三门峡市2023-2024学年高二下学期5月调研考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷（选择题共58分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对两个变量的三组样本数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算（ ）
A．34 B．35 C．68 D．70
3．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）关于时间（单位：）的函数满足关系式，则时，弹簧振子瞬时速度是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，现要用5种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，所有的着色方法数为（ ）
A．120 B．180 C．240 D．300
6．某超市销售的袋装大米的质量M（单位：kg）服从正态分布N，且P（24.9
7．当两个变量呈非线性相关时，有些可以通过适当的转换进行线性相关化，比如反比例相关关系，可以设一个新的变量，这样与之间就是线性关系．下列表格中的数据可以用非线性方程进行拟合，用线性回归的相关知识，可求得的值约为（ ）
1 2 3 4 5 6
2.5 3.6 4.4 5.4 6.6 7.5
A．2.98 B．2.88 C．2.78 D．2.68
8．在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A．函数的最大值为1 B．函数的最小值为1
C．函数的最大值为1 D．函数的最小值为1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知某地区十二月份的昼夜温差，该地区某班级十二月份感冒的学生有10人，其中有6位男生，4位女生，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．从这10人中随机抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率为
D．从这10人中随机抽取2人，其中女生人数的期望为
10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．的极大值与极小值之和为6
C．有三个零点 D．对于任意实数过的切线有且只有一条
11．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．若第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大
D．若将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种
第II卷（非选择题共92分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的最小值为0，则______．
13．若展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则______．
14．10块相同的巧克力，每天至少吃一块，5天吃完，有______种方法；若10块相同的巧克力，每天至少吃一块，直到吃完为止又有______种方法．（用数字作答，第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题13分）
已知函数，其导函数为．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的单调区间．
16．（本小题15分）
2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求；
（2）估计参与调查者的平均年龄；
（3）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，依据的独立性检验，分析能否认为是否关注民生与年龄有关？
附：．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
17．（本小题15分）
某地政府为解除空巢老人日常护理和社会照料的困境，大力培育发展养老护理服务市场．从2017年开始新建社区养老机构，下表为该地区近7年新建社区养老机构的数量对照表，
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5 6 7
新建社区养老机构
（1）若该地区参与社区养老的老人的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有107人，试估计该地参与社区养老的老人有多少？
（2）已知变量与之间的样本相关系数，请求出关于的线性回归方程，并据此估计2024年时，该地区新建社区养老机构的数量．（结果按四舍五入取整数）
参考公式与数据：
①；
②若随机变量，则，
③．
18．（本小题17分）
2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及数学期望．
19．（本小题17分）
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
（1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）求的最小值．
三门峡市2023-2024学年高二下学期5月调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A C B B D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ABD BD ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13．3 14．126 512
四、解答题：共77分．
15．（13分）
【解析】
（1）因为的导数为，
所以在处的切线斜率为，
故所求的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为
所以
解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
16．（15分）
【解析】
（1），
（2）
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁．
（3）选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，青少年组有人，
中老年组有人，参与调 者中关注此问题的约占，
有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下：
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
零假设为是否关注民生与年龄无关．
根据列联表数据可得：
依据的独立性检验，不成立，故可以认为是否关注民生与年龄有关．
17．（15分）
【解析】（1）解：由题意可知，，则，
所以，
，
所以，估计该地参与社区养老的老人人数为．
（2）解：由表格中的数据可得，
所以，，
由已知条件可得，
所以，，所以，，
又因为，显然，解得，则，所以，关于的回归直线方程为，
当时，．
估计2024年时，该地区新建社区养老机构的数量约为22个．
18．（17分）
【解析】
（1）记事件为“两手所取的球不同色”，事件是两手所取球颜色相同，
则，所以．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为，
右手所取的两球颜色相同的概率为，
，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以．
19．（15分）
【解析】
（1）求导易知．
（2）构造函数，由（1）可知，
①当时，由，
可知，，故单调递增，
此时，故对任意恒成立，满足题意；
②当时，令，则，可知单调递增，
由与可知，存在唯一，使得，
故当时，，则在内单调递减，
故对任意，即，矛盾；
综上所述，实数的取值范围为．
③，令，则；
令，则，当时，
由（2）可知，，则，
令，则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
则，故在内单调递增，
因为，
即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0．
