2024年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）数学（二）
目 录 contents
（二）
三角恒等变换（选填题）……………………………………………………03
平面向量（选填题）…………………………………………………………18
指对数运算及比较大小（选填题）…………………………………………37
三角函数（选填题） ………………………………………………………50
集合（选填题）………………………………………………………………70
三角恒等变换（选填题）
年份 题号 知识点 考点
2021年I卷 6 三角恒等变换 已知条件求值问题
2021年II卷 无
2022年I卷 无
2022年II卷 6 三角函数化简 ①三角函数和差、半角正余弦公式 ②三角函数和差、半角正切公式 ③三角函数辅助角公式 ④三角函数万能公式
2023年新高考1 8 三角恒等变换 ①三角函数和差、半角正余弦公式 ②三角函数和差、半角正切公式 ③三角函数辅助角公式 ④三角函数万能公式
2023年新高考2 7 三角函数的诱导公式 ①三角函数和差、半角正余弦公式 ②三角函数和差、半角正切公式 ③三角函数辅助角公式 ④三角函数万能公式
近三年，三角恒等变换在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：
已知条件求值问题（①“给角求值”②“给值求值”③“给值求角”）
2、求非特殊角三角函数值运算（①整体换元利用恒等变形公式计算其结果②对偶式处理③记住一些特殊角的三角函数值）
3、正余弦三角函数值加减问题（①三角函数和差、半角正余弦公式②三角函数和差、半角正切公式③ 三角函数辅助角公式④三角函数三剑客）
4、与齐次式互换（掌握五类变形的标准）
题干的设置一般来说在上述的四项考点中选其一项。三角恒等变换需要认真分类，熟练掌握各类题的技巧，即目测题后瞬间就能想到对应的做题方案，便可轻松搞定。
三角恒等变换在2024新高考新题型中的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查齐次化和已知条件求值问题为主，三角恒等变换在选填中难度中等，考生可适当留意常见的变换并分类，每一类总结出一个固定模板，以便此类题在高考出现时考生能做到心中有数，快速解答.
一、已知条件求值问题
Ⅰ诱导公式的秒记
奇变偶不变，符号看象限
①奇变偶不变关键要看所加弧度是的奇数倍还是偶数倍
若是奇数倍则互变，若是偶数倍，则不变
例如：∵是的3倍，3属于奇数，故先变为
②符号看象限首先将永远看成，其次利用看上下，看左右进行秒杀
上个例题中变成后，然后判断符号，，所以位于第四象限，利用看上下，所以原式为负，化简结果为
例如：∵是的2倍，2属于偶数，故先变为，然后判断符号，，所以位于第三象限，利用看左右，所以原式为负，化简结果为.
Ⅱ诱导公式的延伸
结论Ⅰ：
推导如下 ①当时，
由诱导公式有
②当时，由诱导公式有
结论Ⅱ：
推导如下 ①当时，
由诱导公式有
②当时，由诱导公式有
结论Ⅲ：
①当时，
由诱导公式有
②当时，由诱导公式有
结论Ⅳ：
推导如下 ①当时，
由诱导公式有
②当时，由诱导公式有
Ⅲ诱导公式的妙用
技巧总结
题中出现同名三角函数相加且首尾互余或互补时，则采用倒序相加的思想处理此类问题
模型：…①
…②
由①+②得
由诱导公式可得每一组都为0
Ⅳ诱导公式的超级应用
技巧总结
针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）
第一步：将目标角和已知角全拿出来
第二步：通过加减乘消去或
第三步：用已知角代替目标角
第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理
二、求非特殊角三角函数值运算问题
Ⅰ三角函数非特殊角选择问题
技巧总结
记住常见数据：
Ⅱ三角函数非特殊角填空问题
技巧总结
一些非特殊角的三角恒等变形求值填空题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元，再利用恒等变形公式计算其结果
Ⅲ针对非特殊角三角函数值运算有两种思路
思路1：采用对偶式处理
步骤如下：
第一步：令原式为，对偶式为
第二步：两式相加，两式相减
第三步：解二元一次方程组，求解
思路2：若原式拥有两个角的运算，可借助三角形处理
步骤如下：
第一步：构造△ABC,外接圆直径
第二步：应用正弦定理求出
第三步：应用余弦定理表示求出答案
三、正余弦三角函数值加减问题
Ⅰ三角函数三剑客
技巧总结
三角函数称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》
理由如下：
如果已知求必须会判断的正负
判断如下：
①关于的符号判断
当角的终边在区域2、3、4、5则有
当角的终边在区域1、6、7、8则有
当角的终边在直线上时，则有
②关于的符号判断
当角的终边在区域8、1、2、3则有
当角的终边在区域4、5、6、7则有
当角的终边在直线上时，则有
③关于的符号判断
当角的终边在区域1、2、5、6则有
当角的终边在区域3、4、7、8则有
当角的终边在轴上时，则有
结论：④若则
Ⅰ当角在终边在区域1、2内时，
Ⅱ当角在终边在区域3、8内时，
Ⅲ当角在终边在区域4、7内时，
Ⅳ当角在终边在区域5、6内时，
⑤若则
Ⅰ当角在终边在区域3、4内时，
Ⅱ当角在终边在区域2、5内时，
Ⅲ当角在终边在区域1、6内时，
Ⅳ当角在终边在区域7、8内时，
结论1：出现形式则采用对偶式处理
然后利用二元一次方程组快速求解
特殊情况：则
结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理
Ⅱ三角函数和差、半角正余弦公式
技巧总结
①两角和与差的正弦公式 口诀：正余余正，符号相同
故：
②两角和与差的余弦公式 口诀：余余正正，符号相反
Ⅲ三角函数和差、半角正切公式
技巧总结
① ②
③
④
⑤ ⑥
⑦
只要都有
只要都有
只要都有
⑧中，（正切恒等式）
Ⅳ三角函数辅助角公式
技巧总结
形如：
第一步：
第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.
第三步：的求算，只需在第一象限标明点寻找夹角即可达到秒杀的境界.
注意：若果，则需提负号，继续遵循以上步骤
三角函数万能公式
技巧总结
万能公式如下
①
②
③ ④
记忆方法：令
之所以称之为万能公式是因为只要明确的值，则可以秒求
四、与齐次式互换
技巧总结
形式如下：
①形如的分式，可将分子分母同时除以
得：
②形如的分式，可将分子分母同时除以
得：
③形如的式子，可将其看成分母为1的分式
即：
可将分子分母同时除以
即：
④形如
求即可
⑤形如转化为形式③
典例1【2023新高考1卷】已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B
典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】 已知为锐角，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D．
典例3【2022新高考全国II卷】若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C.
典例4【2021新高考全国Ⅰ卷】 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A.
预测1（2024·宁夏银川·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
预测2（2024·浙江·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
预测3（2024·山西·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
预测4（2024·贵州遵义·模拟预测）已知向量，，当取得最大值时（ ）
A． B． C． D．
预测5（2024·青海西宁·模拟预测）已知,则（ ）
A． B． C． D．
押题1已知，则（ ）
A． B． C． D．
押题2已知，则（ ）
A．3 B． C． D．2
押题3已知，则（ ）
A． B． C． D．
押题4若，且，则（ ）
A． B． C． D．1
押题5已知满足，则（ ）
A． B． C． D．
名校预测
预测1：答案A
【详解】，解得，
所以
.
故选：A.
预测2：答案B
【详解】因为，
又，
所以，
因为，
则.
故选：B.
预测3：答案C
【详解】由，
得，
即，所以，
所以，
所以.
故选：C.
预测4：答案A
【详解】，其中，，
故当时，取得最大值，
此时，
故选：A.
预测5：答案C
【详解】因为,
又,
所以,
故选C.
名师押题
押题1：答案B
【详解】由 可得，又，则，
故故选：B．
押题2：答案A
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.
故选：A
押题3：答案A
【详解】，，，
，
故选：A．
押题4：答案A
【详解】由得，
即，
因为，所以，
所以，结合，且，
得，所以.
故选：A.
押题5：答案B
【详解】由，得，
所以.
故选：B
平面向量（选填题）
年份 题号 知识点 考点
2021年I卷 10 坐标向量 坐标向量与三角函数的综合
2021年II卷 15 平面向量 平面向量数量积
2022年I卷 3 平面向量 用基底表示某向量
2022年II卷 4 坐标向量 平面向量数量积
2023年新高考1 3 坐标向量 平面向量数量积
16 平面向量 平面向量与双曲线综合
2023年新高考2 13 平面向量 平面向量数量积
近三年，平面向量在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：
1、平面向量的基础知识及共线定理（①平面向量的四则运算②平面向量共线定理）
2、平面向量极化恒等式及等和线（①极化恒等式②等和线定理）
3、平面向量建系法及对角线向量定理（①平面向量建系法.②对角线向量定理③平面向量奔驰定理及向量四心④平面向量的基本运算及基底）
题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。平面向量题目中若表示向量则最好采用建系的思想，平面向量题目中若表示求向量积最值问题则最好采用极化恒等的思想，另外考生们要想灵活应用小技巧则需在有限的时间内多推导几遍，考场中便可轻松搞定。
从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中平面向量数量积定值和向量积最值考查比较频繁平面向量三类题目比重相当，新高考主要以基向量表示平面向量及向量积最值的形式考查，因小结论偏多，考生需多推导一遍，试题灵活，下面为考生已总结..
一、平面向量的基础知识及共线定理
平面向量的四则运算
技巧总结
①向量加法与减法的法则：
平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.
图形表示：
字母表示：，
坐标表示：记，则
三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
图形表示：
字母表示：
坐标表示：记，则
②向量数乘的定义
实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作
图形表示：
字母表示：
坐标表示：记， 则
③两个向量的数量积
图形表示：
字母表示：
坐标表示：记，，则
注意：
1、向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得.
2、设，，
⊥.
3、两个向量，的夹角公式：.
平面向量共线定理
技巧总结
定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线.
证明:(1)由三点共线.由得
.
即，共线，故三点共线.
(2)由三点共线.
由三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
推广1：分点恒等式
①当为中点时； ②当；
③当时； ④当时，
⑤当时，④中的结论仍然成立
结论：分点恒等式：在中，为直线上一等分点，当时，
有
分点恒等式变形：
在中，是上的点，如果，则
二、平面向量极化恒等式及等和线
向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
证明：不妨说则，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
将上面（1）（2）两式相减， 极化恒等式
即：（平行四边形模式）
(
A
B
C
M
)
在三角形中（为的中点），恒等式：
因为，所以（三角形模式）
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.
常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。
平面向量共线定理：已知，若，则三点共线；反之亦然。
等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或在平行于的直线上，则（定值）。反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
结论：（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
（6）定值的变化与等和线到点的距离成正比。
证明过程：如图所示，直线，为直线上任一点，设．当直线不过点时，直线与直线的交点记为，因为点在直线上，所以由三点共线结论可知，若，则.由与相似，知必存在一个常数，使得，则.又，
所以以上过程可逆．
因此得到结论：，则（定值），反之亦成立．
三、平面向量建系法及对角线向量定理
常见的坐标系建立
①边长为的等边三角形 ②知道夹角的任意三角形
③正方形 ④矩形
⑤平行四边形 ⑥ 直角梯形
⑥ 等腰梯形 ⑦圆
建系原则：尽可能让多个点位于坐标轴上.
解题步骤：第一步： 将已知条件进行坐标处理；第二步： 利用平面向量共线坐标表示列式求解；第三步： 得出结论.
对角线向量定理：
证明过程：在中，由余弦定理的向量式有；
在中，同理有.所以在四边形中，
即，表明四边形的两条对角线对应向量的数量积可用四条边的长度表示。
结论1：当时，有 .
当对角线相互垂直时，四边形两组对边的平方和相等．
结论2： 这些结论适用于任何情况
奔驰定理
技巧总结
Ⅰ：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：
证明过程：如图延长与边相交于点，
则 ，
推论：已知为内一点，
且．则有
①．
②．
Ⅱ：奔驰定理在三角形四心中的具体形式：
（1）是的重心.
（2）是的内.
（3）是的外心.
（4）是的垂心.
四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
模型总结：
模型一：是的重心.
证法1：设
是的重心.
证法2：如图
三点共线，且分为2：1，是的重心
模型二：为的垂心.
证明：如图所示是三角形的垂心，垂直，垂直，是垂足.
同理，为的垂心
模型三：设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心
为的内心.
证明：分别为方向上的单位向量，平分,
)，令（)
化简得
模型四：为的外心。（证明略）
模型五：变形四心
变形1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的重心
证明：，分别为边的中点.
//
点的轨迹一定通过的重心.
变形2：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的内心
证明：分别为方向上的单位向量，
平分,点的轨迹一定通过的内心.
变形3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的垂心
证明：垂直，垂直， 是垂足.
=
==+=0
点的轨迹一定通过的垂心.
变形4：是所在平面内一点，动点满足
，，则动点的轨迹一定通过的重心
证明：，为边上的高∴.
变形5：已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心。
证明：取BC中点M, 则，
,移项后同乘
，即
变形6：若为所在平面内一点，且
则点是的垂心
证明：
得,即，同理可得
典例1【2021新高考1卷】已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC
典例2【2021新高考全国Ⅱ卷】 已知向量，，，_______．
【答案】
【解析】由已知可得， 因此，. 故答案为：.
典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B．
典例4【2022新高考全国Ⅱ卷】 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】解：,,即,解得, 故选：C
典例5【2023新高考全国Ⅰ卷】 已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D．
预测1（2024·广东佛山·模拟预测）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
预测2（2024·安徽池州·模拟预测）已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
预测3（2024·广西·模拟预测）已知向量满足，，则的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
预测4（2024·河南信阳·模拟预测）已知为单位向量，向量满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B．2 C． D．5
预测5（2024·宁夏固原·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
押题1：在平行四边形中，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
押题2：平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
押题3：若向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
押题4：正方形的边长为2，E是的中点，F是的中点，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
押题5：如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
名校预测
预测1：答案D
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
预测2：答案A
【详解】由题意得，
所以．
故选：A
预测3：答案A
【详解】设，
因为，，所以，
又，所以，所以点共圆，
要使的最大，即为直径，
在中，由余弦定理可得，
又由正弦定理，
即的最大值等于，
故选：A.
预测4：答案C
【详解】因为，
所以
所以，所以.
故选：C
预测5：答案B
【详解】由题意知，，
由，得，解得，
因此，解得，即，
所以.
故选：B
名师押题
押题1：答案B
【详解】因为为平行四边形，
则由，
∴.
故选：B.
押题2：答案C
【详解】由可得，
而在方向上的投影向量为.
故选：C.
押题3：答案A
【详解】因为，所以，解得.
故选：A
押题4：答案D
【详解】
.
故选：D.
故选：ABD
押题5：答案A
【详解】由题意可知：，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
不妨设，则，
可知直线对应的一次函数解析式为，可设，
可得，
则，且，
因为开口向上，对称轴为，
且，可知当时，即点与点重合时，取到最大值，
此时，且，所以.
故选：A.
指对幂运算及比较大小（选填题）
年份 题号 知识点 考点
2021年I卷 13 指对幂 指数与函数奇偶性综合
2021年II卷 7 指对幂 指对幂数值的比较大小
2022年I卷 7 指对幂 指对幂数值的比较大小
2022年II卷 无
2023年新高考1 4 复合函数 指数的运算及函数单调性求参
2023年新高考2 4 复合函数 含对数复合函数与函数奇偶性综合
近三年，指对幂运算在选填中很大可能占据一个位置，考查的考点一般来说是：
1、对数的实际应用（给定实际应用含对数表达式求值或参数）
2、指对数与函数的奇偶性综合（已知超越函数的奇偶性求参数）
3、指对幂数值的比较大小
题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。针对考点1着重了解函数表达式中参数的含义，考点2一般需要代值求算但要注意此值必定在定义域内，考点3尽量转化为同一函数利用单调性比较，也可借助换底公式转化为常见数据求算，另外考生们考试前需要借助计算器多记几组对数值，方便考试急用。
从近三年的全国卷的考查情况以及新高考新题型标准来看，指对幂运算及比较大小是高考选填方向必不可少的一类题，新高考主要以比较大小及指对数应用为主，但也不能忽略奇偶性的参合.
一、指对数运算
指数基本运算
技巧总结
1、有理数指数幂的分类
⑴正整数指数幂
⑵零指数幂
⑶负整数指数幂
⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2、有理数指数幂的性质
⑴
⑵
⑶
⑷
3、根式的定义
一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数.
4、对于根式，要注意以下几点
⑴且；
⑵当为奇数时，；当为偶数时，；
⑶负数没有偶次方根；
⑷的任何次方根都是
5、多重根号问题，首先先写成指数形式
，
6、指数的逆运算过程
指数特殊运算
技巧总结
形如，求下列各种形式的值的思路．
（1）；根据计算即可；
（2）；根据计算即可；
（3）．由于，进而根据即可求解.
（4）；根据计算即可
（5）根据计算即可
（6）根据计算即可
对数基本运算
技巧总结
对数运算法则
①外和内乘：②外差内除：
③提公次方法：④特殊对数：
⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：
2、对数的定义
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数
3、换底公式
①常用换底②倒数原理
③约分技巧④具体数字归一处理：
二、指对幂比较大小
指对数大小比较问题
技巧总结
指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.
核心思想一：同步《升降》次法
形如：
注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.
口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降.
核心思想二：先分离常数再比大小
当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较.
①
②
口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来
核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小
当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.
形如：则存在，或
模型演练：①比较与的大小
根据糖水不等式，令，即
故
②比较与的大小
根据糖水不等式，令，即
故
口诀：底大真小底大者大，底小真大底小者大.
核心思想四：由引出的大小比较问题
如图所示：
①在在，在时，取得最大值且为
②极大值左偏，且
③若，则
若，则
口诀：大指小底永为大（大小指）
核心思想五：对数等比定理
三、指对数奇偶性
函数奇偶性的妙解
技巧总结
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
分段函数的奇偶性
使用前提：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性
秒杀：口诀：奇函数定奇变偶、偶函数定偶变奇，奇双负，偶单负.
定义在上任意的函数都可以唯一表示成一个奇函数和一个偶函数之和，当以分段函数形式出现奇偶性时，则函数一定满足：
Ⅰ：奇函数
Ⅱ：偶函数
若不容易拆分出奇函数和偶函数之和时，则直接采用
Ⅰ：奇函数 Ⅱ：偶函数
解题步骤：
解题模板1：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步：得出结论.
解题模板2：
第一步： 确定函数的定义域
第二步： 写出形式的分段函数
第三步： 确定函数的奇偶性
常见基本函数的奇偶性：
(1)一次函数，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数.
(2)二次函数，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数.
(3)反比例函数是奇函数.
(4)指数函数(且)是非奇非偶函数
(5)对数函数(且，)是非奇非偶函数.
(6)三角函数是奇函数，是偶函数，是奇函数.
(7)常值函数，当时，是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数.
特殊函数的奇偶性：
奇函数：两指两对
⑴，
⑵函数
⑶，
⑷函数，函数
⑸函数
考点：形如①已知奇函数，则
②已知奇函数，则
偶函数：
⑴函数 ⑵函数
⑶函数类型的一切函数.
典例1【2023新高考1卷】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D
典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】 若为偶函数，则（ ）．
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B.
典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故
典例4【2021新高考全国Ⅰ卷】 已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【解析】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1
预测1（2024·云南昆明·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
预测2（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据：，）
A．12 B．13 C．14 D．15
预测3（2024·甘肃武威·模拟预测）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
预测4（2024·湖南·模拟预测）已知，且，则是的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
预测5（2024·新疆喀什·模拟预测）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
A．此时 B．此时的最小值为2
C．此时的最小值为2 D．此时的最小值为0
押题1：近年来，中国成为外来物种入侵最严重的国家之一，物种入侵对中国生物多样性、农牧业生产等构成巨大威胁．某地的一种外来动物数量快速增长，不加控制情况下总数量每经过7个月就增长1倍．假设不加控制，则该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要）（ ）
A．8年 B．10年 C．12年 D．20年
押题2：已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
押题3：已知函数，若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
押题4：设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（ ）
A． B． C． D．
押题5：科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则k的值为（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
名校预测
预测1：答案A
【详解】设，则，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，则，
又，得，
所以，
故选：A
预测2：答案D
【详解】由题意知，，
当时，，故，解得，
所以．
由，得，即，
得，又，
所以，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．
故选：D
预测3：答案D
【详解】因为，所以．同理
又因在定义域内为减函数，故，
而，
因，，且，故，即，所以．
故选：D.
预测4：答案D
【详解】若，符合，但此时，不满足充分性，
若，符合，但是，不满足必要性.
故选：D
预测5：答案B
【详解】函数，为非零常数，，由取到最小值为2，得，
对于A，，则，当且仅当，
即时取等号，此时，，A错误；
对于B，，当且仅当取等号，B正确；
对于C，，当且仅当取等号，C错误；
对于D，，当且仅当取等号，D错误.
故选：B
名师押题
押题1：答案C
【详解】设经过个月动物数量由入侵的100只增长到1亿，
所以，所以，
两边同时取对数可得：，
所以，所以，
而，
所以该动物数量由入侵的100只增长到1亿只大约需要12年.
故选：C.
押题2：答案C
【详解】因为，，所以．
故选：C
押题3：答案C
【详解】因为，，
所以，
当时，，
因为，所以在上单调递增，
所以，
故选：C.
押题4：答案A
【详解】对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故命题为真命题；
对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题．
所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题．
故选：A．
押题5：答案A
【详解】，
即，则，得.
故选：A
三角函数（选填题）
年份 题号 知识点 考点
2021年I卷 4 正弦函数 正弦函数的单调性
10 三角函数与平面向量 ①平面向量表示三角函数 ②辅助角公式异名变同名 ③正弦函数求值
2021年II卷 无
2022年I卷 6 三角函数 求三角函数的表达式从而求值
2022年II卷 9 三角函数 ①三角函数单调性 ②三角函数极值点 ③三角函数对称轴及切线
2023年新高考1 15 余弦函数 余弦函数零点求参问题
2023年新高考2 16 正弦函数 ①根据图像求表达式 ②求值问题
近三年，三角函数在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：
1、求正余切函数图象性质、值域（最值）（①求正弦函数图象性质②求余弦函数图象性质③求正切函数图象性质④九大模型求最值）
2、确定解析式（两大思路）
3、平移变换（正规方法及秒杀方法）
题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。有关三角函数考生需熟记三大基本图像，有关详细问题考生需要将三角函数所研究的角度k令为t，画出简化后三角函数图像，研究各项问题，最后一步记得反解x，选择题中求单调性及最值秒杀技巧下面有介绍。
从近三年的全国卷的考查情况以及新高考新题型标准来看，三角函数是高考选填方向必不可少的一类题，预测：多选题形式给定部分三角函数图像，求出单调性、最值、零点及平移问题，单选一般以含三角函数的复合函数求最值，此类难度偏小，熟练即可.
一、求正余切函数图象性质、值域（最值）问题
求正余切函数图象性质
技巧总结
正弦、余弦、正切函数性质有单调性、周期性、对称轴、对称中心
大前提必须熟悉掌握三大基本图象的画法《基本函数法》
①正弦图象
②余弦图象
③正切图象
考点1：单调性
Ⅰ：求的单调性，是不影响单调性的
⑴若，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
⑵若，则先将由负变正，令只要求的单调性即可，假如求递增区间，将基本图象沿轴对称所得目标图象反解范围
⑶若，则先将由负变正，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
Ⅱ：求的单调性，是不影响单调性的
⑴若，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
⑵若，则先将由负变正，令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
⑶若，则先将由负变正，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，将基本图象沿轴对称所得目标图象反解范围
Ⅲ：求的单调性，是不影响单调性的
⑴若，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
⑵若，则先将由负变正，令只要求的单调性即可，假如求递增区间，将基本图象沿轴对称所得目标图象反解范围
⑶若，则先将由负变正，则令只要求的单调性即可，假如求递增区间，由基本图象得反解范围
考点2：周期性
①：求及的周期性，最小正周期为
②:求及的周期性，最小正周期为
③：求及的周期性，最小正周期为
④:若函数的周期是,则函数的周期
⑤：求的周期性，最小正周期为
⑥：求的周期性，最小正周期为
⑦：若函数的图象由两条对称轴，则函数是周期函数，
⑧：若函数的图象存在对称中心，则函数是周期函数，
⑨：若函数的图象存在对称轴对称中心，则函数是周期函数，
考点3：对称轴
Ⅰ：求的对称轴，是不影响对称轴的
则令只要求得的对称轴，由基本图象,反解即可
Ⅱ：求的对称轴，是不影响对称轴的
则令只要求得的对称轴，由基本图象反解即可
Ⅲ：求的对称轴，是不影响对称轴的
则令只要求得的对称轴，将基本图象下面部分翻上去得反解即可
Ⅳ：求的对称轴，是不影响对称轴的
则令只要求得的对称轴，将基本图象下面部分翻上去得反解即可
Ⅴ:求的对称轴，是不影响对称轴的
则令只要求得的对称轴，将基本图象下面部分翻上去得,反解即可
考点4：对称中心
Ⅰ：求的对称轴，是不影响对称中心的
则令只要求得的对称中心，基本图象,反解即对称中心
Ⅱ：求的对称中心，是不影响对称中心的
则令只要求得的对称中心，由基本图象 反解即对称中心
Ⅲ：求的对称中心，是不影响对称中心的
则令只要求得的对称中心，由基本图象,反解即可
Ⅳ：求的对称中心，是不影响对称中心的
则令只要求得的对称中心，由基本图象,反解即可
角函数单调区间、对称中心、对称轴（选择题）
技巧总结
①单调区间：第一步：确定周期及周期的一半，将选项端点作差
第二步：将选项给定的区间任一端点值代入表达式
第三步：确定第二步求出的弧度为基础函数的那个位置，根据走势判断即可
②对称中心：第一步：将选项给定的对称中心的横坐标代入表达式
第二步：确定第一步求出的弧度为基础函数的那个位置，根据位置判断即可
③对称轴：第一步：将选项给定的对称中心的横坐标代入表达式
第二步：确定第一步求出的弧度为基础函数的那个位置，根据位置判断即可
九大模型求最值
模型一：形如利用的有界性，注意：同时乘正则保序，同时乘负则反序.
模型二：形如既可以利用分离常数法求解，也可以建立关于的不等式根据三角函数有界性求解.
模型三：形如，令，转化为二次函数求最值.
模型四：形如当定义域为时，值域为
当定义域为某个给定区间时，利用三角函数图象求最值.
模型五:形如借助斜率公式(圆)及数形结合求解.
模型六:形如∵故可以采用判别式处理.
模型七:形如利用辅助角公式,辅助角公式中的符号完全由原式决定,而(最好借助图象)然后利用三角函数图象求最值
模型八:形如利用基本不等式求最值
模型九:形如应考虑
转化为二次函数求最值
二、确定解析式问题
秒杀： 思路1：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期，借助函数图象及五点作图法中的“五点”确定函数的周期
第一点（即图象第一次上升时与轴的交点）横坐标满足
第二点（即图象的“峰点”）横坐标满足
第三点（即图象下降时与轴的交点）横坐标满足
第四点（即图象的“谷点”）横坐标满足
第五点（即图象第二次上升时与轴的交点）横坐标满足
求只需在部分图象中寻求“五点”中任意两点建立二元一次方程组即可
思路2：形如：
第一步：定A K,借助函数图象的最高点、最低点确定参数A K的值
第二步：定周期
∵，∴往往通过求来确定，可以通过已知曲线及其与轴的交点来确定。
注意：①相邻的最高点与最低点之间的水平距离为
②相邻的两个最高点（最低点）之间的水平距离为
③相邻的最高点（最低点）与平衡点之间的水平距离为
第三步：求
求只需在部分图象中寻求“五点”中任意一点建立一元一次方程即可（同思路1第二步）
三、平移变换问题
技巧总结
正规方法： 左加右减，上加下减，左右只针对而言（解决题干有平移信息的选择题）
秒杀：第一步：明确谁平移得到谁
第二步：:解出 :解出
第三步：确定左右平移了多少
注意：先平移后伸缩与先伸缩后平移的区别
典例1【2023新高考1卷】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：.
典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
【答案】
【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：．
典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】 A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A
典例4【2022新高考全国Ⅱ卷】已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减
B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD．
典例5【2021新高考全国Ⅰ卷】 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A.
预测1（2024·江苏扬州·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．若且，则
C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为
D．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
预测2（2024·广东·模拟预测）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
预测3（2024·山西朔州·模拟预测）将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是的一个对称中心
C．的单调递增区间为
D．在上恰有3个零点
预测4（2024·河南信阳·模拟预测）已知，（参考数据），则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数
B．在上单调递增
C．在内共有4个极值点
D．设，则在上共有5个零点
预测5（2024·安徽·模拟预测）如图，函数的图象与x轴的其中两个交点为A，B，与y轴交于点C，D为线段BC的中点，，，，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．在单调递减 D．为奇函数
押题1：已知函数（），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是的图像的对称中心
B．若恒成立，则的最小值为2
C．若在上单调递增，则
D．若在上恰有2个零点，则
押题2：已知函数，则下列说法正确的是
A．
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到
押题3：函数的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的图象的一个对称中心为
D．设函数，则在上的最小值为
押题4：要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
B．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
C．纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
押题5：若函数在区间内单调递减，则的最大值为 ．
名校预测
预测1：答案ACD
【详解】，
，当时，，
由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确；
对于B，若且，则，故B不正确；
对于C，若，则，
若在上有且仅有2个不同的解，如图所示：
可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确；
对于D，，可知当时，是奇函数，故D正确.
故选：ACD.
预测2：答案AC
【详解】对于A：，为偶函数，
当时，，，
的单调递减区间为，
的递增区间为，
而，
所以在上单调递增，故A正确；
对于B：，为偶函数，
当时，，，
的单调递增区间为，
的单调递减区间为，
而，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C：，为偶函数，
当时，，
的单调递减区间为，
则的单调递增区间为，
而，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D：，
所以为非奇非偶函数，故D错误.
故选：AC.
预测3：答案AC
【详解】对于A，由题设可得，故其最小正周期为，
故A正确.
对于B，，故不是的一个对称中心，
故B错误.
对于C，令，解得，
故的单调递增区间为，
故C正确.
对于D， 由可得，
而时，，故即或，
故D错误.
故选：AC
预测4：答案BCD
【详解】对于选项A，因为，
所以，所以选项A错误，
对于选项B，因为
，
当时，，，，
所以当时，，当且仅当时，取等号，所以在上单调递增，故选项B正确，
对于选项C，因为，
令，得到，
又因为，当且仅当或时，取等号，
所以，不是变号零点，即，不是的极值点，
由，即，
又，解得或或或，
由图象知，每一个解都是变号零点，所以在内共有4个极值点，故选项C正确，
对于选项D，因为，
所以的周期为，
又因为，
当时，由得到，，，
列表如下，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
又，，，
则在上的大致图象如图所示，
当时，因为，此时无解，
由，则，又，则，
又由，，
故只需再画出在图象即可，
当时，，无解，
作出的图象，注意到，
所以时，的图象在图象下方，
由图可知与在上有5个交点，
所以在上共有5个零点，所以选项D正确，
故选：BCD.
预测5：答案CD
【详解】由题可，，，则，
有，，
，，
把代入上式，得，解得 (负值舍去)，
，，由，解得，，
解得，，
对A，的最小正周期为，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：当时，，在单调递减，故C正确；
对D：，为奇函数，故D正确.
故选：CD.
名师押题
押题1：答案ABC
【详解】选项A：若，则，
由正弦函数的图象可知是的图像的对称中心，A说法正确；
选项B：若恒成立，则，解得，
又，所以的最小值为2，B说法正确；
选项C：令，显然在上单调递增，且，
若在上单调递增，则，解得，所以，C说法正确；
选项D：当时，，
若在上恰有2个零点，则，解得，D说法错误；
故选：ABC
押题2：答案BCD
【详解】对于AB，因为函数
，故A错误；
所以，故B正确；
对于C，令，解得，故C正确；
对于D，的图象向右平移单位长度可得，
故D正确.
故选：BCD
押题3：答案ABD
【详解】由图象可知，，
所以，即，
又因为，所以，故A正确；
所以的解析式为，
，，
所以，解得，故B正确；
所以，故点不是的图象的一个对称中心，故C错误；
,
因为，所以，
当，即时，取的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
押题4：答案BC
【详解】对于A，所得解析式为，A错误；
对于B，所得解析式为，B正确；
对于C，所得解析式为，C正确；
对于D，所得解析式为，D错误.
故选：BC
押题5：答案
【详解】由题得：，
令，
则在单调递减，
故，
由，故，
所以的最大值为，
故答案为：.
集合（选填题）
年份 题号 知识点 考点
2021年I卷 1 集合 集合中交集问题
2021年II卷 2 集合 集合中补集与并集
2022年I卷 1 集合 集合中交集问题
2022年II卷 1 集合 集合中交集问题
2023年新高考1 1 集合 集合中交集问题
2023年新高考2 2 集合 利用集合之间的关系求参数的值或范围
近三年，集合在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：
1、集合的含义与表示2、集合间的基本关系3、集合的基本运算
题干的设置一般来说在上述的多项考点中选其一项。集合需考生需熟悉技巧，其次掌握集合之间的关系求参数的值或范围，集合的基本运算也是高考的重点内容，设置此类题难度一般，用心研究必能夺分。
从近三年的全国卷的考查情况以及新高考新题型标准来看，集合是高考选填方向必不可少的一类题，预测：类型1：集合的基本运算。类型2：集合间的基本关系。，考生需从多方面认识，两类型都相对简单.涉及集合中研究对象为不等式此类题目一定采用数形（数轴）结合，端点值单独讨论及验证.
一、关于集合的元素的特征问题
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
二、集合的运算
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
集合基本运算的一些结论
，
若A∩B=A，则，反之也成立
若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB
若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
三：充分条件与必要条件充要条件的概念
符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：.
充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件.
②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.
对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.
①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.
充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件.
从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.
充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件.
典例1【2023新高考1卷】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C．
典例2【2023新高考全国Ⅱ卷】 设集合，，若，则（ ）．
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B.
典例3【2022新高考全国Ⅰ卷】若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故， 故选：D
典例4【2022新高考全国Ⅱ卷】 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B.
典例5【2021新高考全国Ⅰ卷】 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设有， 故选：B .
预测1（2024·宁夏固原·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
预测2（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
预测3（2024·浙江·模拟预测）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
预测4（2024·山东·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
预测5（2024·湖南·模拟预测）已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是 .
押题1：已知集合. 则 .
押题2：已知集合，且，则 ．
押题3：已知集合，则 .
押题4：已知集合，若，则的取值范围是 .
押题5：以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 .
名校预测
预测1：答案B
【详解】由，得，
所以，
而，
所以.
故选：B.
预测2：答案C
【详解】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
预测3：答案D
【详解】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D
预测4：答案B
【详解】由可得，
所以.
故选：B
预测5：答案
【详解】因为，
，
又集合恰有两个元素，
所以恰有两个元素1和2，所以.
故答案为：.
名师押题
押题1：答案
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
押题2：答案2
【详解】∵，且，
∴集合A里面的元素均可在集合B里面找到，
∴a=2．
故答案为：2
押题3：答案
【详解】，解得，故；
，解得，故，故.
故答案为：
押题4：答案
【详解】由，得,解得，
所以.
因为，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
押题5：答案
【详解】由，得，
设，则，
由
，
当且仅当时，取等号，
所以.
故答案为：.
