2024年普通高等学校招生新高考模拟考试（一）
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是奇函数，则（ ）
A.， B. ， C. ， D. ，
2. 已知由小到大排列的4个数据1、3、5、，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则
这4个数据的第75百分位数是（ ）
A.9 B.7 C.5 D.3
3. 平面与平面平行的充要条件是（ ）
A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面
C. ，平行于同一条直线 D. 内有两条相交直线与平行
4. 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与
乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A.720 B.960 C.1120 D.1440
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7. 根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投人，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中,, ,,.当不变，与均变为原来的2倍时，下面结论中正确的是（ ）
A.存在和,使得不变
B. 存在和,使得变为原来的2倍
C.若,则最多可变为原来的2倍
D. 若,则最多可变为原来的2倍
8. 已知点,,，动点,满足,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念，余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）
A.定义域为
B. 在区间上单调递增
C. 与正切函数有相同的对称中心
D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
10. 设、为复数，则下列命题正确的是（ ）
A.若,则
B. 若,则或
C. 若,则
D. 若,则在复平面对应的点在一条直线上
11. 已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人.则两科都在90分以上的人数为 ．
13.足尖虽未遍及美景,浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中,，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为 ；的外接球的表面积为 ．
14. 对任意的.不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）是否存在正整数使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
16.（15分）
如图，矩形与梯形所在的平面垂直，，，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17.（15分）
一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为．
（1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；
（2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望．
18.（17分）
已知椭圆的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．
（1)求椭圆的方程；
（2)若过点的直线交椭圆于点，，同时交抛物线于点,（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由；
（3)若过点的直线交椭圆于点，,过点与直线垂直的直线交抛物线于点，（如图2所示).试求四边形面积的最小值．
19.（17分）
如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
②当时，总有成立．
（1)记，求证：为型函数；
（2）设，记，若是型函数，求的取值范围；
（3）是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
