贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试
数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数满足，则（ ）
A． B．2 C． D．3
2．下列说法错误的是（ ）
A． B．都是单位向量，则
C．若，则 D．零向量方向任意
3．设为两个非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．在中，角所对的边分别为，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，，．则此直三棱柱的体积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为锐角内部一点，且满足，已知，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题的选项中，有多项符合题目要求。（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）
9．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形的周长为 D．四边形的面积为
10．如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线与平面所成角的大小不变
C．直线与直线垂直
D．二面角的大小不变
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆的半径为2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的有（ ）
A．为定值
B．当时，为定值
C．的最大值为12
D．的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，若，则______．
13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______．
14．已知分别为的边上的点，线段和相交于点，若，，，其中．则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知复数，，其中是虚数单位，．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若，求的取值范围．
16．（15分）在平面直角坐标系中，已知向量，，向量与间的夹角为．
（1）求在方向上的投影向量的坐标；
（2）求的值；
（3）若向量与夹角为钝角，求的取值范围．
17．（15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
18．（17分）在锐角中，分别为作的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
19．（17分）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且．求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）若为的中点，求平面与平面所成的二面角的余弦值；
（3）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
贵百河2023-2024学年高一下学期5月新高考月考测试
数学 参考答案及评分细则
1．【答案】A 【详解】解：，，
，，则．故选：A．
2．【答案】 【详解】对于A，，A正确，对于B，是单位向量，则，正确，对于，向量有大小和方向，不可以比较大小，故错误，对于，零向量是模长为0，方向任意的向量，正确，故选：C
3．【答案】A 【详解】因为，所以同向共线，所以，因为，所以同向共线，此时不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A
4．【答案】D 【详解】
，
5．【答案】 【详解】对于，由，，，只能得到垂直于平面内与平行的直线，所以错误；对于，由面面垂直的性质定理得当时，，当时，与不垂直，所以错误；对于，由，，，根据线面平行的性质定理，可得，所以正确；对于，由，，，，只有当为异面直线时，可得，所以D错误．故选：C．
6．【答案】B 【解析】由，得，所以
7．【答案】D．【解析】设．因为，所以．于是（是外接圆的半径），．又球心到平面的距离等于侧棱长的一半，所以球的半径为．所以球的表面积为，解得．因此．于是直三棱柱的体积是．故选D．
8．【答案】 【解析】因为，所以是的外心。设外接圆的半径为，，
，，，
，即
，
即，故，
故，故，故答案为：．
9．【答案】 【详解】如图过作交于点，
由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B错误；还原平面图如下图，则，，，故A错误；过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即C正确．；四边形的面积为：，即D正确．故选：CD．
10．【答案】 【详解】平面，上任意一点到平面的距离相等，所以体积不变，选项正确；
B．与平面相交，所以直线与平面所成角的大小在变，选项错误；
C．平面，，C选项正确；
D．二面角也就是二面角大小不变，选项正确；
11．【答案】ABD 【详解】如图，设直线与圆交于，对于，
，
A选项正确；对于B，时，，，则，B选项正确；
对于，圆的半径为2，则，，，
因不能同时过圆心，故不能取等号，，C选项错误；
对于，取的中点为，连接，
，
而，的取值范围是，D选项正确．故选：ABD
12．【答案】 【详解】
由可得，，解得
13．【答案】 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中，，且点为边上的中点，设内切圆的圆心为，由于，故，设内切圆半径为，则：
，解得：，其表面积为：．
14．【答案】 【详解】三点共线，三点共线，，化简得；
，当且仅当，，取等；
15．（13分）解（1）因为为纯虚数，所以，
解得．
（2）由，得．
因此．
因为，所以当时，；
当时，，
故的取值范围是．
16．（15分）解：（1）由题设知所以在方向上投影向量的坐标为
（2）因为，
所以．
（3）因为向量与夹角为钝角，且与不能共线
所以，
即，所以，解得．
又与不能共线，若与反向共线，则．
综上，实数的取值范围是
17．（15分）解（1）是等边三角形，且是中点
面，面
面，面，且 面
面
（2）；
（公式1分，代入1分，结果1分）
在中，，；
取中点，在中，
边上的高为；
；
设点到平面的距离为，
则，
解得，即点到平面的距离为．
方法2：建系法
解：（1）取的中点，则面，可知两两垂直，
如图以为轴，为轴，为轴；，，，；
，
，，
（2），，，，
设面的法向量为
；
设点到面的距离为；
18．（17分）（1） （2）
【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，
又因为
所以，
因为，所以，即，
所以，即
因为，，
所以，即；
（2）由（1）及余弦定理得
因为，
在锐角中，，解得，
所以，所以，
由对勾函数的性质可得，所以．
19．（17分）（1） （2）证明见解析 （3）在侧棱存在点，使得平面，
【详解】（1）在正四棱锥中，，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点，因为四边形是正方形，所以为的中点，
在正四棱锥中，，
当为的中点时，有
又四边形是正方形
即为平面与平面所成的二面角的平面角
又为的中点，为的中点，，且，
易得
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为
（3）在侧棱上存在点，使得平面，满足
理由如下：取的中点，由，得，
过作的平行线交于，连接，中，有，
又平面，平面，所以平面，
由，得，所以
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面
方法二：（1）同法一
（2）建系法，如图连接交于点，连接，可知两两垂直
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系；
，，，，，，
易知面的法向量为，
设面的法向量为，，，，
所以平面与平面所成的二面角的余弦值为．
（3）假设上存在点满足，使得面
，，
设面法向量为，，，
，
若面，则，
，即，解得；
所以，在点满足，使得面，
