武汉市洪山高级中学2024届高三高考第 2 次模拟考试
数 学 试 卷
2024.05.16
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）
A．互为独立事件 B．为互斥事件
C． D．
5．空间点，则点到直线的距离（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在直角梯形中，，，，，图中圆弧所在圆的圆心为点，半径为，且点在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，，则的最大值为
A． B． C．2 D．
7.设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的
D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒
10.斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（ ）
A． B．是奇数
C． D．被4除的余数为0
11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.
12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .
13.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知.
(1)求证：；
(2)若D为AB的中点，且，，求的面积.
16.在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17.已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求C的方程；
（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
18. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
19.(本小题满分17分)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
（1）试求，，，的值；
（2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
（3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．武汉市洪山高级中学2024届高三高考第 2 次模拟考试
数 学 试 卷
2024.05.16
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，且与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数的定义即可得出答案.
【详解】因为，
与互为共轭复数，，
所以.
故选：D.
2．直线，直线，给出下列命题：
①，使得； ②，使得；
③，与都相交； ④，使得原点到的距离为.
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】
利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.
【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；
对于②，若，则，解得，②对；
对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；
对于④，直线的方程为，
若，使得原点到的距离为，则，整理可得，
，方程有解，④对.
故选：C.
3．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解.
【详解】因为，定义域为，
又，
所以是奇函数，从而ACD错误，B正确.
故选：B.
4．同时投掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记“甲骰子正面向上的点数为奇数”为事件，“乙骰子正面向上的点数为偶数”为事件，“甲、乙两骰子至少出现一个正面向上的点数为偶数”为事件，则下列判断错误的是（ ）
A．互为独立事件 B．为互斥事件
C． D．
【答案】B
【分析】计算，看，是否相等，即可判定A选项：观察事件A，B是否可以同时发生，可判定B选项；用条件概率的公式可计算其概率，即可判定C选项；用对立事件可算出事件C的概率，则D选项可判定.
【详解】，，，
从而互为独立事件，A正确；
可以同时发生，B错误；
，C正确；
，D正确.
故选:B.
5．空间点，则点到直线的距离（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果.
【详解】由题意得，
所以，
所以，
所以点A到直线BC的距离.
故选：D.
6.如图，在直角梯形中，，，，，图中圆弧所在圆的圆心为点，半径为，且点在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，，则的最大值为
A． B． C．2 D．
7.设，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
【详解】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：B.
8.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点A，直线交椭圆于P，Q两点，若F恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先设的中点，由点差法得，再根据重心的性质求得点的坐标，联立求得椭圆的离心率，再结合条件，即可求解.
【详解】
设，，的中点为点，
，两式相减得，
化解得，即，得，
所以，
，，由F恰好为的重心，
则，即，得，，
即，，
所以，则，平方后得，
，即，
解得：或，
由条件，得，即，得，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的
D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒
答案：AD
10.斐波那契数列又称黄金分割数列,因意大利数学家列昂纳多-斐波那契以兔子繁殖为例子而引人,故又称为“兔子数列”,在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的应用.在数学上,斐波那契数列被以下递推的方法定义:数列满足:,.则下列结论正确的是（ ）
A． B．是奇数
C． D．被4除的余数为0
【答案】BCD
解:由题知,关于选项A,
,故选项A错误;
关于选项B,3的倍数项为偶数,其他项为奇数,下面用数学归纳法证明:
①当时,,满足规律,
②假设当时满足为偶数,为奇数,
③当时,
,为奇数,为偶数,
,为奇数,为偶数,为奇数,
,为奇数,为偶数,为奇数,
故3的倍数项为偶数,其他项为奇数得证,
2023项是非3的倍数项,故选项B正确;
关于选项C,有成立,用数学归纳法证明如下:
①当时,,满足规律,
②假设当时满足成立,
③当时,
成立,满足规律,故,
令,则有成立,故选项C正确;
关于选项D,有能被4整除成立,用数学归纳法证明如下:
①当时,,满足规律,②假设当时,满足
③当时,
能被4整除得证,,能被4整除得证,故选项D正确.故选:BCD
11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B．存在点Q，使平面MBN
C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为
【答案】ABD
【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D．
【详解】选项A，连接，正方体中易知，
分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；
选项B，如图，取中点为，连接，
因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形，
所以，又是中点，所以，所以，
平面，平面，所以平面，B正确；
选项C，正方体中，分别是中点，则，
在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，
连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，
为所过三点的截面，
由正方体的对称性可知梯形与梯形全等，
由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质，
设，，则，，
是中点，，则，所以，同理，
，，，
梯形是等腰梯形，高为，
截面面积，
设，，，
在上递增，，，
所以，C错；
选项D，取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），
它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.共15分.
12.已知从小到大排列的一组数据：1，5，a，10，11，13，15，21，42，57，若这组数据的极差是其第30百分位数的7倍，则a的值为 .
【答案】6
【分析】确定极差，求出第30百分位数的表达式，结合题意列式求解，即得答案.
【详解】由题意知这组数据的极差是，
由于，故第30百分位数为，
故，
故答案为：6
13.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.
【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点，.过椭圆上一点作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知，，.已知两球半径分为别和，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 .
【答案】
【分析】设两球的球心距离为，通过圆锥的轴截面进行分析，根据两球半径可求得；利用三角形相似可求得，进而得到；利用椭圆离心率可构造方程求得结果.
【详解】作出圆锥的轴截面如图所示，
圆锥面与两球相切于两点，则，，
过作，垂足为，连接，，设与交于点，
设两球的球心距离为，
在中，，，；
，，
，，解得：，，
；
由已知条件，知：，即轴截面中，
又，，解得：，
即两球的球心距离为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，已知.
(1)求证：；
(2)若D为AB的中点，且，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由，利用两角和与差的正弦函数化简求解；
（2）由D为AB的中点，得到，再两边平方得到CA，CB的一个关系式，由，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一个关系式，然后利用（1）的结论求解.
【详解】（1）因为，
所以，
即，
因为，所以；
（2）因为D为AB的中点，且，，
所以，
两边平方得，
，
即，
又，
即，
由（1）知，
解得，又，且，
所以，则.
16.在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
(1)证明：为的中点；
(2)若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理判断；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求线面角确定点位置，再由空间向量法求二面角．
【详解】（1）如图，连接，，在正四棱柱中，
由与平行且相等得是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中点，
所以是的中点；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，设（），
则，，，，
，，
设平面的一个法向量是，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，平面的一个法向量是，
平面即为平面，
则，
二面角为锐角，因此其余弦值为．
17.已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切.
（1）求C的方程；
（2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由.
【小问1详解】
由椭圆的离心率为得：，即有，
由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得，
所以C的方程是.
【小问2详解】
为定值，且，
因为，则，
因此，而，有，
于是平分，直线的斜率互为相反数，即，
设，
由得，，即有，
而，则，
即
于是
，
化简得：，
且又因为在椭圆上，即，即，，
从而，，
又因为不在直线上，则有，即，
所以为定值，且.
18. 已知函数.
（1）求证: 当时，;
（2）已知函数有3个不同的零点，
（i）求证: ;
（ii）求证: 是自然对数的底数).
小问1详解】
①当 ，即证 ，
令 ，
令 ，则当时，所以在上单调递减，
则有当时，所以在上单调递减，
所以当，
成立
②当 时，，即证 ，
令
设，则，所以在上单调递增，所以
所以，
在上单调递减，，即 ，
综合①②当 时，
【小问2详解】
，
当 在 上单调递增，在 单调递减，
当 在上单调递增，
又函数有 3 个不同的零点 ，
所以，，
（i）令 ，
在上单调递增，又
，
又 在上单调递减，
，即
（ii)在处的切线方程与交点的横坐标，
过点 和的直线方程 与交点的横坐标 ，
由 （1）取 ，
则与在轴右侧交点横坐标为 ，
，
综上:
19.(本小题满分17分)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
（1）试求，，，的值；
（2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
（3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．
【小问1详解】
由欧拉函数的定义知，不越过3且与3互素的正整数有1，2，则，
不越过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不越过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不越过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以.
【小问2详解】
在不大于的正整数中，只有3的倍数不与互素，而3的倍数有个，
因此.
由，是两个不同的素数，得，
在不超过的正整数中，的倍数有个，的倍数有个，
于是，
所以.
【小问3详解】
计算机工程师在某RSA加密算法中公布公钥是，则，从而
由（2）得，，
即正整数满足的条件为：，
，令，则，
令，则，
取，则，于是，
因此，即，
，
.
