辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若α是第二象限角，则为第二象限或第四象限角
C．若α＝﹣10rad，则角所α在象限是第二象限
D．若，0＜α＜π，则
2．（5分）下列三角函数值为正数的是（ ）
A．tan300° B．sin240° C．cos2 D．
3．（5分）若向量，满足||＝2，||＝1，（+2） ＝6，则cos＜，＞＝（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，B≠C．若，a＝1，则＝（ ）
A． B． C．2 D．3
5．（5分）若tanθ＝﹣2，则＝（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）函数y＝sin（2x+）的图象可由函数y＝cosx的图象（ ）
A．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
7．（5分）已知向量，，满足||＝1，||＝， ＝，＜﹣，﹣＞＝30°，则||的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
8．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量和实数λ，下列说法正确的是（ ）
A．若＝0，则|＝0或||＝0
B．若λ∈R且，则当时，一定有与共线
C．若
D．若且，则
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若和为函数f（x）图象的两条相邻的对称轴，则ω＝2
B．若，则函数f（x）在（0，π）上的值域为
C．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则ω的最小值为5
D．若函数f（x）在（0，π）上恰有一个零点，则
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于点（π，0）对称
C．不等式f（x）＞x无解
D．f（x）的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（5分）当x＝x0时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则＝ ．
13．（5分）＝ ．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠A的角平分线，且△ABC的面积为1，当BC最短时，＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，，且，求sinα的值．
16．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且＝2．M是线段CE上一动点．
（1）若M是线段CE的中点，＝m+n，求m+n的值；
（2）若AB＝9， ＝43，求（+2） 的最小值．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+cosC＝a，b＝．
（1）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（2）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
18．（17分）如图，扇形ABC是一块半径r＝2（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记∠PAB＝θ．
（1）若点P是弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）通过计算说明街道RQ的长度是否会随θ的变化而变化；
（3）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．（精确到1万元）
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）求的“相伴特征向量”；
（2）已知A（﹣2，3），B（2，6），为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）记向量的相伴函数为f（x），若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若α是第二象限角，则为第二象限或第四象限角
C．若α＝﹣10rad，则角所α在象限是第二象限
D．若，0＜α＜π，则
【解答】解：∵sin（x+）＝sin（x+2π+）＝cosx，A错误；
若α是第二象限角，则2kπ+＜α＜2kπ+π（k∈Z），
则kπ+＜＜kπ+（k∈Z），
令k＝0，得＜＜，
令k＝1，得π+＜＜+π，
则为第一象限或第三象限角，B错误；
若α＝﹣10rad∈（﹣，﹣3π），则角α所在象限是第二象限，C正确；
若，0＜α＜π，
则1+sin2α＝ sin2α＝﹣＜0 sinα＞0，cosα＜0，
故1﹣sin2α＝，
则sinα﹣cosα＝，D错误．
故选：C．
2．（5分）下列三角函数值为正数的是（ ）
A．tan300° B．sin240° C．cos2 D．
【解答】解：A．∵270°＜300°＜360°，∴tan300°＜0，因此不正确；
B．∵180°＜240°＜270°，∴sin240°＜0，因此不正确；
C．∵＜2＜π，∴cos2＜0，因此不正确；
D．∵﹣2π＜﹣＜，∴sin（﹣）＞0，因此正确．
故选：D．
3．（5分）若向量，满足||＝2，||＝1，（+2） ＝6，则cos＜，＞＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足||＝2，||＝1，（+2） ＝6，
可得＝6，所以＝1，
则cos＜，＞＝＝＝．
故选：B．
4．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，B≠C．若，a＝1，则＝（ ）
A． B． C．2 D．3
【解答】解：因为，a＝1，
所以sinA＝＝，
又由正弦定理可得＝2R（R为△ABC的外接圆半径），
则＝＝2R＝＝＝3．
故选：D．
5．（5分）若tanθ＝﹣2，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：＝，
∵tanθ＝﹣2，
∴．
故选：D．
6．（5分）函数y＝sin（2x+）的图象可由函数y＝cosx的图象（ ）
A．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位
B．先把各点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位
C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
【解答】解：把函数y＝cosx＝sin（x+）的图象的横坐标变为原来的倍，可得y＝sin（2x+）的图象，
再把所得图象再向右平移个单位，可得y＝sin[2（x﹣）+]＝sin（2x+）的图象，
故选：B．
7．（5分）已知向量，，满足||＝1，||＝， ＝，＜﹣，﹣＞＝30°，则||的最大值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，，＝，则，，
由题意cos＝＝，
∴＝150°，＜﹣，﹣＞＝30°，
所以OABC四点共圆，
要使||的取得最大值，
则OC必须过圆心，
此时在三角形OAB中，AB2＝OA2+OB2﹣2OAOBcos∠AOB＝1+3﹣2＝7，
AB＝，
由正弦定理可得OC＝2R＝，
故选：A．
8．（5分）已知，，，则（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
【解答】解：设，0＜x＜1．
则f'（x）＝x﹣sinx，设g（x）＝x﹣sinx，0＜x＜1，
g'（x）＝1﹣cosx＞0，所以g（x）在（0，1）单调递增，g（x）＞g（0）＝0．
所以f'（x）＞0，即f（x）在（0，1）单调递增，
所以，即，即，b＞c．
设h（x）＝tanx﹣x，0＜x＜1，
所以h（x）在（0，1）单调递增，h（x）＞h（0）＝0，即tanx＞x．
所以，即，即a＞b，
所以a＞b＞c．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量和实数λ，下列说法正确的是（ ）
A．若＝0，则|＝0或||＝0
B．若λ∈R且，则当时，一定有与共线
C．若
D．若且，则
【解答】解：，还可能有，故A错误；
根据向量共线定理，当时，一定有与共线，故B正确；
，因此，故C正确；
且，
则，当时，也满足上式，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（6分）已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若和为函数f（x）图象的两条相邻的对称轴，则ω＝2
B．若，则函数f（x）在（0，π）上的值域为
C．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则ω的最小值为5
D．若函数f（x）在（0，π）上恰有一个零点，则
【解答】解：对于A，若和为函数f（x）图象的两条相邻的对称轴，
则，即T＝π，所以，故A正确；
对于B，若，则，
因为0＜x＜π，所以，
所以，故B不正确；
对于C，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
因为g（x）为奇函数，所以，k∈Z，即ω＝6k﹣1，k∈Z，
因为ω＞0，所以ω的最小值为5，故C正确；
对于D，因为0＜x＜π，所以，
因为函数f（x）在（0，π）上恰有一个零点，所以，解得，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于点（π，0）对称
C．不等式f（x）＞x无解
D．f（x）的最大值为
【解答】解：根据题意，f（x+π）＝＝≠f（x），
可知f（x）的最小正周期不是π，故A项不正确；
因为f（π+x）＝＝，f（π﹣x）＝＝，
所以f（π+x）+f（π﹣x）＝0，可知f（x）的图象关于点（π，0）对称，故B项正确；
由f（）＝＞，可知f（x）＞x有实数解，故C项不正确；
因为cos2x＝1﹣2sin2x，所以f（x）＝，
当﹣π≤x≤0时，f（x）≤0，最大值是0，
当0＜x＜π时，sinx＞0，可得f（x）＝，
当且仅当sinx＝，即x＝或时，等号成立．
综上所述，f（x）在[﹣π，π]上的最大值为，结合f（x）的周期T＝2π，
可得f（x）的最大值为，故D项正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（5分）当x＝x0时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵f（x）＝sinx﹣2cosx＝（sinx﹣cosx）＝sin（x﹣θ），其中sinθ＝＝，cosθ＝＝，
当x﹣θ＝2kπ+（k∈Z），即x＝θ+2kπ+（k∈Z）时，f（x）取得最大值．
∵当x＝x0时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，
∴x0＝θ+2kπ+（k∈Z），
∴tanx0＝tan（θ+2kπ+）＝﹣＝﹣＝﹣，
∴＝＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．（5分）＝ ．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝．
故答案为：．
14．（5分）在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠A的角平分线，且△ABC的面积为1，当BC最短时，＝ ．
【解答】解：因为在△ABC中，AD是∠A的平分线，AB＝2AC，所以BD：CD＝AB：AC＝2：1，
设∠BAD＝∠1，∠CAD＝∠2，AD＝x，DC＝y，则AB＝2b，BD＝2y，
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD cos∠1，即4y2＝4b2+x2﹣4bxcos∠1，…①，
在△ACD中，由余弦定理得DC2＝AC2+AD2﹣2AC ADcos∠2，即y2＝b2+x2﹣2bxcos∠2，…②，
①②联解，结合∠1＝∠2整理得3x2﹣4bxcos∠1＝0，所以，即．
因为△ABC的面积为1，所以，即b2sin∠BAC＝1，可得，
求BC的最小值，只考虑∠BAC为锐角或直角时的情形，可得cos∠BAC＝＝，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC ABcos∠BAC＝5b2﹣4b2 ＝5b2﹣4，
令b2＝t＞0，则BC2＝，求导数得，方程f′（t）＝0的根为，
当时，f′（t）＞0，函数f（t）在上为增函数；当时，f'（t）＜0，函数f（t）在上为减函数．
因此，当时，函数f（t）取得最小值，相应地BC有最小值，
此时，解得（舍负），所以＝．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知向量，，．
（1）求cos（α﹣β）的值；
（2）若，，且，求sinα的值．
【解答】解：（1）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝cos（α﹣β），
||＝||＝1，
由平方得2﹣2+＝，
即1+1﹣2cos（α﹣β）＝，
即2cos（α﹣β）＝2﹣＝，
则cos（α﹣β）＝．
（2）∵若，，且，
∴sinβ＝﹣，0＜﹣β＜，
则0＜α﹣β＜π，即sin（α﹣β）＝＝，
则sinα＝sin（α﹣β+β）＝sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ＝×+×（﹣）＝．
16．（15分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且＝2．M是线段CE上一动点．
（1）若M是线段CE的中点，＝m+n，求m+n的值；
（2）若AB＝9， ＝43，求（+2） 的最小值．
【解答】解（1）因为M是线段CE的中点，＝2，
所以＝+＝+＝+（﹣）＝（+），
＝（++）＝+＝m+n，
因为与不共线，
所以m＝，n＝，则m+n＝． …（7分）；
（2）在矩形ABCD中，＝﹣﹣，＝+＝﹣﹣，
所以 ＝（﹣﹣） （﹣﹣）＝2+ +2
＝2+2．
因为AB＝9， ＝43，所以2+2＝×92+2＝43，
解得||＝4，即AD＝BC＝4．
在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4，则EC＝5． …（11分）
因为＝2，
所以+2＝（+）+2（+）＝3++2＝3． …（13分）
设ME＝t，0≤t≤5．
所以（+2） ＝﹣3ME MC＝﹣3t （5﹣t）＝3（t2﹣5t）＝3（t﹣）2﹣，0≤t≤5．
因此当且仅当t＝ 时，（+2） 有最小值﹣，
从而（+2） 的最小值为﹣． …（16分）
解法二：建立如图直角坐标系，则A（0，0），
E（6，0），B（9，0），设C（9，m），m＞0．
则＝（﹣9，﹣m），＝（﹣3，﹣m），
＝27+m2＝43，所以m＝4 …（3分）
所以C（9，4），因为M在线段CE上，
设＝λ，0≤λ≤1．M（x，y），则＝（x﹣9，y﹣4），＝（﹣3，﹣4），
x﹣9＝﹣3λ，y﹣4＝﹣4λ，所以x＝9﹣3λ，y＝4﹣4λ．即M（9﹣3λ，4﹣4λ） …（5分）
所以＝（3λ﹣9，4λ﹣4），＝（3λ，4λ﹣4）
+2＝（9λ﹣9，12λ﹣12），＝（3λ，4λ），
（+2） ＝27λ2﹣27λ+48λ2﹣48λ＝75（λ2﹣λ）
＝75（λ﹣）2﹣，0≤λ≤1． …（8分）
所以当且仅当λ＝时，（+2） 有最小值﹣，
从而（+2） 的最小值为﹣． …（9分）
注：第（1）问（7分），将用与线性表示，得（4分），指出m，n并求出m+n的值（3分），不交代与不共线，扣（1分）；
第（2）问（9分），求出AD的长得（3分），求出EC的长得（1分），得出+2＝3得（2分），
列出（+2） 的函数关系式得（2分），求出最值得（1分）．
用坐标法（解法二），求出C点坐标（即求出m值）得（3分），得出M点坐标得（2分），
列出函数关系式得（3分），求出最值得（1分）．
17．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+cosC＝a，b＝．
（1）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（2）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以sinC+cosC＝，
即＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB．
所以，因为sinC≠0，
所以sinB＝cosB，即，
因为B∈（0，π），所以；
由及余弦定理得3＝c2+a2﹣ac＝（c+a）2﹣3ac，又a+c＝2，
所以，
由S△ABC＝S△ABD+S△BDC得，，
所以，所以，解得．
（3）因为E的AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得
＝
＝，
因为△ABC为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以2＜ac≤3，
所以||2＝∈（，]，
所以，
即边AC上的中线BE的取值范围为．
18．（17分）如图，扇形ABC是一块半径r＝2（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记∠PAB＝θ．
（1）若点P是弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）通过计算说明街道RQ的长度是否会随θ的变化而变化；
（3）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300、200、400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值．（精确到1万元）
【解答】解：（1）∵若P是弧BC的中点，∴P位于∠BAC的角平分线上，
∵，∴∠PAB＝，
则|PQ|＝|PR|＝|PA|sin∠PAB＝2×sin＝2×＝1，
|AQ|＝|PA|cos∠PAB＝2×＝，
∵∠BAC＝，
∴△QAB为等边三角形，
则|RQ|＝|AQ|＝，
三条街道的总长度l＝|PQ|+|PR|+|RQ|＝1+1+＝2+．
（2）∠PAB＝θ，0＜θ＜，
则|PQ|＝|AP|sinθ＝2sinθ，|PR|＝|AP|sin（﹣θ）＝2sin（﹣θ）＝cosθ﹣sinθ，
|AQ|＝|AP|cosθ＝2cosθ，|AR|＝|AP|cos（﹣θ）＝2cos（﹣θ）＝cosθ+sinθ
由余弦定理可知：|RQ|2＝|AQ|2+|AR|2﹣2|AQ||AR|cos，
＝（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos
＝4cos2θ+cos2θ+3sin2θ+2sinθcosθ﹣2cos2θ﹣2sinθcosθ
＝3sin2θ+3cos2θ＝3，
则|RQ|＝，为定值，
即RQ的长度不会随θ的变化而变化．
（3）设三条街道每年能产生的经济总效益W，W＝|PQ|×300+|PR|×200+|RQ|×400
＝300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400＝400sinθ+200cosθ+400
＝200（2sinθ+cosθ）+400
＝200（sinθ+cosθ）+400，
设cosφ＝，sinφ＝，则tanφ＝tanφ＝，
则W＝200sin（θ+φ）+400，
当sin（θ+φ）＝1时，W取最大值，最大值为200+400≈1222，
即三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．
19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）求的“相伴特征向量”；
（2）已知A（﹣2，3），B（2，6），为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；
（3）记向量的相伴函数为f（x），若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）因为g（x）＝cos（x+）﹣2cos（x+α）＝cosx﹣sinx﹣2（cosxcosα﹣sinxsinα）
＝（2sinα﹣）sinx+（﹣2cosα）cosx，
所以g（x）的相伴特征向量为＝（2sinα﹣，﹣2cosα）；
（2）由为的相伴特征向量，可知m＝﹣2，
所以＝，
设，因为A（﹣2，3），B（2，6），所以，，
由，得，所以，
整理得，即，
因为，所以，可得，
结合，可知：当x＝0时，和的值同时取到，这时（*）式成立．
因此，在y＝h（x）图像上存在点P（0，2），使得；
（3）向量的相伴函数为，
当时，，
即，恒成立．
所以（i）当，时，，所以，即，由于，所以的最小值为，所以；
（ii）当，，不等式可化为1＞0成立．
（iii）当，时，有恒成立，即，由于，所以的最大值为，所以．
综上所述，k的取值范围是．
