第5章 生活中的轴对称（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在美术字中，有的是轴对称图形．下面4个汉字可以看成是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B． C． D．7
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5．已知（），用圆规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、，根据图中标示的角度，的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，点D在上，点A与点关于直线对称且点落在的延长线上，则的度数是（ ）．
A．5° B．10° C．20° D．40°
8．将一张正方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（ ）
A．48° B．46° C．44° D．42°
9．如图，点P是外一点，点D，E分别是两边上的点，点P关于的对称点恰好落在线段上，点P关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为（ ）
A．120° B．108° C．110° D．102°
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是 ．
12．如图，将长方形纸条折叠，若，则 ．
13．如图，在中，．是边上的中线，点在边上，且．若，则的大小为 度．
14．如图，内有一点，且，作点关于直线，的对称点，，再作射线，，则 ．
15．如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ．
16．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ．
17．如图，在中，，，平分，交于点D，过C作的垂线交的延长线于点E．若，则 ．
18．如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）作关于直线的对称图形（不写作法）；
（2）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积．
20．（8分）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：．
21．（10分）如图，在中，，，点D，E分别是线段和线段上的点，连接，和关于所在直线对称，连接交于点F．求的度数．
22．（10分）如图，在四边形中，平分，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
23．（10分）直角三角形ABC中，，直线l过点C．
(1)当时，如图1，分别过点A、B作于点D，于点E．，，求DE长．
(2)当，时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作于点D，过点N作于点E，设运动时间为t秒．
①______，当N在路径上时，______．（用含t的代数式表示）
②直接写出当与全等时t的值．
24．（12分）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；
（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；
（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了轴对称图形的知识，根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．
【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题；
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，根据成轴对称图形的性质逐项判断即可．
【详解】因为与关于直线对称，所以，，，与不一定平行，故A，B，C项一定正确，D项不一定正确．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．根据轴对称的性质可求、的长度，然后根据线段的和差求解即可．
【详解】解：∵点关于的对称点恰好落在线段上，，
∴，
同理，
又∵，
∴．
故选：A．
4．B
【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．
故选 B．
【点拨】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
5．D
【分析】本题考查了复杂作图，根据线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
利用线段的垂直平分线性质和圆的性质即可判断．
【详解】A、作图能得到，无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
B、作图能得到，无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
C、作图能得到 ，无法得出，故不能得出，故本选项不符合题意；
D、作图能得到，故能得出，故本选项符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】此题考查轴对称的性质，连接，利用轴对称的性质解答即可．
【详解】解：连接，
点分别以、为对称轴，画出对称点、，
，，
，，
，
，
故选：D．
7．B
【分析】根据题意可得，则；再根据直角三角形的性可得，然后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵点A与点关于直线对称且点落在的延长线上
∴
∴
∵，
∴
∵
∴．
故选B．
【点拨】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
8．B
【分析】设，，根据折叠可得，，进而可求解．
【详解】解：设，，
根据折叠可知：
，，
∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【点拨】本题考查了轴对称的性质，角的和差运算，解决本题的关键是熟练运用轴对称的性质．
9．D
【分析】利用轴对称图形的性质得出EP=EP1，DP=DP2，进而利用DE=5，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．
【详解】解：∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，
∴EP=EP1，DP=DP2，
∵PE=2，PD=4，DE=5，
∴DP2=4，EP1=2，
∴DP1=DE EP1=5 2=3，
则线段P1P2的长为：P1D+DP2=4+3=7，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出EP=EP1，DP=DP2是解题关键．
10．B
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=（180°∠BAC）=（180°54°）=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=27°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°27°=36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB=OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB=∠OBC=36°，
∵将∠ACB沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠COE=∠OCB=36°，
在△OCE中，∠OEC=180°∠COE∠OCB=180°36°36°=108°；
故选：B.
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
11．等边三角形
【分析】分别找出各图形的对称轴条数，进行判断即可填空．
【详解】解：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，直角三角形不是轴对称图形，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形；角有一条对称轴，线段有两条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
所以对称轴最多的是：等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点拨】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
12．/64度
【分析】本题考查的是邻补角的含义，折叠的性质，熟练的利用折叠的性质解题是关键．利用折叠的性质可得，结合与邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．20
【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，同理求出，求出，再求出答案即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，是边上的中线，
，
，
，
故答案为：20．
14．/70度
【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，根据轴对称的性质可得，然后得出，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵点P关于的对称点，点P关于的对称点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：70．
15．/94度
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数．
由折叠的性质可知：，，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段为折痕，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．28
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长即可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【详解】解：是的垂直平分线，且，
，，
又的周长为38，
的周长，
故答案为：28．
17．//
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，延长，相交于F，先证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据等角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后求解即可．
【详解】解：如图，延长，相交于F，
平分，
，
在与中，
，
，
，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．/15度
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：点在的垂直平分线上，
，
，
是的一个外角，
，
，
由折叠得：
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．（1）见解析；（2）2.5
【分析】本题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：即为所求；
（2）的面积为：．
20．见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及角平分线的性质定理．先证明，得到，再由角平分线性质证明．
【详解】证明：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21．
【分析】本题考查了对称的性质、三角形的外角定理等知识，根据对称有，，从而，，可先求出的度数，然后根据外角,进而求出的度数，从而求解．
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，
∴，．
∵，
∴．
又∵
∴
∴
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用证明是解题的关键．
（1）根据角平分线定义得到，利用证明；
（2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，根据三角形内角和定理求出，则，根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】（1）证明： 平分，
，
在和中，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
23．(1)
(2)①；②当t=秒或5秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；
（2）①由即可表示利用轴对称的性质证明再利用即可得到答案； ②分点F沿F→C路径运动，点F沿C→B路径运动，点F沿B→C路径运动，点F沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵AD⊥直线l，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；而，，
（2）①由题意得，AM=t，
，
，
点B与点F关于直线l对称，
当N在路径上时，
故答案为：
②由轴对称的性质可知，∠BCE=∠FCE，
∵，
，∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，
∴∠NCE=∠CMD，
∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，
当点N 沿F→C路径运动时，8-t=6-3t，
解得，t=-1（不合题意），
当点N 沿C→B路径运动时，此时
8-t=3t-6，
解得，，
当点N 沿B→C路径运动时，此时
由题意得，8-t=18-3t，
解得，t=5，
当点N 沿C→F路径运动时，此时
由题意得，8-t=3t-18，
解得，，
综上所述，当t=秒或5秒或秒时，△MDC与△CEN全等．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点拨】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
