接触导轨，让金属杆由静止开始下落，同时给金属杆施加竖直方向的拉力，使金属杆运动的速度v与运动位移x的关系如图2所示，当金属杆运动距离时撤去外力，金属杆恰能匀速运动。已知重力加速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好，则金属杆运动距离的过程中（ ）
A．金属杆做初速度为零的匀加速直线运动
B．金属杆克服安培力做的功为
C．金属杆受到的安培力的冲量大小为
D．通过定值电阻的电量为
【答案】BCD
【详解】若金属杆做匀加速直线运动，应满足，由题图2变化图像可知加速度不恒定，故A错误；设金属杆的速度为v，最大速度为，根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可知，则安培力做功为，结合图像可知金属杆运动距离的过程中安培力做功为撤去外力后，金属杆匀速运动，则
，解得，故B正确；根据电流的定义式可知
安培力的冲量为故CD正确。
故选BCD。
7．（23-24高三下·重庆·开学考）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，存在两个磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，磁场方向与斜面垂直，两磁场的宽度MJ和JG均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场时，线框恰好以速度做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v做匀速直线运动，则（ ）
A．当ab边刚越过GH进入磁场时，cd边电势差
B．当ab边刚越过JP时，线框加速度的大小为
C．从ab边刚越过JP到线框再做匀速直线运动所需的时间
D．从ab边刚越过GH到ab边刚越过MN过程中，线框产生的热量为
【答案】BC
【详解】由题意当边刚越过进入磁场时，切割磁感线产生的电动势大小为，电流为顺时针方向，所以边电势差，故A错误；当边刚越过进入磁场时，恰好做匀速直线运动，根据平衡条件得，又，
联立得，当边刚越过时，边和边都要切割磁感线，产生感应电动势，线框中总的感应电动势为，感应电流为，线框受到的安培力的合力大小为，根据牛顿第二定律得，联立解得
负号表示加速度方向沿斜面向上，故B正确；从边刚越过到线框再做匀速直线运动，根据动量定理得，其中，又因为
，解得，，故C正确；
D．从边刚越过到边刚越过过程中，线框的重力势能和动能均减小，根据功能关系得知，线框克服安培力做功的大小等于重力势能的减少量与动能减小量之和。线框又恰好匀速时，则线框产生的热量为，
故D错误。
故选BC。
8．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两条相距L的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．金属滑块开始运动瞬间加速度最大
B．金属滑块在轨道上运动的最大速度为
C．金属块滑离时电容器两极板的电荷量为
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为
【答案】ABC
【详解】开关K置于b的瞬间，流过金属滑块的电流最大，此时对应的安培力最大，根据牛顿第二定律可知此时加速度最大，故A正确；金属滑块运动后，切割磁感线产生电动势，当电容器电压与滑块切割磁感线产生电动势相等时，滑块速度不再变化，做匀速直线运动，此时速度达到最大，设金属滑块加速运动到最大速度时两端电压为U，电容器放电过程中的电荷量变化为，放电时间为，流过金属滑块的平均电流为，在金属块滑动过程中，由动量定理得，由电流的定义，由电容的定义，电容器放电过程的电荷量变化为，，所以，金属滑块速度最大时，根据法拉第电磁感应定律可得，联立解得，，故BC正确；金属滑块滑离轨道的整个过程中，电容器消耗的电能一部分转化为金属滑块的动能
另一部分转化为了金属滑块的内能（焦耳热），故D错误。
故选ABC。
9．（23-24高三下·山东济宁·阶段练习）如图所示，两根金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，两金属棒始终和导轨接触良好，左、右两部分导轨间距分别为L和2L，AB棒的质量为m且电阻为R，CD棒的质量为2m且电阻为2R，导轨间左、右两部分处在大小相等、方向相反的匀强磁场中，磁场方向如图所示。不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，使CD棒向右运动，导轨足够长，磁场区域足够大。下列说法正确的是（ ）
A．稳定后，AB棒向左匀速运动，CD棒向右匀速运动
B．稳定后，CD棒的加速度大小是
C．若F作用一段时间后，AB棒和CD棒速度大小均为，此时立即撤去拉力F，此后AB棒最终的速度大小为，方向向左
D．当AB棒和CD棒速度大小均为时，立刻撤去拉力F，之后的过程整个回路产生的焦耳热为
【答案】BC
【详解】两棒的长度之比为，电阻之比为，电阻为R，对CD棒，根据牛顿第二定律AB棒，根据牛顿第二定律，，由此可知，稳定后，回路中电流恒定，磁通量变化量相同，故AB棒速度为CD棒速度的两倍，AB棒向左匀加速运动，CD棒向右匀加速运动，则AB棒的加速度大小是CD棒的加速度大小的2倍，即，可得CD棒的加速度大小为，故A错误，B正确；如果F作用一段时间后，AB棒和CD棒的速度大小均为，此时立即撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，则，对CD棒和AB棒分别用动量定理得
，联立可得CD棒最终的速度，方向向右，AB棒最终的速度，方向向左，故C正确；根据能量守恒定律可得，解得该过程中回路产生的焦耳热为，故D错误。
故选BC。
10．（2024·山东枣庄·一模）如图所示，足够长的平行金属导轨固定在水平面内，间距，电阻不计。与导轨左端连接的线圈面积，内阻，匝数匝。一根长，质量、电阻的导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨间的动摩擦因数。线圈内的磁场平行于轴线向上，磁感应强度的大小随时间变化的关系为；导轨之间的匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度的大小。时刻闭合开关，当时导体棒已达到最大速度，重力加速度。则（ ）
A．刚合上开关时导体棒的加速度为
B．导体棒运动速度的最大值为4m/s
C．内导体棒的位移大小为16m
D．内整个电路产生的焦耳热为20.8J
【答案】BD
【详解】根据法拉第电磁感应定律可知，左侧线圈产生的感应电动势为
刚合上开关时，电路中电流为
对导体棒有
解得故A错误；
导体棒运动速度最大时，导体棒所受合力为零，即有
解得
设最大速度为，则有
解得故B正确；
根据题意，对导体棒由动量定理有
则有
即
解得，故C错误；
对导体棒，由动量定理有
即
解得
由能量守恒定律有
解得故D正确。
故选BD。
11．（2024·陕西宝鸡·二模）如图所示，两平行金属导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为L，处在竖直向上、磁感应强度为2B的匀强磁场中，宽轨部分间距为2L，处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现将两根质量均为m的导体棒a、b分别静置在弧形导轨和水平宽轨上，导体棒a从距水平导轨h处静止释放。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。两导体棒接入电路的电阻均为R，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，a棒始终在窄轨磁场中运动，b棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．a棒刚进入磁场时，b棒的加速度水平向左
B．从a棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，b棒上产生的焦耳热为
C．从a棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，通过b棒的电量为
D．从a棒进入磁场到两棒达到稳定的过程中，a、b棒与导轨所围线框的磁通量变化了
【答案】ACD
【详解】根据右手定则可知，a棒刚进入磁场时感应电流为逆时针方向，则对b棒由左手定则可知其所受安培力水平向左，则加速度水平向左，故A正确；
对a棒由机械能守恒有
金属棒a进入磁场后切割磁感线产生感应电动势，回路中产生产生感应电流，金属棒b受安培力而运动切割磁感线，产生“反电动势”，当两棒达到稳定时即各自产生的感应电动势大小相等，设此时其速度分别为、，则有
解得
对杆a、b分别应用动量定理有，
联立以上各式解得
由能量守恒有
解得
则b棒上产生的焦耳热为
通过b棒的电量为
故B错误，C正确；
根据
可得两棒稳定的过程中磁通量的变化量
故D正确。
故选ACD。
12．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，两根型平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为l和，处于竖直向下的磁场中，磁感应强度大小分别为和B。已知导体棒ab的电阻为R、长度为l，导体棒cd的电阻为、长度为，cd的质量是ab的3倍。两棒中点之间连接一原长为L轻质绝缘弹簧。现将弹簧拉伸至后，同时由静止释放两导体棒，两棒在各自磁场中往复运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，回路中始终产生顺时针方向的电流
B．整个运动过程中，ab与cd的路程之比为3∶1
C．cd棒克服安培力做的功等于cd棒产生的热量
D．整个运动过程中，通过cd的电荷量为
【答案】BD
【详解】根据题意可，由静止释放，向右运动，向左运动，即弹簧收缩，由右手定则可知，回路中产生顺时针电流，设某时刻电流大小为，可知，所受安培力大小为
方向向左，所受安培力大小为
方向向右，可知，两棒系统受合外力为零，动量守恒，则当弹簧伸展过程中，一定有向左运动，向右运动，根据右手定则可知，回路中产生逆时针方向的电流，故A错误；
由A分析可知，两棒系统受合外力为零，动量守恒，由于开始运动时，系统动量为零，则任意时刻两棒的动量大小相等，方向相反，则有
设运动时间为，则有
即
则ab与cd的路程之比为，故B正确；
由上述分析可知，整个运动过程中，两棒所受安培力一直保持大小相等，且ab与cd的路程之比为，则ab与cd克服安培力做的功之比为，由公式可知，由于ab与cd的电阻之比为，则ab与cd产生的热之比为，可知，cd棒克服安培力做的功不等于cd棒产生的热量，故C错误；
由公式、和可得，整个运动过程中，通过cd的电荷量为
当两棒在各自磁场中往复运动直至停止，弹簧恢复原长，两棒间距离减小，则向右运动的距离为
向左运动的距离为
则有
故D正确。
故选BD。
13．（2024·四川成都·二模）两相距为的长平行导轨EMP、FNQ按图示方式固定，MP、NQ水平，EM、FN与水平面夹角为，EFNM及MNQP区域内存在磁感应强度大小均为，方向垂直轨道平面向上的匀强磁场。金属杆ab以速度进入EFNM区域的同时，静止释放位于MNQP区域内的金属杆cd。整个过程ab，cd与两轨道始终垂直并保持良好接触，ab未到达MN，cd未离开PQ。两金属杆质量均为，电阻均为，重力加速度大小为，忽略导轨电阻及一切摩擦阻力。则（ ）
A．ab刚进入EFNM区域时，cd中电流方向由d到c
B．ab进入EFNM区域后，cd做加速度增大的加速运动，最终加速度保持恒定
C．ab中电流不变后的时间内，cd动量变化量的大小为
D．cd中电流不变后的时间内，cd上产生的焦耳热为
【答案】BD
【详解】根据题意，由右手定则可知，ab刚进入EFNM区域时，cd中电流方向c由d，故A错误； ab刚进入EFNM区域时，感应电动势为
感应电流为
安培力为
可知，ab的加速度，cd的加速度为，ab进入EFNM区域后继续加速，同时cd开始加速运动，且速度差越来越大，则感应电流越来越大，ab的加速度减小，cd的加速度增大，当ab的加速度和cd的加速度相等时，速度差保持不变，感应电流不变，两棒的加速度不变，之后均做匀加速运动，故B正确；
当ab的加速度和cd的加速度相等时，有
解得
由动量定理可知，ab中电流不变后的时间内，cd动量变化量的大小为
，故C错误；
cd中电流不变后，由可得，电流大小为
cd中电流不变后的时间内，cd上产生的焦耳热为
，故D正确。
故选BD。
三、解答题
14．（2024·四川成都·一模）如图所示，间距为L=0.4 m平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B1=0.5 T的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=m 的圆弧轨道与倾角为θ=37°的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平轨道右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B2=1.0 T。质量为m1=0.2 kg的金属棒ef光滑；质量为m2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分的动摩擦因数为μ=0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 Ω；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R0=0.3 Ω；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v0=2 m/s的初速度向右运动，当两棒的距离增加x=0.5m时，ef棒恰好到达QN位置。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平轨道与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，求：
（1）两棒在水平轨道运动过程中，通过ab棒的最大电流；
（2）ab棒到QN的最小距离d；
（3）初始时刻至ef棒恰好达到稳定状态的过程中系统产生的焦耳热。
【答案】（1）2A；（2）0.05m；（3）0.125J
【详解】（1）两棒在水平轨道运动过程中，初始时刻有最大电流
解得I=2A
（2）当ef棒到达NQ前，由于两棒距离增加0.5m，由此判断ab棒在cd左侧。两棒受合外力等于零，系统动量守恒，设ef棒和ab棒的速度分别为v1和v2，则
设两棒距离增加x=0.5m用时间为 t，则对ab棒由动量定理
两棒距离增加x=0.5m时回路的平均电流
平均感应电动势
且
联立解得两棒的速度
v1=1.5m/s
v2=1m/s
当ef棒离开水平轨道后，ab棒在cd左侧做匀速直线运动，进入cd右侧后，若一直减速运动到停止，则由动能定理
解得
则ab棒静止在水平轨道上，ab棒到NQ的最小距离
（3）对于ef棒，若恰好能沿圆弧运动的速度为v，列式
解得
所以ef棒可以沿圆弧运动；ef棒沿圆弧运动过程，设ef棒到达圆弧底端的速度vE，由动能定理
解得vE=3m/s
当ef棒进入倾斜轨道时，由牛顿运动定律
解得a=0
即ef棒进入倾斜轨道将做匀速直线运动达到稳定状态。则系统产生的焦耳热
解得Q=0.125J。
15．（2024·天津·一模）某公园的游乐场中引进了电磁弹射儿童车项目，可简化如图，宽度为L的水平轨道中BE、CH两段为绝缘材料制成，其余部分均为导体，且轨道各部分都足够长。ABCD和EFGH区域均存在竖直向下的匀强磁场B（B未知），AD处接有电容大小为C的电容器，FG处接有阻值为2R的定值电阻。儿童车可简化为一根质量m，电阻为R的导体棒（与轨道始终保持垂直且接触良好），开始时导体棒静止于AD处（如图），电容器两端电压为U0 ，然后闭合开关S，导体棒开始向右加速弹射。已知重力加速度为g，不计一切摩擦和阻力。求：
（1）开始时电容器所带的电荷量；
（2）若导体棒在ABCD轨道上获得的最终速度为v，求整个过程中定值电阻2R上产生的总热量Q；
（3）当B为多大时，导体棒在ABCD轨道上获得的最终速度最大？其最大值vm为多少？
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）开始时电容器所带的电荷量
（2）BE、CH两段为绝缘材料制成，整个过程中定值电阻2R上产生的总热量即为导体棒在EFGH轨道运动过程产生的热量，对导体棒在EFGH轨道运动过程，由于轨道足够长，导体棒最终静止
得
（3）导体棒在ABCD轨道运动过程
得
当且仅当
即
时，最终速度最大，其最大值为。
16．（2024·北京西城·一模）磁力刹车是为了保证过山车在最后进站时的安全而设计的一种刹车形式。在轨道之间设置较强的磁场，刹车金属片安装在过山车底部，该装置（俯视）可简化为如图所示的模型：水平导轨间距为L，刹车金属片等效为一根金属杆ab，整个回路的等效电阻为R。磁场区域为方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，过山车的总质量为m。过山车以速度v进入磁场区域，通过磁场区域后速度变为0.5v。磁力刹车阶段不计摩擦力和空气阻力。
（1）求杆ab刚进入磁场区域时，受到的安培力F的大小和方向。
（2）求过山车通过磁场区域的过程中，电路中产生的焦耳热Q。
（3）求磁力刹车阶段过山车加速度大小a的变化范围。为使过山车加速度的大小不超过a ，磁感应强度的大小应满足什么条件？
【答案】（1）；与速度方向相反；（2）；（3）
【详解】（1）杆通过磁场的过程，产生的感应电动势为
根据闭合电路欧姆定律，回路的感应电流的大小
杆受到的安培力大小
杆受到的安培力方向与速度方向相反。
（2）杆通过磁场的过程中，根据能量守恒定律有
（3）设杆刚进入磁场时加速度的大小为，根据牛顿第二定律有
得
同理，杆即将离开磁场时的加速度大小
磁力刹车阶段过山车的加速度大小的变化范围为
为使加速度的大小不超过，则
得
17．（2024·广东揭阳·二模）如图所示，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距L=20cm，两导轨及其所构成的平面与水平面的夹角θ=37°，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小B=5T。现将质量分别为m1=0.1kg、m2=0.2kg的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接人导轨之间的电阻均为R=1Ω。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，取重力加速度大小，sin37°=0.6，cos37°=0.8.
（1）先保持b棒静止，将a棒由静止释放，求a棒匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当a棒匀速运动时，再将b棒由静止释放，求释放瞬间b棒的加速度大小a0；
（3）在（2）问中，从b棒释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v（未知），求速度v的大小与t0的关系式及时间t0内a棒相对于b棒运动的距离△x。
【答案】（1）；（2）；（3），
【详解】（1）金属棒在运动过程中，重力沿导轨平面的分力和棒受到的安培力相等时棒做匀速运动，由法拉第电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律及安培力公式有
，棒受力平衡，有
解得
（2）由右手定则可知金属棒受到沿导轨平面向下的安培力，对棒，由牛顿第二定律有
解得
（3）释放棒后棒受到沿导轨平面向上的安培力，在两棒达到共速的过程中，对棒，由动量定理有
棒受到向下的安培力，对棒，由动量定理有
解得
则
由法拉第电磁感应定律有
由闭合电路欧姆定律有
又
解得
18．（2024·广东惠州·一模）如图所示，电阻不计、竖直放置的平行金属导轨相距，与总电阻的滑动变阻器、板间距的足够长的平行板电容器连成电路，平行板电容器竖直放置．滑动变阻器的左侧有垂直导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度，电阻的金属棒ab与导轨垂直，在外力作用下紧贴导轨做匀速直线运动。合上开关S，当滑动变阻器触头P在中点时，质量。电量的带正电的微粒从电容器中间位置水平射入，恰能在两板间做匀速直线运动，取重力加速度。求：
（1）金属棒ab运动的方向及其速度大小；
（2）当触头P移至最上端C时，同样的微粒从电容器中间位置水平射入，则该微粒向电容器极板运动过程中所受重力的冲量大小（计算结果可用根式表示）。
【答案】（1）棒水平向左运动，；（2）
【详解】（1）平行板上板为负，根据右手定则，棒水平向左运动。设运动的速度大小为，则有
在中点时，由闭合电路欧姆定律，有
两板间电压为
板间电场强度为
带电粒子作匀速直线运动
联立得
计算得
（2）当移至时，滑动变阻器全部接入电路，由闭合电路欧姆定律得
两板间电压为
平行板间的电压变
带电微粒向上偏转，在竖直方向
得，
得
微粒向电容器极板运动过程中所受重力的冲量大小
得。
19．（2024·浙江嘉兴·二模）如图所示是两组固定的间距皆为d的平行金属导轨（倾角为30°的abce和光滑水平桌面上的fghj），两者在e、b两点绝缘但平滑连接。abce处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，ac间接一阻值为R的电阻。fh间接一恒流源（电流大小恒为I且方向如圆圈中箭头所示），fghj所在的正方形区域kpqn处于另一磁场中。正方形金属线框水平放置在fg、hj间，左侧紧靠pq。线框右侧水平导轨间有一个长度为的区域，处于竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中。将质量为m、电阻为R的导体棒A从倾斜导轨上某一位置静止释放，其在到达be前已达稳定速度。A始终与导轨垂直且接触良好，经过kpqn时磁场方向水平向左、磁感应强度大小（x为A到kn的距离）。已知线框质量为3m、边长为、自感系数为L，不计线框电阻；A与线框发生弹性碰撞后即撤出导轨区域。除kp、nq两段导轨动摩擦因数为外，其余部分皆光滑。求：
（1）倾斜导轨所处磁场的磁感应强度大小；
（2）A经过区域kpqn过程中摩擦产生的热量Q；
（3）线框出磁场时的速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）若，则线框向左出磁场，速度大小为；若，则线框向右出磁场，速度大小为
【详解】（1）导体棒在到达be前已达稳定速度，根据受力平衡可得
又，
联立解得。
（2）A经过区域kpqn过程中，受到的支持力为
受到的摩擦力为
可知阻力与满足线性关系，则摩擦生热为
。
（3）根据动能定理可得
解得导体棒离开区域kpqn时的速度为
导体棒与线框发生弹性碰撞，则有
解得弹性碰撞后，框的速度为
根据
可得
则有
可得线框受到的安培力为
若线框刚好从右侧穿过磁场，则有
解得
若，则线框向左出磁场，速度大小为；
若，则线框向右出磁场，根据动能定理可得
解得。
20．（2024·云南昆明·一模）如图所示，两根相互平行且足够长的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，导轨上接有电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒PQ静止在导轨上，整个系统处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器不带电。t＝0时刻，对PQ施加水平向右大小为F的恒力。PQ和导轨的电阻均不计，PQ运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若保持开关断开、闭合，求PQ的最终速度；
（2）若保持开关闭合、断开，求PQ的加速度大小；
（3）若保持开关、都闭合，从t＝0到时间内PQ向右运动的距离为x，求时刻PQ的速度大小。
【答案】(1) ；（2）；（3）
【详解】（1）保持开关断开、闭合，当PQ棒受到的安培力与外力相等时，PQ开始做匀速运动，根据受力平衡可得
F＝BIL
根据闭合电路欧姆定律可得
导体棒切割磁感线产生感应电动势可得
联立解得
（2）保持开关闭合、断开，取一段极短的时间Δt，PQ速度的变化量为Δv，电容器C上的电荷量的变化量为Δq，对PQ根据动量定理可得
根据电流的定义式可得
电容器上电荷量的变化量为
Δq＝CBLΔv
根据加速度的定义式可得
联立解得
（3）对PQ根据动量定理可得
通过PQ的电荷量为
独立分析PQ与定值电阻R组成的回路可得流过定值电阻的电荷量为
电容器存储的电荷量
流过PQ的电荷量等于流过电阻电荷量和电容器存储的电荷量之和
解得。
21．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）某同学设计了一个具有电磁缓冲功能的火箭模型，结构示意图如图所示。闭合矩形线圈固定在主体下部，线圈的总电阻为，匝数为边长为。模型外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为的匀强磁场。假设模型以速度与地面碰撞后，缓冲槽立即停止，此后主体在线圈与缓冲槽内磁场的作用下减速，从而实现缓冲。已知主体与线圈总质量为，重力加速度为，不计摩擦和空气阻力。
（1）求线圈中感应电流的最大值；
（2）当主体减速下落的加速度大小为时，求此时线圈中通过的电流大小及主体的速度大小；
（3）已知缓冲槽停止后主体下落距离为时，主体速度减为，此时主体和缓冲槽未相碰，求该过程中线圈产生的热量。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）感应电动势的最大值为
感应电流的最大值为
解得。
（2）当主体减速下落的加速度大小为时，对主体与线圈整体分析，根据牛顿第二定律有
解得
此时有
根据法拉第电磁感应定律有
解得。
（3）根据动能定理有
根据功能关系有
解得。
22．（2024·山西朔州·二模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨之间的距离为d=1m，导轨所在空间GH到JK之间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，GH到JK之间的距离为L=3.0m。质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m，阻值均为R=0.5Ω的导体棒a和导体棒b静止放置在导轨上。初始时，导体棒b在JK的左侧且到JK的距离为L1=1m，导体棒a在GH的左侧。现给导体棒a一个水平向右的初速度v0=6m/s，导体棒b经过JK时的速度大小为v1=2m/s，已知两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，两导体棒没有发生碰撞，求：
（1）导体棒a刚经过GH瞬间，导体棒b的加速度大小；
（2）导体棒a从GH运动到JK的过程中，导体棒a上产生的焦耳热。
【答案】（1）7.5m/s2；（2）0.9875J
【详解】（1）导体棒a刚经过GH瞬间，感应电动势为
所以感应电流为
所以导体棒b的加速度大小为
（2）导体棒b开始运动到出磁场的过程中，感应电流为
对导体棒b，根据动量定理
对导体棒a，根据动量定理
其中
解得，
导体棒b出磁场到导体棒a出磁场的过程中，根据动量定理
其中
解得
根据能量守恒，系统产生的热量为
导体棒a上产生的焦耳热为
23．（2024·广东·二模）如图所示为一套电磁阻尼装置原理图，在光滑水平地面上方存在着水平方向上的磁场，磁感应强度大小均为，磁场方向垂直于纸面向里、向外分区域交替排列，依次编号为区域1、2、3、4…，磁场区域足够多，每个区域的边界均保持竖直，且各区域宽度相等均为，现有一个正方形线圈，边长也为，线圈匝数，电阻，质量为，以初速度向右滑入磁场区域，重力加速度。
（1）线圈从开始进入区域1到刚要进入区域2的过程中，求流经线圈的电荷量；
（2）线圈从开始进入区域1到刚要进入区域2的过程中，求线圈产生的焦耳热；
（3）线圈从开始运动到最终停止，求线框右侧边完整经过的磁场个数。
【答案】（1）0.05C；（2）2.4375J；（3）5
【详解】（1）进入1区域，右边切割磁感线产生感应电动势
由欧姆定律有
则电荷量
联立解得
（2）线圈进入1区域的过程中做变减速运动，取一短暂时间，由动量定理有
微元累加有
根据能量守恒有
代入数据解得
（3）当线圈进入2区域以后的磁场时，左右两边均在切割磁感线。故在某一时刻的电动势
此时电流为
线圈受到的安培力
取一短暂时间，由动量定理有
微元累加可得
代入数据得
故线圈穿过的磁场个数为
线框右侧边完整经过的磁场个数为5个。
24．（2024·海南·模拟预测）如图所示，间距为d光滑平行金属导轨由圆弧和水平两部分组成，两导轨之间连接一个阻值为R的定值电阻。水平导轨间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向下，质量为M、有效电阻也为R的金属棒甲静止在磁场左侧边界线上。现在将一根质量为m的绝缘棒乙，从圆弧轨道上距水平面高度为L处由静止释放，乙滑下后与甲发生弹性碰撞并反弹，然后再次与已经静止的甲发生弹性碰撞。甲始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）第1次碰后乙反弹的高度h；
（2）第1次碰撞到第2次碰撞过程中R上产生的热量；
（3）已知圆弧轨道的半径为r，如果圆弧轨道半径远大于圆弧的弧长，则乙第1次与甲碰撞后经过多长时间与甲发生第2次碰撞。
【答案】（1）;（2）;（3）
【详解】（1）设第一次碰撞前乙的速度为v，有
设第一次碰撞后乙的速度为，甲的速度为，甲乙发生弹性碰撞，则
解得，
碰撞后乙上升的最大高度为h，有
整理得。
（2）对甲分析，甲乙碰后甲的动能转化为整个回路的焦耳热，设R上产生的热量为Q，
由能量守恒定律
得。
（3）对甲，由第一次碰撞到第一次停止的过程，由动量定理得
由上式得
乙在水平轨道运动时间
乙在圆弧轨道运动因圆弧轨道半径远大于圆弧的弧长，则等等效为单摆的摆动，时间为
总时间
综上得
。
25．（23-24高三下·山东济宁·期末）如图所示，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属轨道，间距为L，电阻不计。虚线左侧区域有竖直向下的磁感应强度为B1=B的匀强磁场，虚线右侧有竖直向上的磁感应强度为B2=2B的匀强磁场。t=0时刻金属杆a以v1=v0的初速度向左滑动，金属杆b以v2=2v0的初速度向右滑动。金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，金属杆a始终在左侧轨道磁场区域运动，金属杆b始终在右侧轨道磁场区域运动。金属杆a的质量为m，电阻为2r，金属杆b的质量为2m，电阻为r。求：
（1）t=0时刻金属杆b瞬间的加速度大小；
（2）金属杆a最多能产生多少焦耳热；
（3）当金属杆b的速度为时，金属杆a的速度大小为多少。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）t=0时刻，两金属杆切割磁感线产生感应电动势，两杆的电流方向均向下，则有
t=0时刻对金属杆b根据牛顿第二定律有
解得。
（2）根据左手定则可知两金属杆均受向左的安培力，当两杆产生的感应电流相等时两杆的速度分别为，，则有
分别对两金属杆运用动量定理有
解得，
对两金属杆根据功能关系有
金属杆a的焦耳热为
解得。
（3）当金属杆b的速度为时，分别对两金属杆运用动量定理有
解得。
26．（2024·湖北·二模）如图，间距为L=1m的U形金属导轨，一端接有电阻为的定值电阻，固定在高为h=0.8m的绝缘水平桌面上。质量均为m=0.1kg的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒a距离导轨最右端距离为x=2.5m。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B=0.1T。用沿导轨水平向右的恒力F=0.4N拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去F，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。（重力加速度g取，不计空气阻力，不计其他电阻）求：
（1）导体棒a刚要离开导轨时的速度大小v；
（2）导体棒a由静止运动到导轨最右端的过程中，通过导体棒a的电荷量q以及导体棒a中产生的焦耳热；
（3）设导体棒a与绝缘水平面发生碰撞前后，竖直方向速度大小不变，方向相反，碰撞过程中水平方向所受摩擦力大小为竖直方向支持力的k倍（碰撞时间极短，重力冲量可忽略不计），，请计算导体棒a离开导轨后向右运动的最大水平距离lm。
【答案】（1）3m/s；（2）；0.2J；（3）18m
【详解】（1）对b分析可得
解得I=1A
由题意可得
又有
解得v=3m/s。
（2）整个过程中通过a得电荷量为
整个过程对A运用功能关系有
由焦耳定律可得。
（3）A离开导轨后，至与地面碰撞前做平抛运动，落地前瞬间竖直速度为
碰撞过程中，竖直方向，由动量定理得
同理，水平方向上有
解得
即每次与地面碰撞，水平速度减小0.2m/s，又水平初速度为3m/s，故与地面碰撞15次后，水平速度为0，运动到最右侧，从抛出到第一次与地面碰撞
解得t=0.4s
故可得
第1次碰撞与第2次碰撞之间
第2次碰撞与第3次碰撞之间
以此类推，第14次碰撞与第15次碰撞之间
组成等差数列，由求和公式可得
故导体棒a离开导轨后向右运动得最大水平距离
。
27．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示（俯视图），光滑绝缘水平面上有一边长的正方形单匝导体线框abcd，线框质量，总电阻。线框的右侧有两块条形区域的匀强磁场依次排列，条形区域的宽度也均为，长度足够长，磁场的边界与线框的bc边平行。区域Ⅰ磁场的磁感应强度为，方向竖直向下，区域Ⅱ磁场的磁感应强度为，方向也竖直向下。给线框一水平向右的初速度，初速度方向与bc边垂直，则
（1）若线框向右的初速度，求线框bc边刚进区域Ⅰ时，线框的加速度大小；
（2）若线框bc边能穿过区域Ⅰ，则线框bc边穿过区域Ⅰ的过程中，线框受到安培力的冲量；
（3）要使线框能完全穿过整个磁场区域，至少给线框多大的初速度。
【答案】（1）；（2），方向水平向左；（3）
【详解】（1）线框bc边刚进区域Ⅰ时，感应电动势为
电流为
线框的加速度大小为
（2）线框bc边穿过区域Ⅰ的过程中，线框受到安培力的冲量为
其中
解得
方向水平向左。
（3）要使线框能完全穿过整个磁场区域，根据动量定理
其中
解得线框初速度至少为
28．（2024·江西九江·二模）如图甲所示，两根光滑平行导轨固定在水平面内，相距为L，电阻不计，整个导轨平面处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为R的电阻，沿导轨方向建立x坐标轴。质量为m、电阻为r的金属棒ab垂直导轨放置在处。在金属棒ab上施加x轴方向的外力F，使金属棒开始做简谐运动，当金属棒运动到时作为计时起点，其速度随时间变化的图线如图乙所示，其最大速度为。求：
（1）简谐运动过程中金属棒的电流i与时间t的函数关系；
（2）在时间内通过金属棒的电荷量；
（3）在时间内外力F所做的功；
（4）外力F的最大值。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由图乙可知简谐运动的周期
由此可得
根据图像乙可知速度与时间的变化关系满足余弦函数，可得其关系为
由闭合回路的欧姆定律有
。
（2）根据对称性可知在时，金属棒到达
处，则在时间内通过金属棒的电荷量
。
（3）简谐运动过程回路电流为余弦式交流电，在0到时间内，电路产生热量
其中
，
解得
设在0到的时间内外力所做的功为，安培力所做的功为，由动能定理得
其中
解得
（4）由牛顿第二定得
整理得
则外力F的最大值。
29．（2024·天津和平·一模）某游乐园中过山车进入停车区时利用磁力进行刹车，磁力刹车原理可以简化为如图所示的模型：水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，金属棒MN沿导轨向右运动的过程，对应过山车的磁力刹车过程，假设MN的运动速度代表过山车的速度，MN所受的安培力代表过山车所受的磁场作用力。已知过山车以速度进入磁场区域，过山车的质量为m，平行导轨间距离为L，整个回路中的等效电阻为R，磁感应强度大小为B；已知刹车过程中轨道对过山车的摩擦阻力大小恒为f，忽略空气阻力，求：
（1）刚进入磁场区域时，过山车的加速度a；
（2）若磁力刹车直至速度减为0的过程所用时间为t，求此过程中摩擦力对过山车做的功W；
（3）若忽略摩擦阻力，求过山车运动到总位移的倍时，安培力的功率。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
由闭合电路的欧姆定律有
而
则根据牛顿第二定律有
联立可得。
（2）减速过程应用动量定理有
平均感应电流
摩擦力对过山车做的功
联立可得。
（3）过山车速度减为0所用时间为，对该过程由动量定理有
结合
可得
当位移为总位移的倍时，所用时间为，设此时速度为，由动量定理有
该过程通过回路中的电荷量
而安培力在此时的功率
联立解得（）。
30．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，倾角均为、间距为L的平行金属导轨左右对称，在底端平滑相连并固定在水平地面上，左侧导轨光滑、长度为s，其上端接一阻值为R的定值电阻，右侧导轨粗糙且足够长。两导轨分别处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小均为的匀强磁场中。现将一质量为m、长度为L的金属棒自左侧导轨顶端由静止释放，到达底端前金属棒已经达到最大速度，金属棒滑上右侧导轨时，左侧磁场立即发生变化，使金属棒沿右侧导轨上滑过程中通过金属棒的电流始终为0。已知金属棒与右侧导轨间的动摩擦因数，重力加速度为g，除定值电阻外，其余部分电阻均不计。
（1）求金属棒第一次运动到导轨底端时的速度大小；
（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，求左侧磁场的磁感应强度与金属棒上滑距离x的关系式；
（3）金属棒在右侧导轨第一次上滑到最高点时，左侧磁场发生新的变化，使金属棒沿右侧导轨向下做加速度大小为的匀加速直线运动。当金属棒第二次运动到导轨底端时，求左侧磁场的磁感应强度的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属棒在左侧导轨上，当沿导轨向下重力的分力与金属棒所受安培力等大时，金属棒速度达到最大，将做匀速直线运动，设此时速度大小为，则此时的感应电动势为
电路中的电流为
金属棒所受安培力为
解得。
（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，因为通过金属棒的电流始终为0，所以回路中的磁通量不变，则
即。
（3）金属棒在右侧导轨运动，根据牛顿第二定律
解得
金属棒在右侧导轨运动的最大位移为，则
解得
若金属棒沿右侧导轨向下做加速度大小为的匀加速直线运动，则根据牛顿第二定律
解得
此时电路中的电流为
金属棒下滑时间为t，则
解得
则此过程通过金属棒的电荷量为
金属棒在右侧导轨最高处时，回路中的磁通量为
金属棒在最低出的时，回路中的磁通量为
又
以上各式联立，解得。
31．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一质量为m的动车电磁刹车装置的原理图。动车底部固定三个相同的、水平放置的正方形金属线圈，每个线圈的匝数均为N，边长均为L，电阻均为R，相邻的两线圈之间的间隔均为L。动车刹车时，在其行驶区域内会产生磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，磁场区域与无磁场区域间隔排列，每个磁场区域的宽度均为L，无磁场区域的宽度均为2L。以速度匀速行驶的动车刹车时，撤去动车的动力，动车从开始刹车到停下来行驶的距离为60L。刹车过程中，机械阻力始终为车重的0.1倍；空气阻力始终为所有线圈受到的安培力的0.1倍。已知重力加速度大小为g，求：
（1）线圈1从开始进入一磁场区域到完全进入该磁场区域的过程中，通过线圈1导线某横截面的电荷量；
（2）整个刹车过程中，三个线圈总共产生的焦耳热Q；
（3）整个刹车过程所用的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设线圈1从开始进入一磁场区域到完全进入该磁场区域得过程中，磁通量变化量为，产生的平均感应电动势为，平均感应电流为，用时为，由法拉第电磁感应定律，
结合，
可得
（2）整个刹车过程中，由于克服安培力做的功等于焦耳热，而空气阻力做的功为安培力做功的0.1倍，设空气阻力做的功为，则
设克服机械阻力做的功为，机械阻力始终为车重的0.1倍，则
由功能关系得
解得
（3）
其中空气阻力始终为所有线圈受到的安培力的0.1倍，则可知
联立可求得
所以，整个刹车过程中，三个线圈总共产生的焦耳热
（3）设整个刹车过程中三个线圈中通过的平均感应电流为，三个线圈受到的平均安培力为，动车所受空气阻力为
对动车整个刹车过程列动量定理得
每运动一个L的距离，三个线圈中通过导线某横截面的电荷量为，设整个刹车过程中通过三个线圈中导线某横截面的总电荷量为q，则
解得
32．（2024·江苏南京·一模）如图所示，足够长“V”字形的金属导轨两侧与水平地面的夹角，最低点平滑连接，其间距为，左端接有电容的电容器。质量的导体棒可在导轨上滑动，导体棒与两侧导轨间的动摩擦因数相同，导体棒和导轨的电阻均不计。导轨左右两侧存在着垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度。现使导体棒从左侧导轨上某处由静止释放，经时间第一次到达最低点，此时速度，然后滑上右侧导轨，多次运动后，最终停在导轨的最低点。整个过程中电容器未被击穿，忽略磁场边缘效应和两个磁场间相互影响，重力加速度g取10，，。求：
（1）导体棒第一次运动到最低点时，电容器所带电荷量Q；
（2）动摩擦因数和导体棒第一次运动到最低点时，电容器储存的能量；
（3）导体棒运动的总时间。
【答案】（1）；（2），；（3）
【详解】（1）在最低点，导体棒切割磁场，电容器两端电压与导体棒两端电动势相等，有
电容器的电容
联立解得
（2）导体棒由在左边导轨上静止释放后，在下滑过程中受力分析如图：
解法一：沿斜面方向由动量定理得
解得
电容器储存的能量
解得
解法二：沿斜面方向由牛顿第二定律得
又
解得
根据电容器储存能量公式
又
解得
（3）根据分析可知道，物体冲上右边导轨后，电容器放电，导体棒安培力沿斜面向上，受力分析图如图所示：
根据牛顿第二定律得
又
解得
则，
物体上滑到右侧最高点位移
解得
同理，导体棒从右侧斜面最高点滑下过程中电容器充电，加速大小等于，导体棒第二次经过最低点时假设其速度为，则
解得
导体棒从右侧轨道上滑到达最高点后以向下匀加速，到达最低点后以加速度减速滑上左侧轨道，如此往复，直至停在最低点。根据运动学规律，易得在两边导轨加速下滑过程时间依次为
，，，…
在两边导轨减速上滑过程时间依次为：
，，，…
所以
33．（2024·黑龙江·二模）如图所示，相距为L的光滑平行水平金属导轨MN、PQ，在M点和P点间连接一个阻值为R的定值电阻。一质量为m、电阻也为R、长度也刚好为L的导体棒垂直搁在导轨上的a、b两点间，在导轨间加一垂直于导轨平面竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为d，磁感应强度大小为B，磁场左边界到ab的距离为d。现用一个水平向右、大小为F的力拉导体棒，使导体棒从a、b处由静止开始运动，导体棒进入磁场瞬间，拉力方向不变、大小变为2F。已知导体棒离开磁场前已做匀速直线运动，导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压；
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，导体棒上产生的焦耳热；
（3）若要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，磁场左边界到ab的距离应调整为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设导体棒进入磁场瞬间的速度大小为，对导体棒，由动能定理有
解得
此时导体棒产生的感应电动势为
导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压为
。
（2）设导体棒出磁场时的速度大小为，感应电流为
根据平衡条件得
解得
对导体棒通过磁场过程，由能量守恒有
根据功能关系有
联立解得导体棒上产生的焦耳热为
。
（3）要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，则进入磁场时的速度大小应为，对导体棒，由动能定理有
解得。
34．（2024·河北邯郸·一模）如图所示，水平面内固定有一“”形状的光滑金属框架导轨，顶角为，处于匀强磁场中，磁感应强度为大小为B，方向与导轨平面垂直。以导轨的顶点O为原点，建立坐标系，使得x轴与导轨的一条边重合。质量为m的金属杆与y轴平行、与两条导轨紧密接触。导轨与金属杆的材料相同，单位长度电阻均为，金属杆在与x轴平行的外力作用下，以速度沿x轴正方向匀速运动。金属杆经过原点O时开始计时，金属杆与框架足够长，求：
（1）外力随时间t变化的表达式；
（2）金属杆上产生的内能随时间t变化的表达式；
（3）若金属杆到O点距离为l时撤去外力，金属杆停下来的位置与原点O的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）金属杆以速度沿x轴正方向匀速运动,根据平衡条件
金属杆运动时间时运动距离为，闭合线框中切割磁感线的长度为
倾斜导轨的长度为，根据欧姆定律知电流
故外力随时间t变化的表达式
。
（2）金属杆上产生的内能随时间t变化的表达式
。
（3）金属杆到O点距离为l时撤去外力，闭合回路的总电阻为，此过程通过金属杆的电荷量为
设金属杆停下来时与原点O的距离为，则整个过程通过金属杆的电荷量为
故从撤去外力到停下通过金属杆的电荷量为
闭合回路中金属杆切割磁感线的长度随水平距离均匀增大，故回路中切割磁感线的平均长度为，又
故从撤去外力到停下，根据动量定理对金属杆
联立解得金属杆停下来的位置与原点O的距离
。
35．（23-24高三下·云南·开学考）如图所示，两根完全相同的光滑平行长直导轨固定，长直导轨构成的平面与水平面的夹角，两导轨顶、底端分别连接电阻、，在导轨所在斜面上以为坐标原点建立平面直角坐标系，斜面上的矩形区域内分布有方向垂直于斜面向上的磁场，磁场沿x正方向磁感应强度，沿y方向均匀分布。某时刻在导轨斜面上上方处由静止释放一金属棒，金属棒进入磁场后，立即在棒上施加一方向沿斜面向上的力F，金属棒在磁场中的运动过程，棒中电流始终保持不变。已知导轨间距，磁场上边界与下边界间的距离，金属棒质量，金属棒与导轨接触的两点间电阻，，其余电阻不计，重力加速度大小，，不计空气阻力，棒下滑过程中始终与导轨垂直。求：
（1）金属棒刚进入磁场时流经的电流；
（2）金属棒通过磁场的过程中，电阻产生的焦耳热；
（3）金属棒通过磁场的过程中力F所做的功W。
【答案】（1）1A；（2）7.5J；（3）-57J
【详解】（1）以棒为研究对象，金属棒刚进入磁场时的速度为，由动能定理得
解得
金属棒刚进入磁场时，电动势
解得
由闭合电路欧姆定律，有
解得
金属棒刚进入磁场时流经的电流
。
（2）金属棒在磁场中运动过程，棒中电流始终保持不变，由
解得
该过程中，由关系可知安培力做功
回路中的热量等于安培力做功，电阻产生的焦耳热为
解得。
（3）金属棒在磁场中运动过程，棒中电流始终保持不变，回路的连接方式始终不变，金属棒到达磁场下边界的速度为，有
解得
以棒为研究对象，由动能定理
解得。
36．（2024·湖南长沙·一模）如图，质量为m的均匀金属棒ab垂直架在水平面甲内间距为3L的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径OM和（竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为3L，水平导轨间距分别为3L和L。质量也为m的均匀金属棒cd垂直架在间距为L的导轨左端。导轨与，与均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部分均有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度（未知，记为）做平抛运动，并在高度降低3R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：
（1）空间匀强磁场的方向；
（2）棒ab做平抛运动的初速度；
（3）通过电源E某截面的电荷量q；
（4）从金属棒ab刚落到圆弧轨道上端起至棒ab开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
【答案】（1）竖直向上；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）闭合开关S，金属棒ab即获得水平向右的速度，表明金属棒受到水平向右的冲量，所以安培力水平向右，因为金属棒ab中的电流方向为由a指向b，根据左手定则，空间匀强磁场的方向为竖直向上。
（2）金属棒ab做平抛运动，其竖直方向有
由于导体棒在高度降低3R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，有
解得
（3）金属棒ab弹出瞬间，规定向右为正方向，由动量定理
又因为
整理有
解得
（4）金属棒ab滑至水平轨道时，有
解得
最终匀速运动，电路中无电流，所以棒ab和cd产生的感应电动势大小相等，即
此过程中，对棒ab由动量定理有
对棒cd，由动量定理有
联立解得，
由能量守恒，该过程中机械能的损失量为
解得
37．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，足够长的两平行金属导轨倾斜固定放置，导轨平面倾角为，导轨间距，导轨底端接的定值电阻，导轨电阻不计。导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小，质量、接入电路电阻的金属棒ab垂直置于导轨上。金属棒ab在大小为7.0N、方向始终沿轨道平面向上并垂直于金属棒的恒力F作用下，从静止开始沿导轨向上滑行，已知金属棒ab与导轨间的动摩擦因数，，，。求：
（1）金属棒从静止起向上运动的过程中，金属棒的最大加速度及拉力的最大功率分别为多少？
（2）当金属棒刚匀速运动时改变拉力的大小，使金属棒以的加速度沿轨道向上做匀加速运动，经过一段时间，拉力的冲量达到时，该段匀加速运动时间内，通过金属棒横截面的电量为多少？
（3）若当金属棒匀速运动时改变拉力的大小，使拉力F的功率恒为75W，此后经3s金属棒的加速度变为零，此过程电阻R中产生的焦耳热为20J，则此过程金属棒沿导轨向上运动的距离为多少？
【答案】（1），56W；（2）10C；（3）35.2m
【详解】（1）金属棒在恒力F作用的瞬间，金属棒有最大加速度，由牛顿第二定律可得
代入数据解得
当金属棒做匀速运动时，此时金属棒的速度最大，恒力F的功率最大，由力的平衡条件可得
代入数据解得
恒力F的最大功率为
.
（2）当金属棒刚匀速运动时改变拉力的大小，使金属棒以的加速度沿轨道向上做匀加速运动，此过程由牛顿第二定律可得
代入数据化简可得
则有力的冲量
解得，（舍去）
此过程金属棒的初速度为
金属棒向上运动的距离为
通过金属棒横截面的电量为
（3）若当金属棒匀速运动时改变拉力的大小，使拉力F的功率恒为75W，可知此过程金属棒做变加速运动，此后经3s金属棒的加速度变成零，则有
由力的平衡条件可得
代入数据联立解得
设此过程金属棒沿导轨向上运动的距离为，由能量守恒定律可得
代入数据解得
38．（2024·四川成都·二模）MN、PQ是固定在水面内间距为L的两条光滑长直导轨，导轨位于竖直向上的匀强磁场中，a、b是用同种材料制成的两根长为L的均匀金属棒，其质量ma=3m，mb=m，金属棒a的电阻为R，开始a、b经静止垂直跨放在导轨上，它们之间的距离也为L，导轨电阻忽略不计。现使a棒以指向b棒的初速度开始运动，运动中两棒与导轨始终垂直且接触良好。
（1）若a棒开始运动瞬间加速度大小为，求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
（2）若a、b运动中不会发生碰撞，求当b棒的速度时a棒上产生的焦耳热Q；
（3）若a、b棒运动中发生弹性磁撞，不考虑碰撞过程中的电磁感应，最终a、b两棒之间的距离仍为L，求匀强磁场的磁感应强度大小B2。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设b棒的电阻为，由电阻定律：
可得
由牛顿第二定律：
，
由以上各式可解得：。
（2）b棒的速度为时a棒的速度为v，由动量守恒定律：
解得：
设系统产生的总焦耳热为Q0，由能量守恒：
由焦耳定律：
解得。
（3）设碰撞前a、b棒的速度分别为、，运动中某时刻a、b的速度分别为、，在此后△t时间内安培力的冲量大小为
对碰前或碰后过程进行累加可得：
碰前，对a：
对b：
设碰撞后a、b的速度分别为、，最终a、b的速度为
碰后，对a：
由以上几式可解得：。
39．（2024·河南南阳·一模）如图所示，光滑导轨与水平方向成夹角，间距为。虚线垂直于倾斜导轨且与边距离为，上方存在垂直斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的关系式为（k为已知的常数且为正值）。间距为L粗糙的平行导轨、固定放置，j、n连线的右侧存在竖直向下磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为m的导体棒乙垂直水平导轨放置。现让质量为m的均匀导体棒甲在虚线的下方垂直倾斜导轨由静止释放，沿导轨下滑后到达转折点处，立即滑上水平导轨（在转折处速度由倾斜变成水平，大小不变），导体棒甲在水平导轨上滑行一段距离后停在导体棒乙的左侧。已知导体棒甲刚滑上水平导轨时，导体棒乙受到静摩擦力刚好达到最大值，导体棒甲在倾斜导轨上滑行时接入电路的电阻为R，其他的电阻均忽略不计，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒甲、乙与水平导轨之间的动摩擦因数相等，，，求：
（1）导体棒甲到达b、d处的速度大小以及导体棒乙与水平导轨间的动摩擦因数；
（2）导体棒甲在水平导轨上滑行的时间；
（3）导体棒甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）甲在倾斜轨道上下滑，设到达时速度大小为，则
解得。
甲滑上水平轨道瞬间，与乙形成回路，接入电路的电阻为，对乙受力分析有
联立解得。
（2）甲在水平轨道上减速运动，乙始终保持静止，设甲在水平轨道上运动时间为t，对甲由动量定理
又有
联立解得
（3）设甲在倾斜轨道上运动的时间为，对甲由动量定理
联立得
设甲在倾斜轨道上运动时焦耳热为，有
解得
甲在水平导轨间运动设克服安培力做功为，由动能定理有
此阶段产生的焦耳热设为，则
联立解得
则所求热量为
解得。压轴题09 电磁感应
1.本专题是电磁感应的典型题型，包括应用电磁感应的知识解决实际问题。高考中经常在选择题中命题，更是在在计算题中频繁出现。2024年高考对于电磁感应的考查仍然是热点。
2.通过本专题的复习，不仅利于完善学生的知识体系，也有利于培养学生的物理核心素养。
3.用到的相关知识有:楞次定律,法拉第电磁感应定律的知识等。近几年的高考命题中一直都是以压轴题的形式存在，重点考查电磁感应中的电路问题，电磁感应中的图像问题，电磁感应中的单、双杆问题，导线框进出磁场问题等。
考向一：电磁感应中的电路问题
1.闭合电路与电磁感应的关系
2.分析电磁感应中电路问题的思路
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体相当于电源，其他部分是外电路。
(2)画等效电路图，分清内、外电路。
(3)用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blvsinθ确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向，注意在等效电源内部，电流从负极流向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的特点、电功率等求解。
3.感应电荷量的求法
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一横截面的电荷量(感应电荷量)q＝IΔt＝·Δt＝n··Δt＝。
(1)由上式可知，线圈匝数一定时，通过某一横截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。
(2)求解电路中通过的电荷量时，I、E均为平均值。
考向二：电磁感应中的图像问题
1.解决图像问题的一般步骤
(1)明确图像的种类，是B－t图像、Φ－t图像，还是E－t图像、I－t图像等。
(2)分析电磁感应的具体过程。
(3)用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出函数关系式。
(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
(6)画图像或判断图像。
2.解决图像问题的“三点关注”
(1)关注初始时刻，如：初始时刻感应电流是否为零，若不为零，是正方向还是负方向。
(2)关注变化过程，看电磁感应发生的过程分为几个阶段，这几个阶段是否与图像变化相对应。
(3)关注大小、方向的变化趋势，看图线斜率的大小、正负以及图线与横轴的位置关系是否与物理过程相对应。
考向三：电磁感应中的平衡和动力学问题
1.电磁感应中的动力学分析
2.处理问题的基本思路
(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(包括右手定则)求出感应电动势的大小和方向。
(2)依据闭合电路欧姆定律，求出电路中的电流。
(3)分析导体的受力情况(包含安培力，可用左手定则确定安培力的方向)。
(4)依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，或运动学方程，或能量守恒方程，然后求解。
3.两种状态处理
(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态。
处理方法：根据平衡条件(合外力等于0)列式分析。
(2)导体处于非平衡状态——加速度不为0。
处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析。
4.电磁感应中的动力学临界问题
基本思路：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力→合外力变化加速度变化→临界状态。
考向四：电磁感应中的能量问题
1.电磁感应现象中的能量转化
2.处理电磁感应中能量问题的常用方法
(1)利用克服安培力做功求解：能量的转化是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。
(2)利用能量守恒定律求解：一般是机械能与电能的转化，即机械能的减少量等于电能的增加量。
(3)利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。
3.常见的功能关系
做功情况 能量变化特点
滑动摩擦力做功 有内能产生
重力做功 重力势能必然发生变化
克服安培力做功 必然有其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能
安培力做正功 电能转化为其他形式的能
4.焦耳热的计算
(1)电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt。
(2)感应电流变化时，可用以下方法分析：
①利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安。
②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量。
考向五：电磁感应中的动量问题
1.动量定理的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀速直线运动时，安培力的冲量为I安＝LBt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
2.动量守恒定律的应用
守恒条件分析：在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。
3.解题三大观点
(1)力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒所受的安培力大小相等方向相反，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
01 电磁感应中的电路问题
1.如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40 cm，电阻r＝2 Ω，线圈与阻值R＝6 Ω的电阻相连。在线圈的中心有一个直径d2＝20 cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向。
(1)求通过电阻R的电流方向；
(2)求理想电压表的示数；
(3)若撤去原磁场，在图中竖直虚线的右侧空间加磁感应强度B′＝0.5 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，试求在施加新磁场过程中通过电阻R的电荷量。
02 电磁感应中的图像问题
2．两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.2 T，方向与纸面垂直，边长L＝0.1 m、总电阻R＝0.05 Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边距磁场边界距离为L，如图所示，已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝1 s时刻进入磁场，以初始位置为计时起点，规定：电流沿顺时针方向时的电动势E为正，磁感线垂直纸面向外时磁通量Φ为正。则以下关于线框中的感应电动势E、磁通量Φ、感应电流I和安培力F随时间变化的图像中正确的是( )
03 电磁感应中的平衡和动力学问题
3.如图所示，两条平行的光滑金属轨道MN、PQ与水平面成θ角固定，轨道间距为d。P、M间接有阻值为R的电阻。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效阻值为R。空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上。现由静止释放ab，若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
(1)ab运动的最大速度vm；
(2)当ab具有最大速度时，ab消耗的电功率P；
(3)为使ab向下做匀加速直线运动，在ab中点施加一个平行于轨道且垂直于ab的力F，推导F随时间t变化的关系式，并分析F的变化与加速度a的关系。
04 电磁感应中的能量问题
4.如图所示，CD、EF是两条水平放置、阻值可忽略且间距为L的足够长平行金属导轨，左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲轨道上端接有一阻值为R的电阻，水平导轨所在空间存在磁感应强度大小为B、方向垂直导轨平面向上的匀强磁场。将一阻值也为R、质量为m的导体棒从弯曲轨道上高为h处由静止释放，导体棒在水平导轨上运动距离d停止。已知导体棒与水平导轨接触良好，它们之间动摩擦因数为μ。求导体棒从释放到最终停止过程中：
(1)通过电阻R的最大电流；
(2)流过电阻R的电荷量；
(3)电阻R中产生的焦耳热。
05 电磁感应中的动量问题
5.如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是( )
A.ab杆将做匀减速运动直到静止
B.ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C.ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为
D.ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为
一、单选题
1．（23-24高三下·四川成都·开学考试）如图甲所示，一个矩形线圈悬挂在竖直平面内，悬点 P为AB 边中点。矩形线圈水平边AB=CD，竖直边 AC=BD，在EF下方有一个范围足够大、方向垂直纸面（竖直平面）的匀强磁场。取垂直纸面向外为磁感应强度的正方向，电流顺时针方向为正方向，安培力向上为正方向，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示。下列关于线圈内的感应电流i、线圈受到的安培力F 随时间t变化的图像正确的是
B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·山东聊城·二模）如图所示，两条相距l的光滑平行金属导轨位于同一水平面（纸面）内，其左端接一阻值为R的电阻，与导轨垂直的金属棒置于两导轨上。在电阻、导轨和金属棒中间有面积为S的区域，区域中存在垂直于纸面向里的均匀磁场，磁感应强度大小随时间t的变化关系为，式中k为大于0的常量；在金属棒右侧还有一匀强磁场区域，区域左边界MN（虚线）与导轨垂直，磁场的磁感应强度大小为，方向垂直于纸面向里。零时刻，金属棒在水平恒力的作用下从静止开始向右运动，在时刻恰好以速度越过MN，此后向右做匀速运动。金属棒与导轨始终相互垂直并接触良好，它们的电阻均忽略不计，下列说法正确的是（ ）
A．在0~t0时间内，流过电阻的电荷量为
B．在时刻以后，电阻R上的电流方向向上
C．在时刻穿过回路的总磁通量为
D．在时刻金属棒所受水平恒力的大小为
3．（2024·安徽黄山·二模）某工厂为了检验正方形线圈的合格率，将线圈放在传送带上，传送带所在空间中加上竖直向下的匀强磁场，磁场边界与平行且与线圈速度方向成，磁感应强度为B。如图所示，线圈与传送带一起以恒定速度v向右运动，线圈与传送带间的动摩擦因数为μ。线圈进入磁场过程中线圈恰好不打滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知线圈质量为m，匝数为N，边长为L，总电阻为R，且磁场宽度大于L。下列说法正确的是（ ）
A．线圈进入磁场过程中，电流方向为
B．在线圈进入磁场的过程中，线圈对传送带的摩擦力始终沿所在直线方向，且最大值为
C．线圈在进入磁场的过程中通过截面的电荷量为
D．在不改变传送带速度的情况下，相同质量、材料、边长但匝数为的线圈进入磁场过程也恰好不打滑
4．（2024·河北承德·二模）两根足够长的平行金属导轨固定在倾斜角为的斜面上，导轨电阻不计，间距为，在导轨ef和gh之间有宽度为d、方向垂直轨道平面向下的匀强磁场Ⅰ，gh线上方有垂直于轨道平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场Ⅱ。两根质量均为0.1kg、电阻均为的导体棒间隔为d，如图垂直导轨放置，导体棒a与gh间距为d。现同时将两根导体棒由静止释放，发现当α棒刚进入磁场Ⅰ时，两根导体棒立即开始匀速运动，b棒刚要出磁场Ⅰ时沿斜面向下的加速度为。不计一切摩擦，两棒在下滑过程中，与导轨始终接触良好，已知，重力加速度g取。下列说法正确的是（ ）
A．题中
B．磁场Ⅰ的磁感应强度
C．b棒离开磁场Ⅰ时，a棒与ef的距离为
D．从静止释放到b棒离开磁场Ⅰ的过程中，b棒产生的焦耳热为0.2J
5．（2024·辽宁朝阳·二模）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨与水平面成角放置，导轨电阻不计，其顶端接有一电阻，底端静止一金属棒。整个装置处于方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中，为了使金属棒沿导轨上滑，磁感应强度开始随时间均匀变化，当金属棒运动到a处时磁感应强度开始保持不变。金属棒运动刚到a处时的速度大小为，继续滑行一段距离到达最高点b后，再返回到a处时的速度大小为。重力加速度为g，则（ ）
A．金属棒从导轨底端上滑到a的过程中，磁感应强度随时间在均匀增大
B．金属棒上滑经过ab段的加速度小于下滑经过ab段的加速度
C．金属棒上滑经过ab段和下滑经过ab段过程中，通过R的电荷量之比为1∶1
D．金属棒从a处上滑到b到再返回到a处的总时间等于
6．（2024·河南濮阳·一模）如图1所示，间距为L的两足够长平行光滑导轨处于竖直固定状态，导轨处在垂直导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，导轨顶端连接阻值为R的定值电阻。质量为m、接入电路电阻也为R的金属杆垂直接触导轨，让金属杆由静止开始下落，同时给金属杆施加竖直方向的拉力，使金属杆运动的速度v与运动位移x的关系如图2所示，当金属杆运动距离时撤去外力，金属杆恰能匀速运动。已知重力加速度大小为g，金属杆在运动的过程中始终与导轨垂直且接触良好，则金属杆运动距离的过程中（ ）
A．金属杆做初速度为零的匀加速直线运动
B．金属杆克服安培力做的功为
C．金属杆受到的安培力的冲量大小为
D．通过定值电阻的电量为
7．（23-24高三下·重庆·开学考）如图所示，在倾角为的光滑斜面上，存在两个磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场，磁场方向与斜面垂直，两磁场的宽度MJ和JG均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场时，线框恰好以速度做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v做匀速直线运动，则（ ）
A．当ab边刚越过GH进入磁场时，cd边电势差
B．当ab边刚越过JP时，线框加速度的大小为
C．从ab边刚越过JP到线框再做匀速直线运动所需的时间
D．从ab边刚越过GH到ab边刚越过MN过程中，线框产生的热量为
8．（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两条相距L的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．金属滑块开始运动瞬间加速度最大
B．金属滑块在轨道上运动的最大速度为
C．金属块滑离时电容器两极板的电荷量为
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为
9．（23-24高三下·山东济宁·阶段练习）如图所示，两根金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，两金属棒始终和导轨接触良好，左、右两部分导轨间距分别为L和2L，AB棒的质量为m且电阻为R，CD棒的质量为2m且电阻为2R，导轨间左、右两部分处在大小相等、方向相反的匀强磁场中，磁场方向如图所示。不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，使CD棒向右运动，导轨足够长，磁场区域足够大。下列说法正确的是（ ）
A．稳定后，AB棒向左匀速运动，CD棒向右匀速运动
B．稳定后，CD棒的加速度大小是
C．若F作用一段时间后，AB棒和CD棒速度大小均为，此时立即撤去拉力F，此后AB棒最终的速度大小为，方向向左
D．当AB棒和CD棒速度大小均为时，立刻撤去拉力F，之后的过程整个回路产生的焦耳热为
10．（2024·山东枣庄·一模）如图所示，足够长的平行金属导轨固定在水平面内，间距，电阻不计。与导轨左端连接的线圈面积，内阻，匝数匝。一根长，质量、电阻的导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨间的动摩擦因数。线圈内的磁场平行于轴线向上，磁感应强度的大小随时间变化的关系为；导轨之间的匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度的大小。时刻闭合开关，当时导体棒已达到最大速度，重力加速度。则（ ）
A．刚合上开关时导体棒的加速度为
B．导体棒运动速度的最大值为4m/s
C．内导体棒的位移大小为16m
D．内整个电路产生的焦耳热为20.8J
11．（2024·陕西宝鸡·二模）如图所示，两平行金属导轨由水平和弧形两部分组成，水平导轨窄轨部分间距为L，处在竖直向上、磁感应强度为2B的匀强磁场中，宽轨部分间距为2L，处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。现将两根质量均为m的导体棒a、b分别静置在弧形导轨和水平宽轨上，导体棒a从距水平导轨h处静止释放。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。两导体棒接入电路的电阻均为R，其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，a棒始终在窄轨磁场中运动，b棒始终在宽轨磁场中运动，重力加速度为g，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．a棒刚进入磁场时，b棒的加速度水平向左
B．从a棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，b棒上产生的焦耳热为
C．从a棒刚进入磁场到两棒达到稳定的过程中，通过b棒的电量为
D．从a棒进入磁场到两棒达到稳定的过程中，a、b棒与导轨所围线框的磁通量变化了
12．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，两根型平行光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为l和，处于竖直向下的磁场中，磁感应强度大小分别为和B。已知导体棒ab的电阻为R、长度为l，导体棒cd的电阻为、长度为，cd的质量是ab的3倍。两棒中点之间连接一原长为L轻质绝缘弹簧。现将弹簧拉伸至后，同时由静止释放两导体棒，两棒在各自磁场中往复运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直且接触良好，导轨足够长，电阻不计。下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，回路中始终产生顺时针方向的电流
B．整个运动过程中，ab与cd的路程之比为3∶1
C．cd棒克服安培力做的功等于cd棒产生的热量
D．整个运动过程中，通过cd的电荷量为
13．（2024·四川成都·二模）两相距为的长平行导轨EMP、FNQ按图示方式固定，MP、NQ水平，EM、FN与水平面夹角为，EFNM及MNQP区域内存在磁感应强度大小均为，方向垂直轨道平面向上的匀强磁场。金属杆ab以速度进入EFNM区域的同时，静止释放位于MNQP区域内的金属杆cd。整个过程ab，cd与两轨道始终垂直并保持良好接触，ab未到达MN，cd未离开PQ。两金属杆质量均为，电阻均为，重力加速度大小为，忽略导轨电阻及一切摩擦阻力。则（ ）
A．ab刚进入EFNM区域时，cd中电流方向由d到c
B．ab进入EFNM区域后，cd做加速度增大的加速运动，最终加速度保持恒定
C．ab中电流不变后的时间内，cd动量变化量的大小为
D．cd中电流不变后的时间内，cd上产生的焦耳热为
三、解答题
14．（2024·四川成都·一模）如图所示，间距为L=0.4 m平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为B1=0.5 T的竖直向上的匀强磁场；轨道上cd到QN的区域表面粗糙，长度为s=0.3 m，其余部分光滑。光滑导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，间距为L，由半径为r=m 的圆弧轨道与倾角为θ=37°的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平轨道右端点处于同一竖直线上；倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B2=1.0 T。质量为m1=0.2 kg的金属棒ef光滑；质量为m2=0.1 kg的金属棒ab粗糙，与导轨粗糙部分的动摩擦因数为μ=0.2，两棒粗细相同、阻值均为R=0.1 Ω；倾斜轨道端点CD之间接入的电阻R0=0.3 Ω；初始时刻，ab棒静止在水平导轨上，ef棒以v0=2 m/s的初速度向右运动，当两棒的距离增加x=0.5m时，ef棒恰好到达QN位置。若不计所有导轨的电阻，两金属棒与导轨始终保持良好接触，水平轨道与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于金属棒直径，忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6、cos 37°=0.8，求：
（1）两棒在水平轨道运动过程中，通过ab棒的最大电流；
（2）ab棒到QN的最小距离d；
（3）初始时刻至ef棒恰好达到稳定状态的过程中系统产生的焦耳热。
15．（2024·天津·一模）某公园的游乐场中引进了电磁弹射儿童车项目，可简化如图，宽度为L的水平轨道中BE、CH两段为绝缘材料制成，其余部分均为导体，且轨道各部分都足够长。ABCD和EFGH区域均存在竖直向下的匀强磁场B（B未知），AD处接有电容大小为C的电容器，FG处接有阻值为2R的定值电阻。儿童车可简化为一根质量m，电阻为R的导体棒（与轨道始终保持垂直且接触良好），开始时导体棒静止于AD处（如图），电容器两端电压为U0 ，然后闭合开关S，导体棒开始向右加速弹射。已知重力加速度为g，不计一切摩擦和阻力。求：
（1）开始时电容器所带的电荷量；
（2）若导体棒在ABCD轨道上获得的最终速度为v，求整个过程中定值电阻2R上产生的总热量Q；
（3）当B为多大时，导体棒在ABCD轨道上获得的最终速度最大？其最大值vm为多少？
16．（2024·北京西城·一模）磁力刹车是为了保证过山车在最后进站时的安全而设计的一种刹车形式。在轨道之间设置较强的磁场，刹车金属片安装在过山车底部，该装置（俯视）可简化为如图所示的模型：水平导轨间距为L，刹车金属片等效为一根金属杆ab，整个回路的等效电阻为R。磁场区域为方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，过山车的总质量为m。过山车以速度v进入磁场区域，通过磁场区域后速度变为0.5v。磁力刹车阶段不计摩擦力和空气阻力。
（1）求杆ab刚进入磁场区域时，受到的安培力F的大小和方向。
（2）求过山车通过磁场区域的过程中，电路中产生的焦耳热Q。
（3）求磁力刹车阶段过山车加速度大小a的变化范围。为使过山车加速度的大小不超过a ，磁感应强度的大小应满足什么条件？
17．（2024·广东揭阳·二模）如图所示，两根足够长的光滑金属直导轨平行放置，导轨间距L=20cm，两导轨及其所构成的平面与水平面的夹角θ=37°，整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小B=5T。现将质量分别为m1=0.1kg、m2=0.2kg的金属棒a、b垂直导轨放置，每根金属棒接人导轨之间的电阻均为R=1Ω。运动过程中金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒始终未滑出导轨，导轨电阻忽略不计，取重力加速度大小，sin37°=0.6，cos37°=0.8.
（1）先保持b棒静止，将a棒由静止释放，求a棒匀速运动时的速度大小v0；
（2）在（1）问中，当a棒匀速运动时，再将b棒由静止释放，求释放瞬间b棒的加速度大小a0；
（3）在（2）问中，从b棒释放瞬间开始计时，经过时间t0，两棒恰好达到相同的速度v（未知），求速度v的大小与t0的关系式及时间t0内a棒相对于b棒运动的距离△x。
18．（2024·广东惠州·一模）如图所示，电阻不计、竖直放置的平行金属导轨相距，与总电阻的滑动变阻器、板间距的足够长的平行板电容器连成电路，平行板电容器竖直放置．滑动变阻器的左侧有垂直导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度，电阻的金属棒ab与导轨垂直，在外力作用下紧贴导轨做匀速直线运动。合上开关S，当滑动变阻器触头P在中点时，质量。电量的带正电的微粒从电容器中间位置水平射入，恰能在两板间做匀速直线运动，取重力加速度。求：
（1）金属棒ab运动的方向及其速度大小；
（2）当触头P移至最上端C时，同样的微粒从电容器中间位置水平射入，则该微粒向电容器极板运动过程中所受重力的冲量大小（计算结果可用根式表示）。
19．（2024·浙江嘉兴·二模）如图所示是两组固定的间距皆为d的平行金属导轨（倾角为30°的abce和光滑水平桌面上的fghj），两者在e、b两点绝缘但平滑连接。abce处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，ac间接一阻值为R的电阻。fh间接一恒流源（电流大小恒为I且方向如圆圈中箭头所示），fghj所在的正方形区域kpqn处于另一磁场中。正方形金属线框水平放置在fg、hj间，左侧紧靠pq。线框右侧水平导轨间有一个长度为的区域，处于竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场中。将质量为m、电阻为R的导体棒A从倾斜导轨上某一位置静止释放，其在到达be前已达稳定速度。A始终与导轨垂直且接触良好，经过kpqn时磁场方向水平向左、磁感应强度大小（x为A到kn的距离）。已知线框质量为3m、边长为、自感系数为L，不计线框电阻；A与线框发生弹性碰撞后即撤出导轨区域。除kp、nq两段导轨动摩擦因数为外，其余部分皆光滑。求：
（1）倾斜导轨所处磁场的磁感应强度大小；
（2）A经过区域kpqn过程中摩擦产生的热量Q；
（3）线框出磁场时的速度大小。
20．（2024·云南昆明·一模）如图所示，两根相互平行且足够长的光滑长直金属导轨固定在水平绝缘桌面上，导轨间距为L，导轨上接有电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻。质量为m的导体棒PQ静止在导轨上，整个系统处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。开始时，电容器不带电。t＝0时刻，对PQ施加水平向右大小为F的恒力。PQ和导轨的电阻均不计，PQ运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。
（1）若保持开关断开、闭合，求PQ的最终速度；
（2）若保持开关闭合、断开，求PQ的加速度大小；
（3）若保持开关、都闭合，从t＝0到时间内PQ向右运动的距离为x，求时刻PQ的速度大小。
21．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）某同学设计了一个具有电磁缓冲功能的火箭模型，结构示意图如图所示。闭合矩形线圈固定在主体下部，线圈的总电阻为，匝数为边长为。模型外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为的匀强磁场。假设模型以速度与地面碰撞后，缓冲槽立即停止，此后主体在线圈与缓冲槽内磁场的作用下减速，从而实现缓冲。已知主体与线圈总质量为，重力加速度为，不计摩擦和空气阻力。
（1）求线圈中感应电流的最大值；
（2）当主体减速下落的加速度大小为时，求此时线圈中通过的电流大小及主体的速度大小；
（3）已知缓冲槽停止后主体下落距离为时，主体速度减为，此时主体和缓冲槽未相碰，求该过程中线圈产生的热量。
22．（2024·山西朔州·二模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，两导轨之间的距离为d=1m，导轨所在空间GH到JK之间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=0.5T，GH到JK之间的距离为L=3.0m。质量均为m=0.2kg、长度均为d=1m，阻值均为R=0.5Ω的导体棒a和导体棒b静止放置在导轨上。初始时，导体棒b在JK的左侧且到JK的距离为L1=1m，导体棒a在GH的左侧。现给导体棒a一个水平向右的初速度v0=6m/s，导体棒b经过JK时的速度大小为v1=2m/s，已知两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，两导体棒没有发生碰撞，求：
（1）导体棒a刚经过GH瞬间，导体棒b的加速度大小；
（2）导体棒a从GH运动到JK的过程中，导体棒a上产生的焦耳热。
23．（2024·广东·二模）如图所示为一套电磁阻尼装置原理图，在光滑水平地面上方存在着水平方向上的磁场，磁感应强度大小均为，磁场方向垂直于纸面向里、向外分区域交替排列，依次编号为区域1、2、3、4…，磁场区域足够多，每个区域的边界均保持竖直，且各区域宽度相等均为，现有一个正方形线圈，边长也为，线圈匝数，电阻，质量为，以初速度向右滑入磁场区域，重力加速度。
（1）线圈从开始进入区域1到刚要进入区域2的过程中，求流经线圈的电荷量；
（2）线圈从开始进入区域1到刚要进入区域2的过程中，求线圈产生的焦耳热；
（3）线圈从开始运动到最终停止，求线框右侧边完整经过的磁场个数。
24．（2024·海南·模拟预测）如图所示，间距为d光滑平行金属导轨由圆弧和水平两部分组成，两导轨之间连接一个阻值为R的定值电阻。水平导轨间存在磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向垂直导轨平面向下，质量为M、有效电阻也为R的金属棒甲静止在磁场左侧边界线上。现在将一根质量为m的绝缘棒乙，从圆弧轨道上距水平面高度为L处由静止释放，乙滑下后与甲发生弹性碰撞并反弹，然后再次与已经静止的甲发生弹性碰撞。甲始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）第1次碰后乙反弹的高度h；
（2）第1次碰撞到第2次碰撞过程中R上产生的热量；
（3）已知圆弧轨道的半径为r，如果圆弧轨道半径远大于圆弧的弧长，则乙第1次与甲碰撞后经过多长时间与甲发生第2次碰撞。
25．（23-24高三下·山东济宁·期末）如图所示，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属轨道，间距为L，电阻不计。虚线左侧区域有竖直向下的磁感应强度为B1=B的匀强磁场，虚线右侧有竖直向上的磁感应强度为B2=2B的匀强磁场。t=0时刻金属杆a以v1=v0的初速度向左滑动，金属杆b以v2=2v0的初速度向右滑动。金属杆ab始终与导轨垂直且接触良好，金属杆a始终在左侧轨道磁场区域运动，金属杆b始终在右侧轨道磁场区域运动。金属杆a的质量为m，电阻为2r，金属杆b的质量为2m，电阻为r。求：
（1）t=0时刻金属杆b瞬间的加速度大小；
（2）金属杆a最多能产生多少焦耳热；
（3）当金属杆b的速度为时，金属杆a的速度大小为多少。
26．（2024·湖北·二模）如图，间距为L=1m的U形金属导轨，一端接有电阻为的定值电阻，固定在高为h=0.8m的绝缘水平桌面上。质量均为m=0.1kg的匀质导体棒a和b静止在导轨上，两导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直，接入电路的阻值均为，与导轨间的动摩擦因数均为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），导体棒a距离导轨最右端距离为x=2.5m。整个空间存在竖直向下的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B=0.1T。用沿导轨水平向右的恒力F=0.4N拉导体棒a，当导体棒a运动到导轨最右端时，导体棒b刚要滑动，撤去F，导体棒a离开导轨后落到水平地面上。（重力加速度g取，不计空气阻力，不计其他电阻）求：
（1）导体棒a刚要离开导轨时的速度大小v；
（2）导体棒a由静止运动到导轨最右端的过程中，通过导体棒a的电荷量q以及导体棒a中产生的焦耳热；
（3）设导体棒a与绝缘水平面发生碰撞前后，竖直方向速度大小不变，方向相反，碰撞过程中水平方向所受摩擦力大小为竖直方向支持力的k倍（碰撞时间极短，重力冲量可忽略不计），，请计算导体棒a离开导轨后向右运动的最大水平距离lm。
27．（2024·湖南岳阳·二模）如图所示（俯视图），光滑绝缘水平面上有一边长的正方形单匝导体线框abcd，线框质量，总电阻。线框的右侧有两块条形区域的匀强磁场依次排列，条形区域的宽度也均为，长度足够长，磁场的边界与线框的bc边平行。区域Ⅰ磁场的磁感应强度为，方向竖直向下，区域Ⅱ磁场的磁感应强度为，方向也竖直向下。给线框一水平向右的初速度，初速度方向与bc边垂直，则
（1）若线框向右的初速度，求线框bc边刚进区域Ⅰ时，线框的加速度大小；
（2）若线框bc边能穿过区域Ⅰ，则线框bc边穿过区域Ⅰ的过程中，线框受到安培力的冲量；
（3）要使线框能完全穿过整个磁场区域，至少给线框多大的初速度。
28．（2024·江西九江·二模）如图甲所示，两根光滑平行导轨固定在水平面内，相距为L，电阻不计，整个导轨平面处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为R的电阻，沿导轨方向建立x坐标轴。质量为m、电阻为r的金属棒ab垂直导轨放置在处。在金属棒ab上施加x轴方向的外力F，使金属棒开始做简谐运动，当金属棒运动到时作为计时起点，其速度随时间变化的图线如图乙所示，其最大速度为。求：
（1）简谐运动过程中金属棒的电流i与时间t的函数关系；
（2）在时间内通过金属棒的电荷量；
（3）在时间内外力F所做的功；
（4）外力F的最大值。
29．（2024·天津和平·一模）某游乐园中过山车进入停车区时利用磁力进行刹车，磁力刹车原理可以简化为如图所示的模型：水平平行金属导轨处于竖直方向的匀强磁场中，金属棒MN沿导轨向右运动的过程，对应过山车的磁力刹车过程，假设MN的运动速度代表过山车的速度，MN所受的安培力代表过山车所受的磁场作用力。已知过山车以速度进入磁场区域，过山车的质量为m，平行导轨间距离为L，整个回路中的等效电阻为R，磁感应强度大小为B；已知刹车过程中轨道对过山车的摩擦阻力大小恒为f，忽略空气阻力，求：
（1）刚进入磁场区域时，过山车的加速度a；
（2）若磁力刹车直至速度减为0的过程所用时间为t，求此过程中摩擦力对过山车做的功W；
（3）若忽略摩擦阻力，求过山车运动到总位移的倍时，安培力的功率。
30．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，倾角均为、间距为L的平行金属导轨左右对称，在底端平滑相连并固定在水平地面上，左侧导轨光滑、长度为s，其上端接一阻值为R的定值电阻，右侧导轨粗糙且足够长。两导轨分别处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小均为的匀强磁场中。现将一质量为m、长度为L的金属棒自左侧导轨顶端由静止释放，到达底端前金属棒已经达到最大速度，金属棒滑上右侧导轨时，左侧磁场立即发生变化，使金属棒沿右侧导轨上滑过程中通过金属棒的电流始终为0。已知金属棒与右侧导轨间的动摩擦因数，重力加速度为g，除定值电阻外，其余部分电阻均不计。
（1）求金属棒第一次运动到导轨底端时的速度大小；
（2）金属棒第一次沿右侧导轨上滑过程中，求左侧磁场的磁感应强度与金属棒上滑距离x的关系式；
（3）金属棒在右侧导轨第一次上滑到最高点时，左侧磁场发生新的变化，使金属棒沿右侧导轨向下做加速度大小为的匀加速直线运动。当金属棒第二次运动到导轨底端时，求左侧磁场的磁感应强度的大小。
31．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图所示为一质量为m的动车电磁刹车装置的原理图。动车底部固定三个相同的、水平放置的正方形金属线圈，每个线圈的匝数均为N，边长均为L，电阻均为R，相邻的两线圈之间的间隔均为L。动车刹车时，在其行驶区域内会产生磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，磁场区域与无磁场区域间隔排列，每个磁场区域的宽度均为L，无磁场区域的宽度均为2L。以速度匀速行驶的动车刹车时，撤去动车的动力，动车从开始刹车到停下来行驶的距离为60L。刹车过程中，机械阻力始终为车重的0.1倍；空气阻力始终为所有线圈受到的安培力的0.1倍。已知重力加速度大小为g，求：
（1）线圈1从开始进入一磁场区域到完全进入该磁场区域的过程中，通过线圈1导线某横截面的电荷量；
（2）整个刹车过程中，三个线圈总共产生的焦耳热Q；
（3）整个刹车过程所用的时间t。
32．（2024·江苏南京·一模）如图所示，足够长“V”字形的金属导轨两侧与水平地面的夹角，最低点平滑连接，其间距为，左端接有电容的电容器。质量的导体棒可在导轨上滑动，导体棒与两侧导轨间的动摩擦因数相同，导体棒和导轨的电阻均不计。导轨左右两侧存在着垂直于导轨所在平面的匀强磁场，磁感应强度。现使导体棒从左侧导轨上某处由静止释放，经时间第一次到达最低点，此时速度，然后滑上右侧导轨，多次运动后，最终停在导轨的最低点。整个过程中电容器未被击穿，忽略磁场边缘效应和两个磁场间相互影响，重力加速度g取10，，。求：
（1）导体棒第一次运动到最低点时，电容器所带电荷量Q；
（2）动摩擦因数和导体棒第一次运动到最低点时，电容器储存的能量；
（3）导体棒运动的总时间。
33．（2024·黑龙江·二模）如图所示，相距为L的光滑平行水平金属导轨MN、PQ，在M点和P点间连接一个阻值为R的定值电阻。一质量为m、电阻也为R、长度也刚好为L的导体棒垂直搁在导轨上的a、b两点间，在导轨间加一垂直于导轨平面竖直向下的有界匀强磁场，磁场宽度为d，磁感应强度大小为B，磁场左边界到ab的距离为d。现用一个水平向右、大小为F的力拉导体棒，使导体棒从a、b处由静止开始运动，导体棒进入磁场瞬间，拉力方向不变、大小变为2F。已知导体棒离开磁场前已做匀速直线运动，导体棒与导轨始终保持良好接触，导轨电阻不计。求：
（1）导体棒进入磁场瞬间，定值电阻两端的电压；
（2）导体棒通过磁场区域的过程中，导体棒上产生的焦耳热；
（3）若要使导体棒进入磁场后一直做匀速运动，磁场左边界到ab的距离应调整为多少？
34．（2024·河北邯郸·一模）如图所示，水平面内固定有一“”形状的光滑金属框架导轨，顶角为，处于匀强磁场中，磁感应强度为大小为B，方向与导轨平面垂直。以导轨的顶点O为原点，建立坐标系，使得x轴与导轨的一条边重合。质量为m的金属杆与y轴平行、与两条导轨紧密接触。导轨与金属杆的材料相同，单位长度电阻均为，金属杆在与x轴平行的外力作用下，以速度沿x轴正方向匀速运动。金属杆经过原点O时开始计时，金属杆与框架足够长，求：
（1）外力随时间t变化的表达式；
（2）金属杆上产生的内能随时间t变化的表达式；
（3）若金属杆到O点距离为l时撤去外力，金属杆停下来的位置与原点O的距离。
35．（23-24高三下·云南·开学考）如图所示，两根完全相同的光滑平行长直导轨固定，长直导轨构成的平面与水平面的夹角，两导轨顶、底端分别连接电阻、，在导轨所在斜面上以为坐标原点建立平面直角坐标系，斜面上的矩形区域内分布有方向垂直于斜面向上的磁场，磁场沿x正方向磁感应强度，沿y方向均匀分布。某时刻在导轨斜面上上方处由静止释放一金属棒，金属棒进入磁场后，立即在棒上施加一方向沿斜面向上的力F，金属棒在磁场中的运动过程，棒中电流始终保持不变。已知导轨间距，磁场上边界与下边界间的距离，金属棒质量，金属棒与导轨接触的两点间电阻，，其余电阻不计，重力加速度大小，，不计空气阻力，棒下滑过程中始终与导轨垂直。求：
（1）金属棒刚进入磁场时流经的电流；
（2）金属棒通过磁场的过程中，电阻产生的焦耳热；
（3）金属棒通过磁场的过程中力F所做的功W。
36．（2024·湖南长沙·一模）如图，质量为m的均匀金属棒ab垂直架在水平面甲内间距为3L的两光滑金属导轨的右边缘处。下方的导轨由光滑圆弧导轨与处于水平面乙的光滑水平导轨平滑连接而成（即图中半径OM和（竖直），圆弧导轨半径为R、对应圆心角为60°、间距为3L，水平导轨间距分别为3L和L。质量也为m的均匀金属棒cd垂直架在间距为L的导轨左端。导轨与，与均足够长，所有导轨的电阻都不计。电源电动势为E、内阻不计。所有导轨的水平部分均有竖直方向的、磁感应强度为B的匀强磁场，圆弧部分和其他部分无磁场。闭合开关S，金属棒ab迅即获得水平向右的速度（未知，记为）做平抛运动，并在高度降低3R时恰好沿圆弧轨道上端的切线方向落在圆弧轨道上端，接着沿圆弧轨道下滑。已知重力加速度为g，求：
（1）空间匀强磁场的方向；
（2）棒ab做平抛运动的初速度；
（3）通过电源E某截面的电荷量q；
（4）从金属棒ab刚落到圆弧轨道上端起至棒ab开始匀速运动止，这一过程中棒ab和棒cd组成的系统损失的机械能。
37．（2024·安徽芜湖·二模）如图所示，足够长的两平行金属导轨倾斜固定放置，导轨平面倾角为，导轨间距，导轨底端接的定值电阻，导轨电阻不计。导轨处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小，质量、接入电路电阻的金属棒ab垂直置于导轨上。金属棒ab在大小为7.0N、方向始终沿轨道平面向上并垂直于金属棒的恒力F作用下，从静止开始沿导轨向上滑行，已知金属棒ab与导轨间的动摩擦因数，，，。求：
（1）金属棒从静止起向上运动的过程中，金属棒的最大加速度及拉力的最大功率分别为多少？
（2）当金属棒刚匀速运动时改变拉力的大小，使金属棒以的加速度沿轨道向上做匀加速运动，经过一段时间，拉力的冲量达到时，该段匀加速运动时间内，通过金属棒横截面的电量为多少？
（3）若当金属棒匀速运动时改变拉力的大小，使拉力F的功率恒为75W，此后经3s金属棒的加速度变为零，此过程电阻R中产生的焦耳热为20J，则此过程金属棒沿导轨向上运动的距离为多少？
38．（2024·四川成都·二模）MN、PQ是固定在水面内间距为L的两条光滑长直导轨，导轨位于竖直向上的匀强磁场中，a、b是用同种材料制成的两根长为L的均匀金属棒，其质量ma=3m，mb=m，金属棒a的电阻为R，开始a、b经静止垂直跨放在导轨上，它们之间的距离也为L，导轨电阻忽略不计。现使a棒以指向b棒的初速度开始运动，运动中两棒与导轨始终垂直且接触良好。
（1）若a棒开始运动瞬间加速度大小为，求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
（2）若a、b运动中不会发生碰撞，求当b棒的速度时a棒上产生的焦耳热Q；
（3）若a、b棒运动中发生弹性磁撞，不考虑碰撞过程中的电磁感应，最终a、b两棒之间的距离仍为L，求匀强磁场的磁感应强度大小B2。
39．（2024·河南南阳·一模）如图所示，光滑导轨与水平方向成夹角，间距为。虚线垂直于倾斜导轨且与边距离为，上方存在垂直斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度大小B随时间变化的关系式为（k为已知的常数且为正值）。间距为L粗糙的平行导轨、固定放置，j、n连线的右侧存在竖直向下磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为m的导体棒乙垂直水平导轨放置。现让质量为m的均匀导体棒甲在虚线的下方垂直倾斜导轨由静止释放，沿导轨下滑后到达转折点处，立即滑上水平导轨（在转折处速度由倾斜变成水平，大小不变），导体棒甲在水平导轨上滑行一段距离后停在导体棒乙的左侧。已知导体棒甲刚滑上水平导轨时，导体棒乙受到静摩擦力刚好达到最大值，导体棒甲在倾斜导轨上滑行时接入电路的电阻为R，其他的电阻均忽略不计，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒甲、乙与水平导轨之间的动摩擦因数相等，，，求：
（1）导体棒甲到达b、d处的速度大小以及导体棒乙与水平导轨间的动摩擦因数；
（2）导体棒甲在水平导轨上滑行的时间；
（3）导体棒甲由静止释放到停止运动产生的焦耳热。
