期末重难点真题特训之易错必刷题型（93题31个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、等腰三角形的判定与性质
1．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，，，点是上一点，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，，若的面积为24，则点D到的距离为 ．
3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
易错必刷题二、等边三角形的判定与性质
1．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④
2．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点是内的定点，且．若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是 ．
3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形；
(3)连接，若，，求的长．
易错必刷题三、含30度角的直角三角形
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒．
3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
(1)当为何值时，为等边三角形？
(2)当为何值时，为直角三角形？
易错必刷题四、直角三角形的判定与性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
易错必刷题五、勾股定理的逆定理
1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在中，，， 的对边分别是，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积为 ．
3．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
易错必刷题六、线段垂直平分线的判定与性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为 ．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，．
(1)若的周长为，求线段的长；
(2)若，求的度数．
易错必刷题七、角平分线的判定与性质
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为（ ）．
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
易错必刷题八、不等式的基本性质
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集，则m的取值范围为 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
易错必刷题九、不等式的解集
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
①不是不等式的解；
②不等式的解集是；
③不等式的负数解有无限多个；
④不等式的负数解有无限多个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号）
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
易错必刷题十、一元一次不等式的整数解
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）不等式的负整数解有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的最大正整数解是 ．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值．
易错必刷题十一、一元一次不等式解的最值
1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
易错必刷题十二、一元一次不等式与一次函数
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，直线与y轴的交点为A，直线与直线的交点M的坐标为．
(1)__________，__________；
(2)直接写出关于x的不等式的解集__________；
(3)求的面积．
易错必刷题十三、求不等式组的解集
1．（2024·广东湛江·二模）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广东广州·期中）不等式组：的解集为 ．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：
(1)；
(2)．
易错必刷题十四、由一元一次不等式组的解集求参数
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如果不等式组的解集是
(1)求m的取值范围；
(2)当m为何整数时，不等式的解为
易错必刷题十五、不等式组和方程组相结合的问题
1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ．
3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值；
(2)若，求a的取值范围．
易错必刷题十六、一元一次不等式组应用
1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说“至少18元．”乙说：“至多15元．”丙说：“至多12元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把一些苹果分给几名同学，如果每人分3个，那么余8个；如果前面的每名同学分5个，那么最后一人就分不到3个，则苹果有 个．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉．
(1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？
(2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
易错必刷题十七、图形的平移
1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·云南昆明·期中）如图，把直角梯形沿方向平移得到梯形，，，则阴影部分的面积为 平方厘米．
3．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为．
(1)画出平移前的，并写出点和点的坐标；
(2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______；
(3)求的面积．
易错必刷题十八、图形的旋转
1．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（四川省成都市成都市石室天府中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则 °．
3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
(1)若．求的度数；
(2)若，，求的长．
易错必刷题十九、中心对称
1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西新余·模拟预测）点与点关于原点对称，则点A的坐标为
3．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中，画出关于原点O成中心对称的，并写出，，的点坐标．
(2)求的面积．
易错必刷题二十、提公因式法
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式 ．
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）（1）因式分解：．
（2）利用因式分解计算：．
易错必刷题二十一、用公式法进行因式分解
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
2．（2024·山东枣庄·三模）因式分解： ．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
易错必刷题二十二、分式有无意义的条件
1．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）当时，分式无意义，则 ．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？
(1)；
(2)．
易错必刷题二十三、分式变形
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）把通分，下列计算正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
2．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式：
（1）； ．
（2）； ．
（3）． ．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确．
易错必刷题二十四、分式的计算
1．（2024·山东济宁·一模）化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·二模）计算的结果是 ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）计算：
(1)；
(2)．
易错必刷题二十五、分式化简求值
1．（2024九年级下·云南·专题练习）已知，则（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
2．（23-24九年级下·四川成都·期中）已知，计算的值是 ．
3．（2024·安徽宿州·二模）先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值．
易错必刷题二十六、分式方程
1．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东滨州·一模）方程的解为 ．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：
(1)；
(2)．
易错必刷题二十七、分式方程增根与无解问题
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）关于x的分式方程有增根，则增根为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ．
3．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）给定关于x的分式方程，求：
(1)m为何值时，这个方程的解为？
(2)m为何值时，这个方程无解？
易错必刷题二十八、平行四边形的性质
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分交边于E，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ．
3．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，求的度数．
易错必刷题二十九、平行四边形的判定
1．（2024·黑龙江大庆·二模）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．如图是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
（1）作的垂直平分线交于点O （2）连接，在的延长线上取 （3）连接，，则四边形即为所求
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点、在的对角线上，连接、、、，求条件一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）
3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
(1)求证：．
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．
易错必刷题三十、三角形的中位线
1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．（22-23八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是 ．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．
易错必刷题三十一、多边形的内角和与外角和
1．（2024·广东湛江·二模）如图，在多边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）给出下面四个说法：
①三角形三个内角的和为；
②三角形一个外角大于它的任何一个内角；
③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；
④三角形的外角和等于．其中说法正确的是 ．
3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，六边形的内角都相等，．
(1)求的度数；
(2)探索与有怎样的位置关系，并说明理由．
期末重难点真题特训之易错必刷题型（93题31个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、等腰三角形的判定与性质
1．（2024·陕西渭南·一模）如图，在中，，，点是上一点，连接，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质．根据，得，再由外角性质得，故，再用勾股定理求解即可．
【详解】解：，
．
故选：D．
2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，与的平分线交于点D，经过点D，分别交于点E，F，，，若的面积为24，则点D到的距离为 ．
【答案】8
【分析】由等腰三角形的性质及角平分线的定义可得可得，再利用三角形的面积计算可求解．本题主要考查平行线的判定，角平分线的定义，三角形的面积，证明是解题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵平分
∴
∴，
∴
∵的面积为24，
设点D到的距离为h，
∴
解得：，
故答案为：8．
3．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征，余角的性质、对顶角的性质等知识点．
（1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论；
（2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再根据（1）是等腰三角形结合，设的长为x，则，由建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：，，，
，
设的长为x，则，
∵，，，
，即，
，
，
．
易错必刷题二、等边三角形的判定与性质
1．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，均是等边三角形，A，C，B三点在同一条直线上，分别与交于点M，N，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
可证明，得，可判定①；可证明，得可判定②；再由可证明为等边三角形，可判定③；根据现有条件无法证明，可判断④．
【详解】解：∵和均是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴
∴．故①正确，
∵，三点在同一条直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，故③正确．
根据现有条件无法证明，故④错误
∴正确的有①②③，
故选：C．
2．（23-24八年级下·福建福州·开学考试）如图，，点是内的定点，且．若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查最短路径问题；作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，则的长就是周长的最小值；通过对称性可知是等边三角形．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，
∴，，，，
∴，的长就是周长的最小值；
在中，，
，
，
，
；
故答案为：4．
3．（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，以为边作等边三角形．点E在外，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形；
(3)连接，若，，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、含角的直角三角形的特征：
（1）利用等边三角形的性质及可得，进而可得，则可求解；
（2）利用可证得，进而可得，再根据等边三角形的判定即可证结论；
（3）连接，可得，进而可得，再根据即可求解；
熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
（3）解：连接，如图：
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
易错必刷题三、含30度角的直角三角形
1．（23-24八年级下·江西九江·期中）如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在的两边上有两点和在运动，且点从离点有厘米远的地方出发，以厘米每秒运动，点从点出发以厘米每秒运动，则为直角三角形时，两点的运动时间为 秒．
【答案】
【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，分两种情况：当时，当时，分别结合含30度的直角三角形的性质列方程求解是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：，；
当时，
∵，
∴，则，
即：，解得：；
当时，
∵，
∴，则，
即：，此时无解；
综上，当时，为直角三角形，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．
(1)当为何值时，为等边三角形？
(2)当为何值时，为直角三角形？
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据直角三角形的性质，得出，根据题意，得，结合等边三角形的性质，列式作答即可．
（2）因为为直角三角形，所以分类讨论，即当时，或当时，，进行列式求解，即可作答．
【详解】（1）解： ，
．
,
∵动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为
；
当时，为等边三角形．
即
．
即当时，为等边三角形;
（2）解：若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即
即当或时，为直角三角形．
易错必刷题四、直角三角形的判定与性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有、、、、．
根据可判定，再根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为 ．
【答案】/14厘米
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据证明得，推出是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
易错必刷题五、勾股定理的逆定理
1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在中，，， 的对边分别是，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质及判定方法，理解并掌握直角三角形的判定方法是解题的关键．
根据直角三角形中，最大角的度数为可以判断A、B选项，运用勾股定理逆定理可判定C、D选项，由此即可求解．
【详解】解：A、
∵，
∴，则，能判定直角三角形，A选项不符合题意；
B、，
∴，即中最大角的度数为，
∴不能判定是直角三角形，B选项符合题意；
C、，
设，
∴，
∴，即，能判定是直角三角形，C选项不符合题意；
D、，能判定是直角三角形，不符合题意；
故选：B ．
2．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积为 ．
【答案】36
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运用，连接，先根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，且，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
．
故答案为：36．
3．（23-24八年级下·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）利用勾股定理解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和．
【详解】（1）解：，，，
；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
，
四边形ABCD的面积为．
易错必刷题六、线段垂直平分线的判定与性质
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查垂直平分线的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，根据题意，则，根据垂直平分线的性质，等量代换，得，根据周长为，，根据等量代换，求出，最后根据，即可．
【详解】∵，且，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，可设，再证明，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E，
∴，
∴设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
∴，
故答案为：．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，．
(1)若的周长为，求线段的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂直平分线，三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的内角和，即可．
（1）根据垂直平分线的性质，则，；根据的周长为，，即可；
（2）根据垂直平分线的性质，则，，根据三角形的内角和，求出，再根据等量代换，，即可．
【详解】（1）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴．
（2）∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
易错必刷题七、角平分线的判定与性质
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为，，，则的长为（ ）．
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，过点作于点，根据题意，则，根据的面积为，则，求出，即可．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得，根据的面积是，列式得，再进行计算，即可作答．
【详解】解：∵中，于E，于F，为的平分线
∴
∵的面积是，
∴
则
∴
解得
故答案为：2
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（1）过点E作于点H，利用角平分线的性质即得证；
（2）通过证明即可．
【详解】（1）证明：作，垂足为点，
平分，，，
∴，
平分，，，
，
；
（2）证明：，（已知）
，,
在和中，
，
，
．
易错必刷题八、不等式的基本性质
1．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，A错误，故不符合要求；
∴，B正确，故符合要求；
∴，C错误，故不符合要求；
∴，即，D错误，故不符合要求；
故选：B．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的解集，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式性质解答即可，本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：∵不等式的解集，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
（1）根据不等式的性质变形即可．
（2）根据不等式的性质变形即可．
（3）根据不等式的性质变形即可．
（4）根据不等式的性质变形即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴
（3）∵
∴
∴，
∴
（4）∵
∴，
∴，
∴．
易错必刷题九、不等式的解集
1．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有（ ）
①不是不等式的解；
②不等式的解集是；
③不等式的负数解有无限多个；
④不等式的负数解有无限多个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】此题主要考查了不等式的解的定义，以及不等式的解集的定义，关键是熟练掌握两个定义．根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集的定义：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析即可得到答案．
【详解】①不等式的解集为：，
∴不是不等式的解，正确；
②不等式的解集是，正确；
③不等式的负数解有无限多个，正确；
④不等式的负数解有无限多个，正确．
综上分析可知，此题正确的说法有4个．
故选：D．
2．（23-24七年级下·全国·课后作业）给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】③④
【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键；
根据解集和解的定义去判定即可．
【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误；
②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误；
③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确；
④不等式的解集是，故说法正确．
综上所述：正确的有③④
故答案为：③④．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，见解析
(2)，见解析
(3)，见解析
【详解】（1）解：
两边都减3，得，
在数轴上表示解集为：
（2）解：，
两边都除以3，得，
在数轴上表示解集为：
（3）解：，
两边都乘，得，
在数轴上表示解集为：
易错必刷题十、一元一次不等式的整数解
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）不等式的负整数解有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
不等式两边同除以得：，
不等式的负整数解有，，共3个，故D正确．
故选：D
2．（2024七年级下·全国·专题练习）不等式的最大正整数解是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解出不等式的解集，然后在解集范围内求出整数解即可，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
∴最大正整数解是3，
故答案为：3．
3．（23-24七年级下·福建厦门·期中）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，求m的值．
【答案】．
【分析】本题考查了一元一次不等式的解集和解一元一次方程．先求出不等式的解集，利用方程的解是不等式的最大整数解，即可求出的值，将的值代入方程即可求出的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项，合并同类项，得，
则最大的整数解是2．
把代入得：．
易错必刷题十一、一元一次不等式解的最值
1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解．
【详解】解：
①+②得，
∴
∵
∴
解得：
∴的最小整数值为，
故选：A．
2．（22-23八年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是 ．
【答案】8
【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可．
【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，
对于实数对，，，
，
，
解得：，
的最小整数值是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式．
3．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知关于x的方程．
(1)若该方程的解满足，求a的取值范围；
(2)若该方程的解是不等式的最大整数解，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程的解，再根据方程的解满足，得到关于x的不等式，即可求解；
（2）求出不等式的解集，根据该方程的解是不等式的最大整数解，可得，即可求解．
【详解】（1）解方程，得，
∵该方程的解满足，
∴，解得．
（2）解不等式，得，
则最大的整数解是．
把代入，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
易错必刷题十二、一元一次不等式与一次函数
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握数形结合是关键．
根据两个函数图象及交点坐标可以得到不等式的解集为，再根据两个函数值大于零，得到，继而得到不等式组的解集．
【详解】解：∵直线和直线都经过，
且直线与轴交于点，
∴不等式的解集为：．
故选：B．
2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小．
结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵两条直线相交于点，
∴当时，，
即关于的不等式的解集为．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，直线与y轴的交点为A，直线与直线的交点M的坐标为．
(1)__________，__________；
(2)直接写出关于x的不等式的解集__________；
(3)求的面积．
【答案】(1)3，1
(2)
(3)
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交问题，三角形面积，数形结合是解题的关键．
（1）把代入求得，把代入，即可求得的值；
（2）根据图象即可求得；
（3）求得的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】（1）解：直线与直线的交点为，
在直线上，也在直线上，
，
，
，
解得；
故答案为：3，1；
（2）解：观察图象可知，不等式的解集为；
故答案为：；
（3）解：直线与轴的交点为，
，
，
，
．
易错必刷题十三、求不等式组的解集
1．（2024·广东湛江·二模）不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
2．（23-24七年级下·广东广州·期中）不等式组：的解集为 ．
【答案】/
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：解不等式，得：；
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为：．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）解不等式组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，即可作答．
（2）分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，即可作答．
【详解】（1）解：
由，得出；
由，得出
∴不等式组的解集为；
（2）解：
由，去分母得
得出，即
由，得
解得
∴不等式组的解集为．
易错必刷题十四、由一元一次不等式组的解集求参数
1．（23-24八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出的范围即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键．
【详解】解：由，得：，
由，得：，
不等式组只有4个整数解，
∴
，
解得，
故选：A．
2．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ．
【答案】15
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值．
首先求出不等式组的解集为，然后根据，可以求得a的值，从而可以得到所有满足条件的a的值之和．
【详解】解：由不等式组得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解得：，
∵a是正整数，
∴，，，，5
∴所有满足条件的正整数a的值之和为：．
故答案为：15．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）如果不等式组的解集是
(1)求m的取值范围；
(2)当m为何整数时，不等式的解为
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”得原则是解题的关键．
（1）求出不等式组各不等式的解集，再与已知解集相比较即可得出m的取值范围；
（2）根据不等式的基本性质即可得出结论．
【详解】（1），
由①得，，
∵不等式组的解集是，
∴；
（2）∵不等式的解为，
∴，
解得．
易错必刷题十五、不等式组和方程组相结合的问题
1．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解：
得，
∵方程组的中x，y满足，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键．
2．（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，数量掌握相关解法是解题关键．先解二元一次方程组，进而得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
且，
，
，
的取值范围是，
故答案为：
3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）若关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解x、y满足方程，求a的值；
(2)若，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可，
（2）用含有的式子表示， ，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
代入得：，
解得：，
故的值为，
（2）把，代入得：，
解得：，
故的取值范围为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式．
易错必刷题十六、一元一次不等式组应用
1．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说“至少18元．”乙说：“至多15元．”丙说：“至多12元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
根据三人说法都错了得出不等式组解答即可．
【详解】根据题意可得：，
可得：，
∴．
故选：B．
2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）把一些苹果分给几名同学，如果每人分3个，那么余8个；如果前面的每名同学分5个，那么最后一人就分不到3个，则苹果有 个．
【答案】26
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，准确理解“最后一人就分不到3本”是解题的关键．设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，由题意列方程，由最后一人就分不到3本，可知或，代入求解即可．
【详解】解：设共有x人，第2种分法最后一人分到了a本，
根据题意可知，，
整理得，，
∵，
∴或或，
当时，（舍去），
当时，，
当时，（舍去），
∴共有6人，则苹果有，
故答案为：26．
3．（2024七年级下·江苏·专题练习）某物流公司将一批猪肉运往某地，现有A，B两种型号的运输车可供调用，已知2辆A型车与3辆B型车一次可运36吨猪肉，5辆A型车与6辆B型车一次可运81吨猪肉．
(1)一辆A型车与一辆B型车一次各运猪肉多少吨？
(2)该物流公司决定派出A，B两种型号的运输车共18辆参与猪肉运输，若每次运输总量不小于152吨，且B型车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
【答案】(1)一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨
(2)派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，根据题意列出二一元一次方程组求解即可；
（2）设B型车a辆，则A型车辆，根据题意列出一元一次不等式组，求出，然后根据a为整数求解即可．
【详解】（1）设一辆A型车一次运猪肉x吨，一辆B型车一次运猪肉y吨，
由题意可得：，
解得：，
答：一辆A型车一次运猪肉9吨，一辆B型车一次运猪肉6吨；
（2）设B型车a辆，则A型车辆，
由题意可得：，
解得：，
∵a为整数，
∴或3，
答：派出2辆B型车，16辆A型车或派出3辆B型车，15辆A型车．
易错必刷题十七、图形的平移
1．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将直角三角形沿方向平移2得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平移的性质、求阴影部分的面积等知识，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．由平移的性质可知，，，进而得出，最后根据面积公式得出答案即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．（23-24七年级下·云南昆明·期中）如图，把直角梯形沿方向平移得到梯形，，，则阴影部分的面积为 平方厘米．
【答案】168
【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积进行求解即可．
【详解】解：∵直角梯形沿方向平移得到梯形，
∴，直角梯形和梯形的面积相等，
∴阴影部分的面积等于梯形的面积，，
∴阴影部分的面积等于；
故答案为：168
3．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为．
(1)画出平移前的，并写出点和点的坐标；
(2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见详解，，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换，
（1）先得出，再结合，可知是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，据此画出，即可求解；
（2）根据是由先向右平移4个单位，再下平移3个单位得到的，即可求解；
（3）利用割补法即可求解．
【详解】（1）如图可知：，
∵，
∴将先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到，
如图，即为所求；
，
由图可知：，；
（2）解：解：根据题意得：是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的，
∴点在内的对应点的坐标是．
故答案为：；
（3）解：的面积
．
易错必刷题十八、图形的旋转
1．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转的性质，外角的性质，由绕点顺时针旋转后得到，可知，所以，根据外角性质即可求解．
【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到，
∴
，
，
是三角形的外角，
．
故选：C．
2．（四川省成都市成都市石室天府中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则 °．
【答案】90
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得是等腰三角形，再根据其性质求出，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：将绕点A逆时针旋转，
，，，
，
，
，
，
故答案为：90．
3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
(1)若．求的度数；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后，对应边及对应角相等，以及勾股定理，掌握相关结论是解题关键.
（1）求出，结合即可求解；
（2）求出，根据旋转得，，进而得，即可求解；
【详解】（1）解：在中，，，
，
由旋转得，，
，
．
（2）解：在中，
，，，
，
由旋转得，，，
，
在中，由勾股定理得：．
易错必刷题十九、中心对称
1．（23-24八年级下·广东佛山·期中）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”、“中国七巧板”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、C都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．（2023·江西新余·模拟预测）点与点关于原点对称，则点A的坐标为
【答案】
【分析】本题主要查了本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可以直接得到答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∴点A的坐标为．
故答案为：
3．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)在平面直角坐标系中，画出关于原点O成中心对称的，并写出，，的点坐标．
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析，，，
(2)2
【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点，，，然后描点即可得到．
（2）利用割补法进行计算
【详解】（1）如图，为所作．
∴，，；
（2）
易错必刷题二十、提公因式法
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解．
【详解】解：多项式的各项公因式是
故选：D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是因式分解，熟知因式分解的提公因式法是解题的关键．
利用提公因式法进行因式分解即可得出结论．
【详解】解：．
故答案为：(答案不唯一)．
3．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）（1）因式分解：．
（2）利用因式分解计算：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用提公因式法因式分解求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
易错必刷题二十一、用公式法进行因式分解
1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则的值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，可得，，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
故选D
2．（2024·山东枣庄·三模）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）因式分解
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解；
（2）根据平方差公式计算即可求解；
（3）根据十字相乘法分解因式即可求解；
（4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
易错必刷题二十二、分式有无意义的条件
1．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：∵当时，分式无意义，
∴，
解得：，
当时，分式的值为0，
即，
解得：，
∴，
故选：D．
2．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）当时，分式无意义，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了分式有意义的条件，能熟记当分母时分式、为整式）无意义是解此题的关键．
根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：当时，分式无意义，
∴
．
故答案为：2．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？
(1)；
(2)．
【答案】(1)x为任意实数
(2)且
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0．
（1）根据分母不为0可得x的取值范围；
（2）根据分母不为0可得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴x为任意实数．
（2）解：，
解得且．
易错必刷题二十三、分式变形
1．（2024八年级下·江苏·专题练习）把通分，下列计算正确的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】本题考查了分式的性质，掌握分子和分母同时乘以一个不为0的数，分式的值不变是解题关键．先找出最简公分母，再根据分式的性质通分即可．
【详解】解：两分式的最简公分母为，
，，
故选：B．
2．（23-24九年级上·山东济南·阶段练习）在括号里填上适当的整式：
（1）； ．
（2）； ．
（3）． ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
故答案为：；
（3）．
故答案为：．
3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确．
【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析
【分析】根据分式的基本性质分析判断即可．
【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确；
乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键．
易错必刷题二十四、分式的计算
1．（2024·山东济宁·一模）化简分式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算．
【详解】解：
，
故选：A．
2．（2024·湖北武汉·二模）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将能因式分解的进行分解，把除法化成乘法再计算，然后计算分式加减法即可．
【详解】
；
3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据分式的乘方以及分式的乘法运算进行计算即可求解；
（2）根据分式的加减与除法进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
易错必刷题二十五、分式化简求值
1．（2024九年级下·云南·专题练习）已知，则（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
【答案】C
【分析】本题主要考查了完全平方式．将原式利用完全平方和公式进行变形即可得出答案．
【详解】解：，
∴．
故选：C．
2．（23-24九年级下·四川成都·期中）已知，计算的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
∵
∴
∴原式
故答案为：．
3．（2024·安徽宿州·二模）先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
易错必刷题二十六、分式方程
1．（2024·广东湛江·二模）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入公分母进行检验即可；
【详解】解：，
去分母得，，
解得，，
经检验，是原方程的解，
即方程的解是，
故选：A
2．（2024·山东滨州·一模）方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
方程两边同乘，去分母得，
去括号得：，
移项，合并同类项，得：，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的增根，原分式方程无解．
易错必刷题二十七、分式方程增根与无解问题
1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）关于x的分式方程有增根，则增根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程的增根，根据最简公分母为零计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴，
故选：D．
2．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ．
【答案】1
【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值．
【详解】解：∵，
去分母，得：，
∵分式方程无解，
∴，
解得：，
把代入，则
，
解得：；
故答案为：．
3．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）给定关于x的分式方程，求：
(1)m为何值时，这个方程的解为？
(2)m为何值时，这个方程无解？
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程无解问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把原分式方程化简为整式方程，整理得，把代入原方程，即可作答．
（2）无解即为分母为0的情况，进行列式代入数值，进行计算即可．
【详解】（1）解：
∴
∵
∴
解得
（2）解：∵，且该方程无解
∴或者原分式方程的分母为0，即
∴
把代入，得
∴
综上：或，方程无解．
易错必刷题二十八、平行四边形的性质
1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，平分交边于E，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选B．
2．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，四边形是平行四边形，，，，若直线平分四边形的面积，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键．
连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可．
【详解】解：如图，连接和，交于点G．
∵四边形是平行四边形，
∴G为中点，
∵，，
∴，即．
∵平分平行四边形的面积，
∴必过G点，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，平分，交于点，，交的延长线于点．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由四边形是平行四边形，可得，可推出，，再结合和平分，可得，最后由和平行四边形的性质即可求解．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
．
易错必刷题二十九、平行四边形的判定
1．（2024·黑龙江大庆·二模）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．如图是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
（1）作的垂直平分线交于点O （2）连接，在的延长线上取 （3）连接，，则四边形即为所求
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
2．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点、在的对角线上，连接、、、，求条件一个条件使四边形是平行四边形，那么这个条件是 ．（只填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：添加：，理由如下：
连接交于点，如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
故答案为：（答案不唯一）
3．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，中，E、F为对角线上的两点，且，连接，．
(1)求证：．
(2)连接、，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据四边形的性质得出，，证明，得出即可；
（2）根据，得出，，证明，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
在与中
，
∴，
∴．
（2）证明：连接、．
由（1）得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
易错必刷题三十、三角形的中位线
1．（2023·山西吕梁·三模）如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是，则的周长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出，，再根据点是的中点，三角形中位线定理得出，，继而求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是的中点，
∴，，
∵的周长是，即
∴的周长，
故选：B．
2．（22-23八年级下·北京西城·期中）如图，在中，，在边上截取，连接，过点A作于点E．已知，如果F是边的中点，连接，那么的长是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形三线合一的性质和中位线的性质，熟练掌握以上知识点并运用数形结合的思想是解题关键．根据勾股定理确定的长度，进而确定的长度；再根据等腰三角形三线合一的性质确定E为中点，再根据中位线的性质求出的长度．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，
∴E为中点，．
∴，
又∵F是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：1．
3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，中，，，平分，，延长交于点，是的中点，求的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理．根据平分，，运用易证明．根据全等三角形的性质，得，，从而在中，根据三角形的中位线定理就可求解．
【详解】解：，
，
又平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
又是的中点，
，
是的中位线，
．
易错必刷题三十一、多边形的内角和与外角和
1．（2024·广东湛江·二模）如图，在多边形中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的内角和定理，用多边形的内角和减去与的差值，进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接
∵多边形的内角和为，
∴；
故选C．
2．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）给出下面四个说法：
①三角形三个内角的和为；
②三角形一个外角大于它的任何一个内角；
③三角形一个外角等于它任意两个内角的和；
④三角形的外角和等于．其中说法正确的是 ．
【答案】④
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形外角和，根据三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形外角和求解即可．
【详解】解：①三角形三个内角的和为，原说法错误，不合题意．
②三角形一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原说法错误，不合题意．
③三角形一个外角等于与它不相邻两个内角的和，原说法错误，不合题意．
④三角形的外角和等于，正确，符合题意．
故答案为：④．
3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）如图，六边形的内角都相等，．
(1)求的度数；
(2)探索与有怎样的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平行线的判定：
（1）先根据多边形内角和定理求出，再由四边形内角和定理求解即可；
（2）同理可得，则，即可得到，则．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
同理可得，
∴，
∴，
∴．
