昆明市2023-2024学年高三三模
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
3. 已知中，，，，则的面积等于（ ）
A. 3 B. C. 5 D.
4. 某学校邀请五个班班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
5. 已知是两条不重合直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则“”是“”的必要条件
B. 若，，则“”是“”的充分条件
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
6. 在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在单调递减 D. 若，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A. B. A与相互独立
C. D.
10. 已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是函数的一个极值点 D. 在单调递增
11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则__________
13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________
14. 以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161 200 216 225 230 234 237 239
2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4
3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04
5 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.82
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15
7 559 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73
8 532 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44
例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.
16. 正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
（1）求数列通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
17. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
18. 已知函数；
（1）当时，证明：对任意，；
（2）若是函数的极值点，求实数的值．
19. 已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
（1）求的值；
（2）在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．昆明市2023-2024学年高三三模
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.
【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.
故选：A.
2. 已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据点在抛物线上求出p，再根据抛物线的定义求出焦半径即可.
【详解】将代入，即，
所以，
所以.
故选：B.
3. 已知中，，，，则的面积等于（ ）
A 3 B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】由余弦定理得，，因为为三角形内角，
则，
所以，
故选：B．
4. 某学校邀请五个班的班干部座谈，其中班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（ ）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可．
【详解】由题分两类讨论，当班选到1位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
当班选到2位班干部发言有种选法，其余班级有种选法；
故共有种选法，
故选：C．
5. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则“”是“”的必要条件
B. 若，，则“”是“”的充分条件
C. 若，则“”是“”的充要条件
D. 若，则“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质可判断A；利用线面平行的判定和性质可判断B；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C；利用线面平行的性质可判断D.
【详解】对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，
所以是的充分条件，故B正确；
对于C，，则“”“”，
则“”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，，则“”“或”，
“”“m，n相交、平行或异面”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.
故选：A.
6. 在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全概率公式即可求解.
【详解】设事件A表示“小明第一次投篮命中”，事件B表示“小明第二次投篮命中”，
则，
所以，
解得.
故选：B
7. 某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可．
【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则，
设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则，
所以，
因为该艺术吊灯总高度为14，，所以，
设球半径为，则，
在中，，解得，
所以球的体积为，
故选：C．
8. 函数在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，对任意，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为奇函数
C. 在单调递减 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件，通过赋值法求出及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．
【详解】令得，，则；
对于A，令，有，则，
令，有，则，故A错误；
对于B，令，则，故为偶函数，故B错误；
对于C，因为在上的图象是一条连续不断的曲线，且与轴有且仅有一个交点，，
所以当时，，设，令，
则，即，
所以在单调递增，故C错误；
对于D，由上述结论得，为偶函数，且在单调递增，，
所以若，则，故D正确；
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A. B. A与相互独立
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确.
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.
故选：ABD
10. 已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是偶函数
C. 是函数的一个极值点 D. 在单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】由最小正周期大于，关于点中心对称，可知，对于，直接代入函数解析式求解即可；对于，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于，通过求导，令导函数为，求得的值，并判断左右两端函数的单调性即可判断；对于，通过求函数的单调递增区间即可求解.
【详解】因为的最小正周期大于，
所以，即，
又关于点中心对称，
所以，
所以，因为，所以当时，，
所以，
对于，，故正确；
对于，，
由且是全体实数，所以是偶函数，故正确；
对于，，令得，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，故正确；
对于， 由，，
得，
函数的单调递增区间为，，
当时，，
当时，，
显然函数在上不单调，故不正确.
故选：.
11. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则直线的斜率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC.
【详解】，不妨设在第二象限，
当时，则，则，故，
，,故,，
由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确，
由于，所以,B错误，
延长,交于点，连接,
由于是的角平分线，，所以,
故是的中点，,
由双曲线定义可得，
又是的中点，,故C正确，D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数满足，则__________
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.
【详解】因为复数满足，所以，所以.
故答案：.
13. 过点可以向曲线作条切线，写出满足条件的一组有序实数对__________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对的取值范围进行讨论，得到解的个数，可得对应的切线条数.
【详解】，，
设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为，
得切线方程为，
由切线过点，有，
化简得，
设，则，
，解得或；，解得，
在和上单调递减，在上单调递增，
极大值，极小值，
且或时，时，，
的函数图象如图所示，
则当时，无解，；当或时， 有一个解，；
当或时，有两个解， ；当时，有三个解， .
故答案为：（答案不唯一）
14. 以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为__________
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意求出所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可.
【详解】由题意可知,
所以有，因为
所以，
当且仅当，即时取等号，
另外，当且仅当即时取等号，
综合上述，所以有即，当且仅当时取等号.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：
甲：93 95 81 72 80 82 92
乙：85 82 77 80 94 86 92 84 85
经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.
（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；
（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量，其中个数据的方差为，个数据的方差为，且．若，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若的临界值采用下表中的数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161 200 216 225 230 234 237 239
2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4
3 10.1 9.55 928 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04
5 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.82
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44
例如：对应的临界值为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.
【答案】（1），
（2）没有显著性差异
【解析】
【分析】（1）根据数据求出两位同学的均值，再结合均值用方差公式求解即可；
（2）根据题意求出的近似值，比较的临界值即可求解.
【小问1详解】
依题意：，，
所以，，
.
【小问2详解】
由于，则，，，，
则，
查表得对应的临界值为3.58，则，
所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.
16. 正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）求得后，讨论n为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.
【小问1详解】
当时，，即，，
所以，同理．
当时，，化简得：
，因为，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因为是等比数列，所以，即，所以．
【小问2详解】
由（1）知，
所以当为奇数时，
，
，
同理当为偶数时，．
所以.
17. 如图，在三棱台中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足，．
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得，根据线面垂直的判定定理可得结果；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.
【小问1详解】
证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以，
因为，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
以为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为，
则，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为．
18. 已知函数；
（1）当时，证明：对任意，；
（2）若是函数的极值点，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）求导得到函数的单调区间，求出，结合对数的运算可得结果；
（2）求导得到函数的单调区间，可得在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，进而求出结果即可.
【小问1详解】
当时，，，
当时，，则；
当时，，，故，所以在单调递增，
因为，所以，所以，
所以，所以，故；
综上，对任意，．
【小问2详解】
，，因为是的极值点，
所以，即．
当时，，令，则，
由（1）可知，对任意，，故在单调递增，又，
故当时，，即，当时，，即，
故在单调递减，在单调递增，满足是的极值点，
综上，实数的值为1．
【点睛】关键点点睛：第二问由极值点求参数可先分析单调性，再由极值点处导数为零求参数即可.
19. 已知曲线由半圆和半椭圆组成，点在半椭圆上，，．
（1）求的值；
（2）在曲线上，若（是原点）．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）如图，点在半圆上时，将轴左侧半圆沿轴折起，使点到，使点到，且满足，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）是椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义求的值；
（2）（ⅰ），，两点的位置，分类讨论的值，利用换元法和二次函数的性质可求的取值范围；
（ⅱ）过作垂直轴，垂足为，设，把表示为的函数，利用换元法和三角函数的性质求的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，是椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义知：．
【小问2详解】
（ⅰ）由题意知，，则，
当为半椭圆右顶点时，，
当不为半椭圆右顶点时，设直线方程为，联立，
解得，，故，
①若点在半圆上，则，
所以，
所以，所以，
②若点在半椭圆上，因为，
设直线的方程为，同理可得，
所以，令，
则，
因为，故，所以，所以，
综上所述，所以．
（ⅱ）
过作垂直轴，垂足为，设，则，
，所以，
即，
，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线轴，
则有，
所以，
令，，
当且仅当，时，取得最大值．
综上所述的最大值为．
【点睛】方法点睛：
折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向.
