华山高级中学 2023-2024 学年度高一下学期期中考试卷 A．是增函数 B．是减函数
C．可以取到最大值 A D．可以取到最小值 A
数学
7．函数 y = sin x + ( 0)在 , 内单调递增，且图象关于直线 x = 对称，则 的值为
6 2 2本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页 .时量 120 分钟.满分 150 分.
（ ）
第Ⅰ卷
1 5 2 1
注意事项： A． B． C． D．
4 3 3 3
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
π
2．请将答案正确填写在答题卡上 8．函数 y = Asin ( x + )其中 A 0， 0， ，它的图象如图所示，则它是由 y = sin x 怎样变
2
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
换得到的（ ）
是符合题目要求的）
1．函数 y = sin 2x的最小正周期是（ ）
π π
A． B． C． π D．2π
4 2
2． sin330 =（ ）
1 2 3 1 3
A． B． C． D． 1 A．横坐标先向左平移 单位，再缩小为原来的 ，然后纵坐标拉伸为原来的 2 倍
2 2 2 2 π
4 3π 3 π
3．已知 sin ，则 cos + =（ ） B．横坐标先缩小为原来的 ，再向左平移 单位，然后纵坐标拉伸为原来的 2 倍
5 2 π 6
3 3 4 4 π 3
A． B． C． D． C．横坐标先向右平移 单位，再缩小为原来的 ，然后纵坐标拉伸为原来的 2 倍
5 5 5 5 6 π
4．下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是（ ） 3 1D．横坐标先缩小为原来的 ，再向左平移 单位，然后纵坐标拉伸为原来的 2 倍
π 2
1 x + 2, x 0
A． y = B． y = tan x C． y = ex e x D． y = 二、选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的四个选项中，有多项
x x 2, x 0
符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分）
5．函数 f (x) = Asin( x + )(A 0, 0,0 )的部分图象如图所示，将 y = f (x)的图象向左平移
9．设点 O是平行四边形 ABCD的对角线的交点，则下列结论正确的是（ ）
个单位长度得到函数 y = g(x)的图象，则函数 y = g(x)的解析式是（ ）
6 A． AO =OC B． AO = BO C． AO = BO D． AB 与CD共线
10．(多选)下列命题的判断正确的是（ ）
A．若向量 AB与向量CD共线，则 A，B，C，D四点在一条直线上
B．若 A，B，C，D四点在一条直线上，则向量 AB与向量CD共线
C．若 A，B，C，D四点不在一条直线上，则向量 AB与向量CD不共线
D．若向量 AB与向量BC共线，则 A，B，C三点在一条直线上
A． g(x) = sin 2x B． g(x) = sin(2x + )
3 π
11．已知函数 f (x) = 2cos x + ( 0)的最小正周期为 π，则（ ）
2 3
C． g(x) = sin(2x ) D． g(x) = sin(2x + )
3 3 π
A． = 2 B． x = 是 f (x)图像的一条对称轴
3
6．函数 f (x) = Acos( x + )(A 0, 0)在区间 m,n 上是增函数，且 f (m) = A， f (n) = A，则函数
π π 1
C． f (x)在区间 ,0 上单调递增 D． f (x)在区间 ,0 上的最小值为
3 3
2
g (x) = Asin ( x + )(A 0, 0)在区间 m,n 上（ ）
第 1 页 共 4 页 ◎ 第 2 页 共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
sin (2π )+ cos (3π + )
12．将函数 y = sin( x) 的图象先向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 3倍（纵坐
2 3 (2)求 π 的值.
sin sin (π )
标不变），得到函数 y = f (x)的图象（x∈R），下列结论错误的是（ ） 2
5 19．在平面内给定三个向量 a = (3, 2)，b = ( 1,2)， c = (4,1)， d = (8, y) .
A．函数 f (x)的图象最小正周期为 B．函数 f (x)的图象关于点 ( ,0)对称
12
(1)求满足a = mb+ nc 的实数
m,n的值；
C．函数 f (x)的图象在[0, ]上单调递增 D．函数 f (x)的图象关于直线 x = 对称
2 6
(2)若向量d 满足 (d c) // (a +b)，求向量d 的坐标.
第 II 卷（非选择题）
20．如图，在 ABC中，D、E 、F 分别是BC、CA、 AB 的中点，O是三角形内一点.求证：
三、填空题（本大题共 4小题，，每小题 5分，共 20 分）
π
13．若函数 f (x) = 2sin 3 x + ( 0) 的最小正周期为 π，则 的值为 ．
6
14．已知扇形的周长为 8，中心角为 2弧度，则该扇形的面积为 .
1 5π
15．若 cos = ，且 是第四象限角，则 cos + = .
4 2
16．函数 f (x) = 2sin ( x + ) 0, 的部分图象如图，下列结论正确的序号是 ．
2
（1）若O是 ABC的重心，则OA+OB +OC = 0；
（2） AD + BE +CF = 0.
21．据市场调查，某种商品一年内每月的销售额满足函数关系式：
π
① f (x)的最小正周期为 6； f (x) = Asin( x + ) + B(A 0, 0,| | )， x， (x N ) 为月份.已知 2月份该商品的销售额首次达
2
1
② f ( x) = 2sin x + ； 到最高为 11万元，7月份该商品的销售额首次达到最低为 3万元.
3 6
(1)求 f（x）的解析式；
③ f (x)的图象的对称中心为 3k ,0 (k Z)；
2 (2)求此商品的销售额超过 9万元的月份.
④ f (x)的一个单调递减区间为 ( 4 , )．
22．某同学用“五点法”画函数 f (x) = Acos ( x + )+ B (A 0, 0)的图象时，作出以下表格：
π 3π
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） x + 0 2π
2 2
π
17．已知函数 f (x) = cos 2x + ．
6 5π 11π
x
π
12 12
(1)求 f 的值；
6
f (x) 3 1 1 3
(2)求函数 f (x)的单调递减区间．
3
18．已知 sin = ，且 为第二象限角. (1)请将上表补充完整，并直接写出 f (x)的解析式；
5
π π (1)求 cos ， tan 的值； (2)求函数 f (x)在 , 上的最值及对应的 x的值．
2 3
第 3 页 共 4 页 ◎ 第 4 页 共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
参考答案：
1．C
2．A
3．C
4．C
5．D
6．D
7．C
8．D
9．AD
10．BD
11．AB
12．ABD
2
13．
3
【分析】根据正弦函数周期公式求解即可.
2π 2
【详解】由题意可得T = = π，解得 = ，
3 3
2
故答案为： .
3
14．4
【分析】设出扇形半径和弧长，列出方程组，求出 r = 2， l 4，进而求出扇形面积.
l = 2r
【详解】设扇形半径为 r ，弧长为 l ，则由题意得： ，解得： r = 2， l 4，所以
2r + l = 8
1 1
该扇形的面积为 lr = 4 2 = 4
2 2
故答案为：4
15
15．
4
16．②③
17．(1) 0
π 5π
(2) + kπ, + kπ ， k Z
12 12
答案第 1 页，共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
4 3
18．(1)cos = ； tan =
5 4
1
(2)
7
5 8
19．(1)m = ,n =
9 9
(2) d = (8,9)
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合向量相等列式求解即可；
（2）利用向量平行的坐标表示得到关于 y 的方程，解之即可得解.
【详解】（1）因为a = (3,2) ,b = ( 1,2) ,c = (4,1)且 a = mb+ nc ，
所以 (3,2) = ( m+ 4n, 2m+ n)，
5
m =
m + 4n = 3 9
则 ，解得 ，
2m + n = 2 8n =
9
5 8
所以m = ,n = ；
9 9
（2）因为a = (3,2)，b = ( 1, 2)， c = (4,1)，d = (8, y)，
所以d c = (4, y 1) ,a + b = (2,4)，
又 (d c ) // (a +b )，则4 4 2( y 1) = 0，解得 y = 9，
所以d = (8,9) .
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由O是 ABC的重心可得， AO = 2OD，利用平面向量的加法运算可证得命
题成立；
1
（2）由D、 E 、F 分别是BC、CA、 AB 的中点，可得 AD = (AB + AC)，
2
1 1
BE = (BA+ BC)，CF = (CA+CB) ，利用平面向量的加法运算可证得命题成立．
2 2
【详解】证明：（1） O是 ABC的重心， AO = 2OD，OB +OC = 2OD，
则OA +OB +OC = 2OD + 2OD = 0 .
（2） D、E 、F 分别是BC、CA、 AB 的中点，
1 1 1
AD = (AB + AC)， BE = (BA+ BC)，CF = (CA+CB) ，
2 2 2
答案第 2 页，共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
1 1 1
AD + BE +CF = (AB + AC) + (BA+ BC) + (CA+CB) = 0
2 2 2
π π
21．(1) f (x) = 4sin x + + 7
5 10
(2)1 月份、2 月份、3 月份、11 月份、12 月份
【分析】（1）待定系数法求三角函数解析式.
（2）求三角函数不等式的解集与1 x 12， x N 的交集即可.
T
【详解】（1）由题意可知 = 7 2 = 5，
2
∴T =10，
2π π
∴ = = ．
T 5
A+ B =11 A = 4
又 ，解得 ，
A+ B = 3 B = 7
π 2π
又 f (x)过点 (2，11) ，代入 f (x) = 4sin x + + 7得 sin + =1，
5 5
2π π
∴ + = + 2kπ， k Z．
5 2
π π
又 | | ，∴ = ，
2 10
π π
∴ f (x) = 4sin x + + 7．
5 10
π π π π 1
（2）令 f (x) = 4sin x + + 7 9 ，即： sin x + ，
5 10 5 10 2
π π π 5π 1 11
∴ + 2kπ x + + 2kπ， k Z，解得： +10k x +10k ， k Z．
6 5 10 6 3 3
又1 x 12， x N ，
∴ x =1，2，3，11，12，
即在 1 月份、2 月份、3 月份、11 月份、12 月份，此商品的销售额超过 9 万元．
π
22．(1)表格见解析， f (x) = 2cos 2x +1；
3
π π
(2)当 x = 时 f (x) = 3，当 x = 时 f (x) = 1
6 max 3 min
【分析】（1）由表格数据求出A 、 B 、 、 ，即可得到解析式，再根据五点法完善表格；
π
（2）由 x 的取值范围求出2x 的取值范围，再由余弦函数的性质计算可得.
3
答案第 3 页，共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
11π 3π
+ =
A+ B = 3 A = 2 12 2
【详解】（1）由表格数据可知 ，解得 ，又 ，解得
A+ B = 1 B =1 5π π + =
12 2
= 2
π，
=
3
π
所以 f (x)的解析式为 f (x) = 2cos 2x +1．
3
完善后表格如下：
π 3π
x + 0 π 2π
2 2
π 5π 2π 11π 7π
x
6 12 3 12 6
f (x) 3 1 1 1 3
π π
（2） x ，
2 3
4π π π π
2x ， 1 cos 2x 1， 1 f (x) 3，
3 3 3 3
π π
当 2x = 0即 x = 时， f (x)取得最大值，最大值为3．
3 6
π π
当 2x = π即 x = 时， f (x)取得最小只，最小值为 1 .
3 3
π π
所以当 x = 时 f (x) = 3，当 x = 时 f (x) = 1.
6 max 3 min
答案第 4 页，共 4 页
{#{QQABRYSUogiAAoAAARhCEwUSCEEQkBACCAoGgEAEIAAAyQNABAA=}#}
