2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数基础专项训练（学生版）
目标层级图
一.二次函数定义
1.二次函数的定义
1.一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．
*二次函数自变量的取值范围是全体实数
2.任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式．
3.判断函数是否为二次函数的方法：
（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2；
（2）二次项系数不等于0；
（3）等式两边都是整式．
例1．下列关于函数中，一定是二次函数的有
①②③④⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2．若是关于的二次函数，则的值为
A． B．1 C．或1 D．2或1
过关检测
1．函数是二次函数，则 ．
2．若是的二次函数，则 ．
二.二次函数的图象与性质
1. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
2. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
3. 和的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
4. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
一般式与顶点式的转换：
总结：1.二次函数函数图象是_________。
2. 决定开口_____和______；越大，开口越小。
【题型一】二次函数的基本性质（开口，顶点，对称轴）
例1．对于二次函数，下列说法正确的是
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
例2．抛物线的顶点为
A． B． C． D．
【过关检测】
1．如图，抛物线交轴于，两点，则下列判断中，错误的是
A．图象的对称轴是直线
B．当时，
C．当时，随的增大而减小
D．一元二次方程中的两个根是和3
2．由二次函数可知
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
3．对于二次函数，下列说法正确的是
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小
4．关于的图象，下列叙述正确的是
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，随增大而增大 D．当时，随增大而减小
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线：③顶点坐标为；④时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型二】二次函数图象上点的坐标特征（增减性）
例1．若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
例2.设、、是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
例3.已知二次函数的图象经过原点，则的值为
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
过关检测
1．若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．
2.已知点，在二次函数的图象上，
则 ．（填“”，“ ”或“”
3．若二次函数的图象经过，，三点，则、、的关系是
A． B． C． D．
【题型三】二次函数结合图象求最值
在解决这类最值问题的时候，先搞清楚图象开口方向，其次找准对称轴，画出简易抛物线图象后，再根据题中所给条件来求最值。
1、已知顶点式（或已知条件中直接有顶点坐标），求最值（无区间限制）
例1.已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
例2.函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
*例3.已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ．
过关检测
1.已知抛物线的开口向上，顶点坐标为，那么该抛物线有
A．最小值 B．最大值 C．最小值3 D．最大值3
2.关于二次函数，则下列说法正确的是
A．当时，有最大值为2 B．当时，有最小值为2
C．当时，有最大值为2 D．当时，有最小值为2
2、看图象（或自己通过已知条件画简易图） 根据图象来直接求最值 （有区间限制）
例1. 已知二次函数的图象如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0
C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值
例2. 已知函数的最大值与最小值的和为
A．18 B．0 C．10 D．无法确定
*例3.二次函数在的范围内有最小值，则的值是
A． B． C．2 D．3
过关检测
1.已知二次函数的图象如图，当时，下列说法正确的是
A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
2.当时，二次函数的最大值为 ．
3.在二次函数中，当时，的最大值和最小值分别是
A．0， B．0， C．， D．0，0
【题型四】二次函数图象与系数的关系
1. ：图象开口方向：,开口________；,开口_________。
2. :与共同决定对称轴位置：左同右异（同左异右）
对称轴在y轴左边，,________,对称轴在y轴右边，, _______。
3. c：图象与y轴的交点 ，与y轴交于_______,,与y轴交于_______。
4. 与：对称轴与或作比较。
5.
6. 函数图象与x轴交点个数问题
函数图象顶点位置
7. 与
8.其他关系
通过对称轴位置找与的关系；
通过函数图象经过的特殊点找系数之间的关系;
通过对称性找之间的关系
例1．已知某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的有
①；②； ③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.二次函数的图象如图所示，有如下结论：
①；
②；
③；
④为实数）．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3.如图是二次函数的图象，对于下列说法：
①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小，其中正确的说法个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
过关检测
1.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
A．仅①②③ B．仅②③④ C．仅①②④ D．①②③④
2.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是
A． B．
C． D．为任意实数）
3．已知抛物线的图象如图所示，下列说法正确的是
A． B．
C． D．当时，随增大而增大
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④为实数）．其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数）．其中正确的结论有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．二次函数的图象如图所示、则下列结论：①；②；③，正确的是
A．①③ B．①② C．①②③ D．②③
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；
②；
③；
④为实数）；
⑤．
其中错误结论的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型五】二次函数的几何变换
1、平移变换
平移方法总结：
抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即的值不变。
解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可。
解答思路：（上加下减，左加右减）
先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式。（平移前先把二次函数的解析式化成顶式）
例1.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是
A． B． C． D．
例2.将抛物线向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
例3.将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则，的值分别是
A．， B．， C．， D．，
*例4.在平直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
A． B． C． D．
例5.将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
例6.二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析，则与分别等于
A．2， B．，14 C．，6 D．，18
过关检测
1.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为
A． B．
C． D．
2.将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为
A． B．
C． D．
3.将抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是
A． B． C． D．
4．二次函数的图象如何平移就得到的图象
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
5.抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
6.抛物线的图象向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则、的值为
A．， B．， C．， D．，
2、翻折变换
翻折方法总结：
二次函数图象的翻折对称有五种情况，常考的有以下四种，可以用一般式或顶点式来表达。
解答思路：
根据对称的性质，无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变。求解表达式时，先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，最后再写出表达式。
例1.二次函数关于轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为 ．
例2.在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
过关检测
1.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 ．
2.抛物线与抛物线关于轴对称，点，都在抛物线上，则、的大小关系是 ．
3．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ．
3、旋转变换
旋转方法总结：
1.图象绕原点旋转，顶点的横纵坐标与的符号全部变相反数
2.图象绕顶点旋转，顶点坐标不变，的符号变为相反数
例1. 将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ．
例2.将抛物线绕着点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
**例3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
过关检测
1.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则原抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
2．如图，抛物线与轴的交点为、，与轴的交点为，顶点为，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为；
（1）求抛物线的解析式；
【题型六】函数图图象综合
（1）通过已知图象分析各项系数，从而判断其他图象在坐标系中所处位置
例1. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是
A．B． C． D．
例2.已知二次函数，，是常数，且的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是
A．B．C． D．
例3.二次函数的图象如图所示、、为常数），则函数和在同一平面直角坐标系中的图象，可能是
A． B． C． D．
例4.如果反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致为
A．B． C．D．
过关检测
1. 如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是
A．B． C． D．
2. 已知二次函数的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是
A．B． C． D．
3.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为
A．B． C．D．
4.已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为
A．B． C． D．
（2）在同一坐标系中的函数图像问题
例1. 函数和在同一坐标系里的图象大致是
A．B． C．D．
例2.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象为
A．B． C． D．
例3.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是
A．B． C．D．
例4.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数是常数且的图象可能是
A．B． C．D．
过关检测
1.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B． C．D．
2.在同一坐标系中，函数与的图象大致为下图中的
A．B． C． D．
3.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是
A．B．C．D．
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A．B． C．D．
三.确定二次函数的表达式
（1）一般式：
如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）、、，那么方程组就可以唯一确定、、，从而求得函数解析式．
温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．
（2）顶点式：
由于，所以当已知二次函数图像的顶点坐标时，就可以设二次函数形如，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线又称为二次函数图像的对称轴．
温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．
（3）交点式：
我们知道，，这里分别是方程的两根．当已知二次函数的图像与轴有交点（或者说方程有实根）时，就可以令函数解析式为，从而求得此函数的解析式．
温馨提示：已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
例1.已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
例2.已知二次函数过点，且顶点为，求函数解析式．
例3.已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点，求这条抛物线的解析式；
过关检测
1．将二次函数化成顶点式，变形正确的是
A． B． C． D．
2．将下列函数化成的形式：
（1）；
（2）．
3．对称轴为直线的抛物线经过点和点．求抛物线的解析式及顶点坐标．
4．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．求抛物线的解析式；
四.二次函数的应用
（一）二次函数面积问题
例1．如图，点、、、分别是正方形边、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能为
A． B．
C． D．
例2．若把一根长的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为 ．
例3．如图，在中，，上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上．设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不需写出的取值范围）．
例4．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
过关检测
1．扎西的爷爷用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设这个矩形的宽为，则矩形面积随之变化的函数解析式为 ．
2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是，则所围成矩形的最大面积是 ．
3． 一段长为的墙前有一块矩形空地，用篱笆围成如图所示的图形，共用去（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设．
（1）填空： （用含的代数式表示）；
（2）若矩形面积为，求长；
（3）当长为多少时，矩形的面积最大．
（二） 二次函数利润问题
例1. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨元，月销售利润为元，则与的函数关系式为
A． B．
C． D．
例2. 某超市对进货价为10元千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是
A．180 B．220 C．190 D．200
例3．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件） 12 13 14 15 16
（件 1200 1100 1000 900 800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
例4．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元件，经过市场调查获悉，日销售量（件与销售价格（元件）的函数关系如图所示：
（1）求出与之间的函数表达式；
（2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？
（3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？
例5．为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用（元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
过关检测
1. 一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为 ．
2. 已知某商品每箱盈利10元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价元时（其中为正整数），每天的总利润为元，则与之间的关系式为 ．
3. 为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
4．随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：千米），乘坐地铁的时间（单位：分钟）是关于的一次函数，其关系如下表：
地铁站
（千米） 8 9 10 11.5 13
（分钟） 18 20 22 25 28
（1）求关于的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受的影响，其关系可以用来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
5．随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
（三） 二次函数其他综合
例1. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球运动的时间为；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当时，小球的高度．
其中正确的是
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
例2. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点到水枪底部的距离为 ．
例3. 某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．一木船宽，高，载货后，木船露出水面的部分为．以拱顶为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，、为抛物线与水面的交点．
（1）点的坐标为 ；
（2）求抛物线解析式；
（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？
过关检测
1. 某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度．
2. 一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度与水平距离之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点时，达到最大高度，橄榄球在距离原点13米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．
五.二次函数与一元二次方程
（一）抛物线与x轴交点问题
对于，当时，即是，方程的两个根即为抛物线与轴的两个交点的很坐标。
例1．已知二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
例2．抛物线与坐标轴的交点个数是 ．
过关检测
1. 二次函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
2.若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 ．
例3.若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
例4.函数图象的草图如图所示，则关于的方程为常数）的根的情况，描述错误的是
A．方程可能没有实数根
B．方程可能有三个互不相等的实数根
C．若方程只有两个实数根，则的取值范围为：
D．若方程有四个实数根，记为、、、，则
例4.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
例6．若关于的函数的图象与坐标轴只有两个公共点，则的值为 ．
过关检测
1.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是 ．
2.若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 ．
3.已知二次函数的图象如图所示， 若方程有两个不相等的实数根， 则的取值范围是 ．
（二）图象法求一元二次方程的近似根
例1.在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
0 1 2
0 0 4
则关于的方程的根为 ．
例2．根据下列表格的对应值，判断方程，、、为常数）一个解的范围是
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B． C． D．
例3．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是
A． B． C． D．
过关检测
1.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
A． B． C． D．
2．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3.关于的函数，，是方程的二根，则，，，的大小关系是 ．
（三）二次函数与不等式（组）
例1．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．
（2）若随的增大而减小，则自变量的取值范围是 ．
（3）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是 ．
例2.如图，直线和抛物线交于和 两点，使得的的取值范围是
A． B． C． D．或
例3.如图，抛物线与直线相交于、，点的横坐标为，与轴相交于点，从图象可知，当时，自变量的取值范围是
A． B．或
C． D．或
过关检测
1.已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
2．如图，直线与抛物线相交于点和点，则关于的不等式的解集为 ．
2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数基础专项训练（解析版）
目标层级图
一.二次函数定义
1.二次函数的定义
1.一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．
*二次函数自变量的取值范围是全体实数
2.任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式．
3.判断函数是否为二次函数的方法：
（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2；
（2）二次项系数不等于0；
（3）等式两边都是整式．
例1．下列关于函数中，一定是二次函数的有 A
①②③④⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2．若是关于的二次函数，则的值为 C
A． B．1 C．或1 D．2或1
过关检测
1．函数是二次函数，则 ≠-2 ．
2．若是的二次函数，则 2 ．
二.二次函数的图象与性质
1. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
2. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
3. 和的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
4. 的图象与性质
开 口 对称轴 顶 点 最 值 增减性
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
在对称轴左边，y随x的增大而_____,在对称轴右边，y随x的增大而______。
一般式与顶点式的转换：
总结：1.二次函数函数图象是_________。
2. 决定开口_____和______；越大，开口越小。
【题型一】二次函数的基本性质（开口，顶点，对称轴）
例1．对于二次函数，下列说法正确的是 C
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线
例2．抛物线的顶点为 C
A． B． C． D．
【过关检测】
1．如图，抛物线交轴于，两点，则下列判断中，错误的是 B
A．图象的对称轴是直线
B．当时，
C．当时，随的增大而减小
D．一元二次方程中的两个根是和3
2．由二次函数可知 B
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
3．对于二次函数，下列说法正确的是 D
A．图象开口向下 B．当时，随的增大而减小
C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小
4．关于的图象，下列叙述正确的是 C
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，随增大而增大 D．当时，随增大而减小
5．对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线：③顶点坐标为；④时，随的增大而减小，其中正确结论的个数为 C
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型二】二次函数图象上点的坐标特征（增减性）
例1．若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是 A
A． B． C． D．
例2.设、、是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是 C
A． B． C． D．
例3.已知二次函数的图象经过原点，则的值为 C
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
过关检测
1．若点，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
2.已知点，在二次函数的图象上，
则 ＜ ．（填“”，“ ”或“”
3．若二次函数的图象经过，，三点，则、、的关系是 D
A． B． C． D．
【题型三】二次函数结合图象求最值
在解决这类最值问题的时候，先搞清楚图象开口方向，其次找准对称轴，画出简易抛物线图象后，再根据题中所给条件来求最值。
1、已知顶点式（或已知条件中直接有顶点坐标），求最值 （无区间限制）
例1.已知抛物线的开口向下，顶点坐标为，那么该抛物线有
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为，
所以该抛物线有最大值．故选：．
例2.函数的最小值是
A．1 B． C．2 D．
【分析】抛物线开口向上，有最小值，顶点坐标为，顶点的纵坐标即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当时，二次函数的最小值是．
故选：．
*例3.已知抛物线有最高点，那么的取值范围是 ．
【分析】由于原点是抛物线的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定的范围．
【解答】解：原点是抛物线的最高点，，
即．故答案为．
过关检测
1.已知抛物线的开口向上，顶点坐标为，那么该抛物线有
A．最小值 B．最大值 C．最小值3 D．最大值3
【解答】解：由抛物线的开口向上，顶点坐标为，
可知该抛物线有最小值，故选：．
2.关于二次函数，则下列说法正确的是
A．当时，有最大值为2 B．当时，有最小值为2
C．当时，有最大值为2 D．当时，有最小值为2
【解答】解：二次函数当时，有最小值为2．故选：．
2、看图象（或自己通过已知条件画简易图） 根据图象来直接求最值 （有区间限制）
例1. 已知二次函数的图象如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值，有最大值0
C．有最小值，有最大值3 D．有最小值，无最大值
【解答】解：由图可知，时，
该二次函数时，有最小值，
时，有最大值3． 故选：．
例2. 已知函数的最大值与最小值的和为
A．18 B．0 C．10 D．无法确定
【分析】根据抛物线的自变量的取值范围问题，可得出二次函数的最值，再求和即可．
【解答】解：函数的对称轴为，
当时，函数有最小值，
，当时，函数的最大值为14，
．故选：．
*例3.二次函数在的范围内有最小值，则的值是
A． B． C．2 D．3
【分析】首先把二次函数转化成顶点坐标式，找到其对称轴，然后根据在内有最小值，判断的取值．
【解答】解：把二次函数转化成顶点坐标式为，
又知二次函数的开口向下，对称轴为，
故当时，二次函数有最小值为，
故，故．故选：．
过关检测
1.已知二次函数的图象如图，当时，下列说法正确的是
A．有最小值、最大值0 B．有最小值、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【解答】解：由二次函数的图象可知，
，
当时函数有最大值，；
当时函数值最小，．故选：．
2.当时，二次函数的最大值为 1 ．
【分析】根据二次根式的性质得到当时，随的增大而减小，计算即可．
【解答】解：，当时，随的增大而减小，
当时，二次函数的最大值为1，故答案为：1．
3.在二次函数中，当时，的最大值和最小值分别是
A．0， B．0， C．， D．0，0
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．
【解答】解：抛物线的对称轴是，
则当时，，是最小值；
当时，是最大值．故选：．
【题型四】二次函数图象与系数的关系
1. ：图象开口方向：,开口________；,开口_________。
2. :与共同决定对称轴位置：左同右异（同左异右）
对称轴在y轴左边，,________,对称轴在y轴右边，, _______。
3. c：图象与y轴的交点 ，与y轴交于_______,,与y轴交于_______。
4. 与：对称轴与或作比较。
5.
6. 函数图象与x轴交点个数问题
函数图象顶点位置
7. 与
8.其他关系
通过对称轴位置找与的关系；
通过函数图象经过的特殊点找系数之间的关系;
通过对称性找之间的关系
例1．已知某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的有 A
①；②； ③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2.二次函数的图象如图所示，有如下结论：
①；
②；
③；
④为实数）．
其中正确结论的个数是 D
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3.如图是二次函数的图象，对于下列说法：
①；②；③；④；⑤当时，随的增大而减小，其中正确的说法个数有 B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例4. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的个数是 C
A．1 B．2 C．3 D．4
过关检测
1.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 D
A．仅①②③ B．仅②③④ C．仅①②④ D．①②③④
2.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是 C
A． B．
C． D．为任意实数）
3．已知抛物线的图象如图所示，下列说法正确的是 C
A． B．
C． D．当时，随增大而增大
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②；③；④为实数）．其中结论正确的有 B
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤的实数）．其中正确的结论有 B 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．二次函数的图象如图所示、则下列结论：①；②；③，正确的是 C
A．①③ B．①② C．①②③ D．②③
7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给以下结论：①；
②；
③；
④为实数）；
⑤．
其中错误结论的个数有 A
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8.二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是 A
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型五】二次函数的几何变换
1、平移变换
平移方法总结：
抛物线的平移只改变它的位置，不改变其形状和开口方向，即的值不变。
解决这类问题的关键是利用好平移特征，在图形的平移中，一个点的位置变化和一个图形的位置变化是一致的，只须抓住抛物线的顶点需要进行怎样的平移即可。
解答思路：（上加下减，左加右减）
先求出抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标进行平移改变，再利用顶点式求出平移后的抛物线解析式。（平移前先把二次函数的解析式化成顶式）
例1.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是
A． B． C． D．
解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标为，
得到的抛物线是．故选：．
例2.将抛物线向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为，故选：．
例3.将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线，则，的值分别是
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
平移后解析式为：，则，，故选：．
*例4.在平直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
A． B． C． D．
【分析】将轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得．
【解答】解：将轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，
将轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，
在新坐标系下抛物线的解析式为，故选：．
例5.将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线
A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【解答】解：，则抛物线的顶点坐标为，
把点先向左平移4个单位，再向上平移5个单位得到点，
所以将抛物线先向左平移4个单位，再向上平移5个单位，使它平移后图象的顶点为．故选：．
例6.二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析，则与分别等于
A．2， B．，14 C．，6 D．，18
【解答】解：得到函数解析
将新二次函数向下平移3个单位，再向右平移2个单位，
得到的解析式为，即
又 ， 故选：．
过关检测
1.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为
A． B．
C． D．
【解答】解：将抛物线向左平移2个单位长度所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：，即．故选：．
2.将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为
A． B．
C． D．
【解答】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是
所得抛物线解析式是．故选：．
3.将抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：将抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得
抛物线解析式为， 所以平移后的抛物线的顶点为． 故选：．
4．二次函数的图象如何平移就得到的图象
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【解答】解：新抛物线的顶点为，原抛物线的顶点为，
二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，便得到二次函数的图象，故选：．
5.抛物线经过平移得到，平移方法是（ ）
A．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
D．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
【解答】解：得到顶点坐标为，
平移后抛物线的顶点坐标为，
平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位． 故选：．
6.抛物线的图象向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，则、的值为
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线的图象向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得抛物线的顶点坐标为，
所得抛物线的解析式为．
，， 故选：．
2、翻折变换
翻折方法总结：
二次函数图象的翻折对称有五种情况，常考的有以下四种，可以用一般式或顶点式来表达。
解答思路：
根据对称的性质，无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变。求解表达式时，先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，最后再写出表达式。
例1.二次函数关于轴对称的图象所对应的函数化成顶点式为 ．
【解答】解：，顶点坐标是，该点关于轴对称的点的坐标是，
所以二次函数关于轴对称的对应的函数关系式是．
故答案是：．
例2.在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据关于轴对称，，不变，变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：抛物线与关于轴对称，
，解之得，
则符合条件的，的值为，， 故选：．
过关检测
1.在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为 ．
【解答】解：先将抛物线关于轴作轴对称变换，可得新抛物线为；
再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，可得新抛物线为．
故答案为：．
2.抛物线与抛物线关于轴对称，点，都在抛物线上，则、的大小关系是 ．
【解答】解：抛物线与抛物线关于轴对称，
，，抛物线的解析式为：，
此抛物线开口向上，对称轴，
，点，均在对称轴的左侧，．故答案为：．
3．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，则抛物线的解析式为 ．
【解答】解：原抛物线的顶点为，沿直线翻折，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故答案是：．
3、旋转变换
旋转方法总结：
1.图象绕原点旋转，顶点的横纵坐标与的符号全部变相反数
2.图象绕顶点旋转，顶点坐标不变，的符号变为相反数
例1. 将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ．
【分析】先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标， 再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反， 利用顶点式解析式写出即可 ．
【解答】解：，，，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为
，
即． 故答案为：．
例2.将抛物线绕着点旋转，则旋转后的抛物线的解析式为 ．
【解答】解：抛物线的顶点为，
设绕着点旋转得到，
，，解得，，
绕着点旋转得到，
故旋转后的抛物线解析式是．
故答案为：．
**例3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
【分析】（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，由，消去得到，由题意，抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点，，，设抛物线的解析式为，
把，代入可得，抛物线的函数表达式为．
（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
由，消去得到，
由题意，抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得
过关检测
1.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先绕它的顶点旋转，再向上平移3个单位长度，得到抛物线，则原抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再求得向下平移3个单位长度后的顶点，最后求出绕原点旋转的抛物线解析式顶点即可．
【解答】解：抛物线的解析式为：，
顶点为， 向下平移3个单位长度顶点为，
绕原点旋转后，得到原抛物线的方程为， 故选：．
2．如图，抛物线与轴的交点为、，与轴的交点为，顶点为，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为；
（1）求抛物线的解析式；
【分析】（1）本问涉及抛物线的旋转变换，首先求出点坐标，再由点、关于点成中心对称，求出点的坐标，从而得到抛物线的解析式；注意由于开口方向相反，两个抛物线的值也相反；
【解答】解：（1）顶点坐标为，，，
抛物线的解析式为：，
，．
由旋转性质可知，点与点关于点成中心对称，，
抛物线的解析式为：．
【题型六】函数图图象综合
（1）通过已知图象分析各项系数，从而判断其他图象在坐标系中所处位置
例1. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是
A．B． C． D．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，
反比例函数的图象必在二、四象限，故、错误；
二次函数的图象经过原点，
，
一次函数的图象必经过原点，故错误． 故选：．
例2.已知二次函数，，是常数，且的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是
A．B．C． D．
【解答】解：抛物线开口向上，，
抛物线的对称轴为直线，，
抛物线与轴的交点在轴下方，，
一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数分布在第一、三象限．
故选：．
例3.二次函数的图象如图所示、、为常数），则函数和在同一平面直角坐标系中的图象，可能是
A． B． C． D．
【分析】由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴交于轴下方得，由抛物线的对称轴得，所以；根据抛物线与轴有2个交点可得，得出一次函数的图象经过第一、二、四象限；利用对称轴的位置和不等式性质即可得到，得出反比例函数的图象位于第一、三象限；即可得出结论．
【解答】解：抛物线开口向上，，
抛物线与轴交于，，
抛物线的对称轴为直线，，；
抛物线与轴有2个交点，
，；
函数经过第一、二、四象限；
，而，，即，
函数的图象位于第一、三象限；故选：．
例4.如果反比例函数的图象如图所示，那么二次函数的图象大致为
A．B． C．D．
【分析】根据反比例函数图象得出的符号，再利用的符号判断抛物线的开口方向，对称轴，选择正确答案．
【解答】解：根据反比例函数图象可知，
由，配方得，
开口向上，且对称轴，在轴右侧．
故选：．
过关检测
1. 如果二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是
A．B． C． D．
【解答】解：抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴由于轴的左侧；
与同号，
，
抛物线经过原点，所以．
，，
直线经过二、四象限和坐标原点．
，
反比例函数的图象，位于二、四象限． 故选：．
2. 已知二次函数的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是
A．B． C． D．
【分析】根据二次函数的图象，确定、、的符号，再根据、、的符号判断一次函数和反比例函数的图象大致位置．
【解答】解：由二次函数图象可知，，
由对称轴，可知，
一次函数的图象经过一、三、四象限，
反比例函数的图象在一、三象限．
故选：．
3.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为
A．B． C．D．
【解答】解：由二次函数的图象开口向上可知，，
因为图象与轴的交点在轴的负半轴，所以，
根据函数图象的对称轴，可知，
，，，，
一次函数的图象过一、二、四象限，故可排除、；
由函数图象可知，当时，，即，
反比例函数的图象在一、三象限，可排除选项，
故选：．
4.已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为
A．B． C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【解答】解：函数的图象经过二、四象限，，
抛物线开口向下，对称轴，
即对称轴在轴的左边．
故选：．
（2）在同一坐标系中的函数图像问题
例1. 函数和在同一坐标系里的图象大致是
A．B． C．D．
【解答】解：由，中的二次函数图象可得，，因为，故，错误；
由，中的二次函数图象可得，，所以的图象在二，四象限内，故错误，正确． 故选：．
例2.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象为
A．B． C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，故错误；
、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，故错误；
故选：．
例3.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是
A．B． C．D．
【解答】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和轴的正半轴相交，故选项错误；
、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误 故选：．
例4.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数是常数且的图象可能是
A．B． C．D．
【解答】解：、由一次函数图象可知，，，二次函数的图象开口应该向下，故选项不合题意；
、由一次函数图象可知，，，，二次函数的图象开口向下，且对称轴在轴的正半轴，故选项不合题意；
、由一次函数图象可知，，，，二次函数的图象开口向上，且对称轴在轴的负半轴，一次函数必经过点，当时，二次函数值，故选项符合题意；
、由一次函数图象可知，，，，二次函数的图象开口向上，且对称轴在轴的负半轴，一次函数必经过点，当时，二次函数值，故选项不合题意；
故选：．
过关检测
1.在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A．B． C．D．
【分析】根据二次函数得抛物线开口向上，排除，根据一次函数，得直线与轴的正半轴相交，排除；根据抛物线得，故排除．
【解答】解：二次函数抛物线开口向上，排除，
一次函数，
直线与轴的正半轴相交，排除；
抛物线得，排除；
故选：．
2.在同一坐标系中，函数与的图象大致为下图中的
A．B． C． D．
【分析】本题根据的符号，分类讨论：当时，符合的图象有、、，再根据的符号，对函数的图象位置进行判断，逐一排除．
【解答】解：当时，函数的图象应该在一、三象限，排除；
函数的图象又因取值的不同而不同：
时，开口向上，对称轴，排除；
时，开口向下，对称轴，排除；
符合．故选．
3.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是
A．B．C．D．
【解答】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误；
、由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项正确；
、由抛物线可知，，，由直线可知，，，但抛物线顶点不在直线上，故本选项错误．
故选：．
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
A．B． C．D．
【解答】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，正确；
、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，错误；
、由抛物线可知，，由直线可知，，错误．
故选：．
三.确定二次函数的表达式
（1）一般式：
如果已知二次函数的图像上的三点坐标（或称函数的三对对应值）、、，那么方程组就可以唯一确定、、，从而求得函数解析式．
温馨提示：已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式．
（2）顶点式：
由于，所以当已知二次函数图像的顶点坐标时，就可以设二次函数形如，从而利用其他条件，容易求得此函数的解析式．这里直线又称为二次函数图像的对称轴．
温馨提示：已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式．
（3）交点式：
我们知道，，这里分别是方程的两根．当已知二次函数的图像与轴有交点（或者说方程有实根）时，就可以令函数解析式为，从而求得此函数的解析式．
温馨提示：已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式．
例1.已知二次函数图象经过点、、三点，求此二次函数解析式．
例2.已知二次函数过点，且顶点为，求函数解析式．
例3.已知抛物线经过A（-3，0）、B（0，3）、C（2，0）三点，求这条抛物线的解析式；
过关检测
1．将二次函数化成顶点式，变形正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式即可．
【解答】解：
，
故选：．
2．将下列函数化成的形式：
（1）；
（2）．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：（1），
，
；
（2），
，
．
3．对称轴为直线的抛物线经过点和点．求抛物线的解析式及顶点坐标．
【分析】根据对称轴设抛物线的解析式为，将、两点坐标代入，列方程组求、的值；
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
则依题意得：，
解之得：，
即：，顶点坐标为，；
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积，注意方程思想与函数思想的应用．
4．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．求抛物线的解析式；
【分析】将点、、的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式求解；
【解答】解：将、，代入得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确的求解二次函数的解析式是解答本题的关键．
四.二次函数的应用
（一）二次函数面积问题
例1．如图，点、、、分别是正方形边、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能为
A． B．
C． D．
【分析】本题需先设正方形的边长为，然后得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与的函数图象是．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，在解题时要能根据几何图形求出解析式，得出函数的图象．
例2．若把一根长的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为 ．
【分析】先将铁丝分成和两部分，再列出二次函数，求其最小值．
【解答】解：如图，设将铁丝分成和两部分，列方程得：
，
由于，故其最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，此题与实际问题结合，要抽象出二次函数，同时要熟悉配方法．
例3．如图，在中，，上的高，矩形的边在边上，顶点、分别在边、上．设，矩形的面积为，那么关于的函数关系式是 ．（不需写出的取值范围）．
【分析】根据题意和三角形相似，可以用含的代数式表示出，然后根据矩形面积公式，即可得到与的函数关系式．
【解答】解：四边形是矩形，，上的高，，矩形的面积为，
，
，
，
得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
例4．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出的取值范围；
（2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可．
【解答】解：（1）四边形是矩形，米，
米，
墙长为22米，
，
，
，
即；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知，，
当时，有最大值200，
即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解．
过关检测
1．扎西的爷爷用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设这个矩形的宽为，则矩形面积随之变化的函数解析式为 ．
【分析】根据题意和图形，可以写出矩形面积随之变化的函数解析式，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式．
2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是，则所围成矩形的最大面积是 16 ．
【分析】首先设围成矩形的长是，则宽为，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设围成矩形的长是，则宽为，矩形的面积为：
．
二次项系数为，
当时，有最大值，最大值为16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键．
3． 一段长为的墙前有一块矩形空地，用篱笆围成如图所示的图形，共用去（靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计），其中四边形和四边形是矩形，四边形是边长为的正方形，设．
（1）填空： （用含的代数式表示）；
（2）若矩形面积为，求长；
（3）当长为多少时，矩形的面积最大．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）矩形面积，即可求解；
（3）设矩形的面积为，则，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：，
故答案为；
（2），
而，即，解得，
矩形面积，解得或（舍去），
故长为；
（3）设矩形的面积为，则，
，故抛物线开口向下，
而，
当时，随的增大而减小，
故当时，取得最大值．
故当长为时，矩形的面积最大．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，确定的长度并求出的取值范围是本题的关键．
二. 二次函数利润问题
例1. 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨元，月销售利润为元，则与的函数关系式为
A． B．
C． D．
【分析】直接利用销量每千克利润总利润，得出函数关系式即可．
【解答】解：设每千克涨元，月销售利润为元，则与的函数关系式为：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键．
例2. 某超市对进货价为10元千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量（千克）与销售价（元千克）存在一次函数关系，如图所示．则最大利润是
A．180 B．220 C．190 D．200
【分析】由图象过点和，利用待定系数法求直线解析式，然后根据每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
【解答】解：设，由图象可知，，
解之，得：，
；
设销售利润为，根据题意得，
，
，
有最大值，
当时，．
即当销售单价为20元千克时，每天可获得最大利润200元，
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及求二次函数最值等知识，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．
例3．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量（单位：件）与线下售价（单位：元件，满足一次函数的关系，部分数据如下表：
（元件） 12 13 14 15 16
（件 1200 1100 1000 900 800
（1）求与的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出与的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为元，则，由二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）与满足一次函数的关系，
设，
将，；，代入得：，
解得：，
与的函数关系式为：；
（2）设线上和线下月利润总和为元，
则，
当为19元件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
例4．奏响复工复产“协奏曲”，防疫复产两不误．四川省出台《关于应对新型冠状病毒肺炎疫情缓解中小企业生产经营困难的政策措施》，推出减负降成本、破解融资难、财政补贴和税收减免、稳岗支持等13条举措，携手中小企业共渡难关．某企业积极复工复产，生产某种产品成本为9元件，经过市场调查获悉，日销售量（件与销售价格（元件）的函数关系如图所示：
（1）求出与之间的函数表达式；
（2）当销售价格为多少元时，该企业日销售额为6000元？
（3）若该企业每销售1件产品可以获得2元财政补贴，则当销售价格为何值时，该企业可以获最大日利润，最大日利润值为多少？
【分析】（1）设，将点，代入解析式，通过解方程组得到与的值；
（2）由题意可知，，解出即可；
（3）设该企业每天获得利润为元，则，由此可知当时，的值最大．
【解答】解：（1）设，
，
解得，
；
（2）由题意可知，，
解得或，
当销售价格为10元或15元时，该企业日销售额为6000元；
（3）设该企业每天获得利润为元，则
，
当销售价格为16元件时，每天的销售利润最大，最大利润为3240元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用；掌握待定系数法求函数解析式的方法，根据题意，列出利润的表达式，结合一元二次方程的知识求最大值是解题的关键．
例5．为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用（元与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．
（1）直接写出当和时，与的函数关系式；
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共，若甲种花卉的种植面积不少于，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？
【分析】（1）由图可知与的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．
（2）设甲种花卉种植为，则乙种花卉种植，根据实际意义可以确定的范围，结合种植费用（元与种植面积之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．
【解答】解：（1）
（2）设甲种花卉种植为，则乙种花卉种植．
由题意得，，
当时，．
当 时． 元
当时，．
当时， 元
当时，总费用最少，最少总费用为119000元．
此时乙种花卉种植面积为．
答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是 和，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．
【点评】本题是看图写函数解析式并利用解析式的题目，考查分段函数的表达式和分类讨论的数学思想．
过关检测
1. 一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为 ．
【分析】原价为60万元，一年后的价格是，二年后的价格是为：，可得结论．
【解答】解：由题意知：两年后的价格是为：，
则函数解析式是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．
2. 已知某商品每箱盈利10元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．设每箱涨价元时（其中为正整数），每天的总利润为元，则与之间的关系式为 ．
【分析】根据盈利额每箱盈利日销售量，可得答案．
【解答】解：设每箱涨价元时（其中为正整数），
每天可售出50箱，每箱涨价1元，日销售量将减少2箱，则每天的销量为，
则与之间的关系式为：为正整数），
故答案为：．
【点评】本题考查了函数关系式，利用盈利额每箱盈利日销售量得出函数关系式是解题关键．
3. 为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价（元之间的函数关系式；
（2）根据利润盒粽子所获得的利润销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得销售量；
（2）
，
，，
当时，元
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8000元．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润盒粽子所获得的利润销售量，求得销售量与之间的函数关系式是解题的关键．
4．随着地铁和共享单车的发展，“地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的，，，，中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为（单位：千米），乘坐地铁的时间（单位：分钟）是关于的一次函数，其关系如下表：
地铁站
（千米） 8 9 10 11.5 13
（分钟） 18 20 22 25 28
（1）求关于的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受的影响，其关系可以用来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
【分析】（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得关于的函数表达式；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为，则，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【解答】解：（1）设，将，，代入得：
，
解得：，
故关于的函数表达式为：；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为，则
，
当时，有最小值，，
答：李华应选择在站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量的取值范围．
5．随着技术的发展，人们对各类产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第为正整数）个销售周期每台的销售价格为元，与之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求与之间的关系式；
（2）设该产品在第个销售周期的销售数量为（万台），与的关系可以用来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【分析】（1）根据函数图象上的两点坐标，用待定系数法求出函数的解析式便可；
（2）设销售收入为万元，根据销售收入销售单价销售数量和，列出与的函数关系式，再根据函数性质求得结果．
【解答】解：（1）设函数的解析式为：，由图象可得，
，
解得，，
与之间的关系式：；
（2）设销售收入为万元，根据题意得，
，
即，
当时，有最大值为16000，
此时（元
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．
【点评】本题是一次函数的应用与二次函数的应用的综合题，主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，求二次函数的最值．关键是正确列出函数解析式．
三. 二次函数其他综合
例1. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球运动的时间为；
③小球抛出3秒时，速度为0；
④当时，小球的高度．
其中正确的是
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【分析】①②③可直接由函数图象中的信息分析得出答案；④可由待定系数法求得函数解析式，再将代入计算，即可作出判断．
【解答】解：①由图象可知，小球在空中达到的最大高度为，则小球在空中经过的路程一定大于，故①错误；
②由图象可知，小球时落地，故小球运动的时间为，故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故③正确；
④设函数解析式为，将代入得：
，
解得，
函数解析式为，
当时，，
④正确．
综上，正确的有②③④．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
例2. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点到水枪底部的距离为 ．
【分析】建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式，再求得时的值可得答案．
【解答】解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系，
由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线的解析式为，
当时，有，
解得：（舍或，
米，
答：水流的落地点到水枪底部的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．
例3. 某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．一木船宽，高，载货后，木船露出水面的部分为．以拱顶为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，、为抛物线与水面的交点．
（1）点的坐标为 ；
（2）求抛物线解析式；
（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？
【分析】（1）当水面距拱顶时，水面宽，则；
（2）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入上式即可求解；
（3）将代入上式，得，则，而，即可求解．
【解答】解：（1）当水面距拱顶时，水面宽，
则点，
故答案为；
（2）设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
该抛物线的解析式为；
（3）将代入上式，得，
，
而，
当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，进而求解．
过关检测
1. 某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度．
【分析】以护栏底部所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，由待定系数法求得解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案．
【解答】解：以护栏底部所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设护栏底部右端点为点，轴于护栏的交点为点，如图所示：
由题意得：，，
设抛物线的解析式为：，将点和点坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
由题意可得点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
防护栏支柱的长度为．
【点评】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．
2. 一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度与水平距离之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点时，达到最大高度，橄榄球在距离原点13米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．
【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设其顶点式，再将点代入求出的值，从而得出答案；
（2）求出时的值即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知：抛物线的顶点为：，
设二次函数的解析式为，
把代入，
解得：，
则二次函数的解析式为：；
（2）由题意可得：当时，，
运动员出手时橄榄球的高度为米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及实际问题转化为二次函数问题求解的能力．
五.二次函数与一元二次方程
（一）抛物线与x轴交点问题
对于，当时，即是，方程的两个根即为抛物线与轴的两个交点的很坐标。
例1．已知二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是
A．无实数根 B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
【解答】解：函数与轴有两个交点，且分别在轴的正半轴和负半轴上，
关于的方程的根的情况是有两个异号实数根．
故选：．
例2．抛物线与坐标轴的交点个数是 2 ．
【解答】解：当时，，
则与轴的交点坐标为，
当时，，
△，
所以，该方程有两个相等解，即抛物线与轴有一个点．
综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数是2个．
故答案为：2．
过关检测
1. 二次函数与轴有两个不同的交点，则的取值范围是 且 ．
【解答】解：二次函数与轴有两个不同的交点，
，
解得，且，
故答案为：且．
2.若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 1 ．
【解答】解：二次函数的图象与轴只有一个公共点，
△，且，
解得．
故答案是：1．
例3.若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
当时，，此时使得成立的的值有两个，
关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：．
例4.函数图象的草图如图所示，则关于的方程为常数）的根的情况，描述错误的是
A．方程可能没有实数根
B．方程可能有三个互不相等的实数根
C．若方程只有两个实数根，则的取值范围为：
D．若方程有四个实数根，记为、、、，则
【解答】解：如图所示，关于的方程可视为函数与函数的交点问题，且函数的顶点坐标为，
由函数图象可知，当时，与函数没有交点，故原方程没有实数根，故正确；
当时，函数与函数有三个交点，故方程有三个不相等的实数根，故正确；
当或时，函数与函数有两个交点，故方程有两个互不相等的实数根，故错误；
当时，函数与函数有四个交点，故方程有四个互不相等的实数根，根据函数的对称性可知，，故正确．
故选：．
例5.二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
【解答】解：设的两根为，，
由二次函数的图象可知，，
．
设方程的两根为，，则，
，
，
．
故选：．
例6．若关于的函数的图象与坐标轴只有两个公共点，则的值为 2，0， ．
【解答】解：因为关于的函数的图象与坐标轴只有两个交点，
若与轴、轴各有一个交点，
此函数若为二次函数，则，解得：，
若，二次函数图象过原点，满足题意，
若此函数为一次函数，则，所以．
所以若关于的函数的图象与坐标轴只有两个交点，则、0、．
故答案为：2，0，．
过关检测
1.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，的取值范围是 ．
【解答】解：如图所示，过点作直线，将直线向下平移到恰在点处相切，
则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，
令，解得：或3，即点坐标，
翻折抛物线的表达式为：，
将一次函数与二次函数表达式联立并整理得：，
△，解得：，
当一次函数过点时，将点坐标代入：得：，解得：，
故答案为：．
2.若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则常数的值是 1 ．
【解答】解：二次函数的图象与轴只有一个公共点，
△，且，
解得．
故答案是：1．
3.已知二次函数的图象如图所示， 若方程有两个不相等的实数根， 则的取值范围是 ．
【解答】解： 由图象可知： 二次函数的顶点坐标为，
，即，
有两个不相等的实数根，
方程的判别式△，即
抛物线开口向下
．
图像法求一元二次方程的近似根
例1.在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
0 1 2
0 0 4
则关于的方程的根为 ， ．
【解答】解：从表中可知：抛物线和轴的交点坐标是和，
所以关于的方程的根是，，
故答案为：，．
例2．根据下列表格的对应值，判断方程，、、为常数）一个解的范围是
3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.09
A． B． C． D．
【解答】解：函数的图象与轴的交点就是方程的根，
函数的图象与轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：在与之间，
对应的的值在3.24与3.25之间，即．
故选：．
例3．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是
A． B． C． D．
【解答】解：二次函数的顶点为，
对称轴为，
而对称轴左侧图象与轴交点横坐标的取值范围是，
右侧交点横坐标的取值范围是．
故选：．
过关检测
1.已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是
6.17 6.18 6.19 6.20
0.02 0.04
A． B． C． D．
【解答】解：由表格中的数据看出和0.02更接近于0，故应取对应的范围．
故选：．
2．下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个近似根是
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2，
故选：．
3.关于的函数，，是方程的二根，则，，，的大小关系是 ．
【解答】解：，
抛物线与轴的交点坐标为，，
，是方程的二根，
，为抛物线与直线的交点的横坐标，如图，
．
故答案为．
三．二次函数与不等式（组）
例1．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．
（2）若随的增大而减小，则自变量的取值范围是 ．
（3）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围是 ．
【解答】解：（1）依题意因为，得出的取值范围为：；
（2）如图可知，当随的增大而减小，自变量的取值范围为：；
（3）由顶点设方程为，
二次函数与轴的2个交点为，，
，
抛物线方程为，
实际上是原曲线下移个单位，
由图形知，当时，曲线与轴有两个交点．
故．
故答案为：（1）；（2）；（3）．
例2.如图，直线和抛物线交于和 两点，使得的的取值范围是
A． B． C． D．或
【解答】解：直线和抛物线交于和两点，
由图象可知，直线在抛物线上方时，自变量的为，
使得的的取值范围是，
故选：．
例3.如图，抛物线与直线相交于、，点的横坐标为，与轴相交于点，从图象可知，当时，自变量的取值范围是
A． B．或
C． D．或
【解答】解：抛物线与直线相交于、，点的横坐标为，则，由轴相交于点，
则将，代入抛物线得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：，
当，则，
解得：，，
故，
当，则，
解得：，，
故选：．
过关检测
1.已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【解答】解：由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方，
不等式的解集是．
故答案为：．
2．如图，直线与抛物线相交于点和点，则关于的不等式的解集为 或 ．
【解答】解：抛物线与直线相交于和两点，
关于的不等式的解集是或．
故答案为：或．
3. 已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，求使得成立的的取值范围是
A．或 B． C． D．
【解答】解：由图可知，使得成立的的取值范围是．
故选：．
