2024年江苏省南京市玄武区科利华中学中考数学零模试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在过去年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过公顷用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列无理数中，与最接近的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，正方形与中，分别与、相交于点、点，若的面积为，正方形的面积为，则与的长度比为何( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
6.如图，是半圆的直径，、、三点在半圆上，，是直径上的点，若，已知的度数为，的度数为，则的度数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
7.的相反数是______，的平方根是______．
8.若式于在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
9.因式分解： ______．
10.若，，则 ______．
11.一个圆锥的主视图是边长为的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于______．
12.如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则______．
13.已知点在第二象限，反比例函数的图象经过点，则的取值范围是______．
14.已知二次函数其中是正整数的图象经过点与点，并且与轴有两个不同的交点，则的最大值为______．
15.如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点若，，则半圆的直径为______．
16.如图，正方形的边长为，点在边上运动不与点、重合，，点在射线上，且，与相交于点，连接、、则下列结论：；；；面积的最大值为，其中正确结论的序号为______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解方程：；
整不等式组．
19.本小题分
生物活动课上，为更好利用树叶的特征对树木进行分类，老师带领同学们随机收集，两种树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算长宽比，并整理、分析如下：
计算树叶的长宽比：
序号
长宽比
树叶种类
种树树叶
种树树叶
分析数据如下：
统计量
数据
树叶种类 平均数 中位数 众数 方差
种树树叶
种树树叶
根据以上信息，回答下列问题：
上述表格中： ______， ______．
甲同学说：“从树叶的长宽比的中位数和众数来看，我发现种树树叶的长约为宽的两倍”乙同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为种树树叶的形状差别大”这两位同学的说法中，合理的是______填序号．
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于，哪种树？并说明理由．
20.本小题分
如图， 的对角线、相交于点，．
求证：≌；
若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论．
21.本小题分
甲、乙两人分别从、、、这个景点中随机选择个景点游览．
甲选择的两个景点中含有景点的概率为______；
求甲、乙两人选择的个景点恰好相同的概率．
22.本小题分
学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上求的长度结果精确到参考数据：，，，
23.本小题分
高铁站候车厅的饮水机图有温水、开水两个按钮，图为其示意图小明先接温水后再接开水，接满的水杯，期间不计热损失利用图中信息解决下列问题：
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是包括与，这一温度最接近人体体温．
若先接温水秒，求再接开水的时间．
设接温水的时间为秒，接到水杯中水的温度为．
若，求的值．
求关于的函数关系式，并写出达到最佳水温时的取值范围．
24.本小题分
如图：已知，用直尺和圆规作图保留作图痕迹，写出必要的文字说明
在图中，点是外一点，过点作的一条切线；
在图中，与外离，作一条直线与、都相切．
25.本小题分
如图，已知是的直径，点是上异于，的点，点是的中点，连接，，，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，的平分线交于点，交于点．
求证：是的切线；
求的值；
若，，求的直径．
26.本小题分
在二次函数中．
求证：不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
当时，的最小值为，则的值为______．
当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且则的取值范围是______．
27.本小题分
如图，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连结并延长，交于点四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．
求证：．
当时，求的长．
令，．
求证：．
如图，连结，，分别交，于点，记四边形的面积为，的面积为，当时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算即可求出答案．
本题考查二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，本题属于基础题型．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，，，，
与最接近的数是，
与最接近的是，
故选：．
先判断各个选项中的被开方数，，，和的大小，并比较其他各数与的差的大小，从而进行判断解答即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数介于哪两个整数之间．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据不等式的性质，进行计算即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，交于，
，
，
四边形是矩形，
，
正方形的面积为，
，，
的面积为，
，
，
，
，
∽，
，
故选：．
由正方形的性质可求，，由面积的和差关系可求，即可求，，由相似三角形的判定和性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：延长交圆于，延长交圆于，
，，
，
同理，
由圆的对称性得到，，
的度数为，的度数为，
的度数为，的度数是，
是圆的直径，
的度数，
．
故选：．
延长交圆于，延长交圆于，由对顶角的性质得到，而，推出，同理，由圆的对称性得到，，于是得到的度数为，的度数是，求出的度数，由圆周角定理求出．
本题考查圆周角定理，关键是由圆的对称性得到，．
7.【答案】
【解析】解：的相反数是，
，
的平方根是，
故答案为：，．
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可；根据平方根的定义解答即可．
本题考查了相反数，平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
8.【答案】且
【解析】解：由题可知，
，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，．
，．
．
故答案为：．
根据乘方的定义求几个相同因数或因式的积的一种运算解决此题．
本题主要考查乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
所以这个圆锥的侧面积．
故答案为：．
根据圆锥的主视图得到圆锥的母线长为，底面圆的半径为，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，四边形是正方形，
，，
∽
，
即
设，，
，
．
故答案为．
根据矩形和正方形的性质可得，，进而可得∽，对应边成比例得，即，再根据锐角三角函数即可求解．
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的性质，解决本题的关键是综合以上知识．
13.【答案】
【解析】解：当反比例函数的图象与图象交于点时，的绝对值最大，
，
此时点的坐标为，
，
若反比例函数的图象经过点，则的取值范围是：．
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由于二次函数的图象过点，点，
所以，
解得
因为二次函数图象与轴有两个不同的交点，
所以，
，即，
由于是正整数，故，
又因为，
故的最大值为．
故答案为．
根据已知条件得到关于，，的方程组，用表示和，根据与轴有两个不同的交点，求得的取值范围，再进一步分析的最大值．
在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围．
15.【答案】
【解析】解：过点作于点，连接、、，如图：
圆弧沿所在的直线折叠后与直径交于点，
和所在的圆为等圆，
和所对的圆周角都是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
在中，，
，
或舍去，
，
，
即半圆的直径为，
故答案为：．
过点作于点，连接、，如图，根据折叠的性质得到和所在的圆为等圆，由于和所对的圆周角都是，所以，则，根据等腰三角形的性质求出，则，，
根据勾股定理求出，再根据线段的和差求解即可．
本题考查了勾股定理、折叠的性质、圆周角定理等知识，熟练运用勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图：在上截取，连接，
，
，，
，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，，故正确；
如图，延长到，使得，
在正方形中，，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，，
；故错误，
设，则，，
，
，
时，的面积的最大值为；
故正确，
故答案为：．
如图中，在上截取，连接证明≌，即可判断；如图中，延长到，使得，则≌，即可判断；设，则，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题可判断；从而可得答案．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数最值的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
方程两边都乘，得，
，
，
，
，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是．
【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．
19.【答案】
【解析】解：种树树叶的众数，
种树叶的长宽比重新排列为、、、、、、、、，
所以种树叶的中位数，
故答案为：、；
种树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
甲同学说法合理，
，
种树叶的形状差别小，
故乙同学说法不合理，
故答案为：；
这片树叶更可能来自种树，
一片长，宽的树叶，长宽比接近，
这片树叶更可能来自种树．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判定即可；
根据树叶的长宽比判定即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是关键．
20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即：，
在和中，
≌；
矩形，
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出，根据全等三角形的判定定理推出即可；
根据对角线互相平分先推出四边形是平行四边形，再根据平行四边形对角线相等是矩形得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和矩形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中甲选择的两个景点中含有景点的结果有：，，，，，，共种，
甲选择的两个景点中含有景点的概率为．
故答案为：．
列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择的个景点恰好相同的结果有种，
甲、乙两人选择的个景点恰好相同的概率为．
画树状图得出所有等可能的结果数以及甲选择的两个景点中含有景点的结果数，再利用概率公式可得出答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择的个景点恰好相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】解：延长交于点，
则，
在中，，，
，，
在中，，
，
在中，，
，
答：的长度约为．
【解析】延长交于点，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，根据正切的定义求出，进而求出．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．
23.【答案】解：设接开水的时间的时间为秒，
根据题意得：，
解得，
答：接开水的时间为秒；
由题意知，温水体积，开水体积为，
则，
解得；
由得：，
化简，得，
，
，
关于的函数关系式为，达到最佳水温时的取值范围为．
【解析】设接开水的时间为秒，根据“小明先接温水后再接开水，接满的水杯”，结合图中开水和温水的水流速度，列出等量关系式，即可求解；
根据物理知识中等量关系，列式，即可求解；
根据物理知识中等量关系，列出关于的函数，根据增减性，即可求解．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是：读懂题意列出关系式．
24.【答案】解：连接，作线段的垂直平分线，交于点；以点为圆心，以的长为半径作，交于点；作直线，则直线是的切线；如图，直线即为所作；
作直线，作垂直于直线的半径C、，连接交于点，分别以E、为直径作圆，与和分别交于点、，作直线，则直线与、都相切．如图，直线即为所作．
【解析】直接以为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得，可证直线是切线；
作直线作垂直于直线的半径C、，连接交于点，分别以E、为直径作圆，与和分别交于点、，连接，则直线与、都相切．
本题考查了尺规作图一作切线，切线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】证明：连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
解：是直径，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
；
解：过点作于点，于点．
平分，
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
设，，
，，
∽，
，
，
平分，
，
，，
，，
，
的直径为．
【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
连接，证明即可；
证明，可得结论；
过点作于点，于点则，可得，设，，证明∽，推出，可得，由平分，同法可得，推出，再利用勾股定理求解即可．
26.【答案】 或
【解析】证明：由题意得，
．
又对于任意的都有，
．
．
不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点．
解：由题意可得，．
抛物线的对称轴是直线．
当时，即．
又抛物线开口向上，
当时，取最小值为．
，不合题意．
当时，即．
又抛物线开口向上，
当时，取最小值为．
．
或、
又，
．
当时，即．
又抛物线开口向上，
当时，取最小值为．
，不合题意．
综上，．
故答案为：．
解：由题意得，对称轴是直线．
．
．
又，
．
．
又抛物线过，
．
又，
．
．
．
，即．
抛物线开口向上，
当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
，
．
当时，解得；
当时，，解得．
综上，或．
故答案为：或．
依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解；
依据题意，分“当时”、“当时”、“当时”，三种情况计算讨论，得出答案即可；
依据题意，根据二次函数对称轴公式，结合点，两点纵坐标相等可知，对称轴直线，结合，，列不等式求出的各种范围，进而可以得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
解：过作于，如图：
设，则，
，
，
四边形是矩形，
，，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
，
解得此时大于，舍去或，
；
的长为；
证明：过作于，连接，，，如图：
点为矩形的对称中心，过点，
为中点，，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
，
，，
；
解：连接，，，如图：
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
同理，
由知，
，即，
，
≌，
，
，，
≌，
，，
，即，
，
≌，
，
，
，
，，，
，
，
∽，∽，
，
，
，
∽，
，
当时，由知，
，
，，
，
，
的值为．
【解析】由四边形是矩形，可得，而四边形与关于所在直线成轴对称，有，故，；
过作于，设，可知，，根据点为矩形的对称中心，可得，故FH，在中，，解得的值从而可得的长为；
过作于，连接，，，由点为矩形的对称中心，过点，可得为中点，，，证明∽，得，即，故G，即可得；
连接，，，证明，，可得≌，，从而≌，，，即可证≌，得，有，而，，，知，可得∽，∽，得，，又∽，有，当时，，即，，即可得．
本题考查四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．
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