24.7向量的线性运算
一、选择题．
1．已知，2，且，下列说法中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与方向相同
2．已知和都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．2 C．0 D．||+||＝2
3．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知、和都是非零向量，下列结论中不能确定∥的是（ ）
A．||＝|| B．23 C．∥，∥ D．，3
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．与是相等向量 B．与是相等向量
C．与是相反向量 D．与是平行向量
6．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，DE∥AB交BC于点E．下列判断正确的是（ ）
A．向量和向量是相等向量
B．向量和向量相反向量
C．向量和向量是平行向量
D．向量与向量的和向量是零向量
7．已知四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC与BD的交点．下列四种说法：①向量与向量是相等的向量；②向量与向量是互为相反的向量；③向量与向量是相等的向量；④向量与向量是平行向量．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4．
8．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设，，下列式子中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，设，，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为（ ）
A． B． C． D．
10．在矩形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C．||＝|| D．
二、填空题
11．已知在△ABC中，点D在边BC上，BD＝2CD，设，，那么用、表示 ．
12．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量表示向量，那么 ．
13．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝3AD，如果，，那么 ．（结果用，表示）
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝2，AB＝4，CD＝5，如果，那么向量是 （用向量、表示）．
15．如图，已知△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EF＝DE，设，那么向量用向量、表示是 ．
16．如图△ABC中，点D在BC上，且CD＝2BD．设，，那么 （结果用、表示）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，过点作C作CE∥AB交BD的延长线于点E，，，那么用向量表示为 ．
18．如图，已知 ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设，用表示为 ．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，且AE＝2ED，联结BE并延长交边CD的延长线于点F，设，．
（1）用，表示，；
（2）先化简，在求作：（）+2（）（不要求写作法，但要写明结论）．
20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：2（）（93）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．
（1）求GE的长；
（2）若，，用、表示；
（3）在图中画出．（不需要写画法，但需要结论）
22．如图，已知点E在 ABCD的边AB上，设，，
（1）用向量、、表示下列向量： ， ；
（2）求作：，．（保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DEBC．
（1）如果AC＝6，求AE的长；
（2）设，，求向量（用向量、表示）．
24．如图，AB与CD相交于点E，AC∥BD，点F在DB的延长线上，联结BC，若BC平分∠ABF，AE＝2，BE＝3．
（1）求BD的长；
（2）设，，用含、的式子表示．
答案
一、选择题．
1．
【分析】由：，2，推出，，3，由此即可判断．
【解析】∵，2，
∴，，
∴3，
∴A，B，C正确，
故选：D．
2．
【分析】根据平面向量的性质进行一一分析判断．
【解析】A、向量与方向相同时，该等式才成立，故本选项不符合题意．
B、当向量与方向相反时，，故本选项不符合题意．
C、当向量与方向相同时，，故本选项不符合题意．
D、由题意知，||+||＝2，故本选项符合题意．
故选：D．
3．
【分析】利用平行线分线段成比例定理，求解即可．
【解析】∵DE∥BC，
∴，
∴DEBC，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
4．
【分析】根据平行向量的定义判断即可．
【解析】A、由||＝||只能推知与的模相等，无法推知这两个向量的方向，无法确定∥，故本选项符合题意．
B、由23可以确定与的方向相同，可以确定∥，故本选项不符合题意．
C、由∥，∥可以确定、和的方向相同，则确定与的方向相同，可以确定∥，故本选项不符合题意．
D、由，3可以确定、和的方向相同，则确定与的方向相同，可以确定∥，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．
【分析】根据等向量的定义判断即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴与是等向量．
故选：B．
6．
【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．
【解析】A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．
B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．
C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．
D、2，故本选项不符合题意．
故选：C．
7．
【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，
∴①向量与向量是相等的向量，正确．
②向量与向量是互为相反的向量，正确．
③向量与向量是相等的向量，错误．
④向量与向量是平行向量，正确．
故选：C．
8．
【分析】利用平行四边形的性质与三角形法则求出即可解决问题．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵
∴，
故选：C．
9．
【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，OA＝OC，
∴，
∴，
故选：A．
10．
【分析】根据矩形的性质、共线平面向量以及平面向量的模的定义作答．
【解析】A、如图，在矩形ABCD中，，故本选项结论错误．
B、如图，在矩形ABCD中，虽然AC＝BD，但是与方向不同，所以不成立，故本选项结论错误．
C、如图，在矩形ABCD中，AO＝OD，则||＝||，故本选项结论正确．
D、如图，在矩形ABCD中，BO＝OD，且与的方向相同，则，故本选项结论错误．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】首先根据题意画出图形，由BD＝2DC，可求得，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【解析】如图，∵，BD＝2DC，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得，继而求得答案．
【解析】如图，四边形ABCD是平行四边形，
∴，AOAC，
∵，
∴，
∴（）．
故答案为：．
13．
【分析】利用三角形法则求解即可．
【解析】∵AD∥BC，BC＝3AD，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】过点D作DE⊥BC于E．想办法求出，，可得结论．
【解析】过点D作DE⊥BC于E．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∵DE⊥BC，DEB＝90°
∴四边形ABED是矩形，
∴AD＝BE＝2，AB＝DE＝4，
∵CD＝5，∠CED＝90°，
∴CE3，
∴BC，
∵AB∥DE，AB＝DE，
∴，
，
故答案为：．
15．
【分析】根据三角形中位线定理和已知条件求得EFBC；然后在△AEF中，利用三角形法则得到；最后易得2．
【解析】如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DEBC．
∵，
∴．
又∵EF＝DE，
∴．
∵，
∴．
∵点E是AC的中点，
∴22（）＝2（）＝2．
故答案是：2．
16．
【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在△ABD中，利用三角形法则求得．
【解析】∵，，
∴，
∵CD＝2BD，
则（），
∴（）．
故答案为：．
17．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC＝12，DC＝4，CE∥AB，可得AB＝2CE，然后由，，即可求得．
【解答】
解：∵CE∥AB，
∴，
∵AB＝AC＝12，DC＝4，
∴AD＝8；
∴，
∴AB＝2CE，
∵，
∴，
∴．
18．
【分析】利用三角形中位线的性质得到BC＝FC，在△ABF中，利用三角形法则求得．
【解析】在 ABCD中，CD∥AC，则CE∥AB．
∵E是边CD的中点，
∴CE是△ABF的中位线，
∴BC＝CF．
在四边形ABCD中，AD＝BC，，则222．
∵，
∴2．
故答案是：2．
三、解答题
19．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AB∥CD，
∵AE＝2ED，
∴，
∴b，
∵DF：AB＝DE：AE＝1：2，
∴DFAB，
∴．
（2）（）+2（）22，
取AB的中点H，连接HC，即为所求．
20．（1）2（）（93）
＝23
2．
（2）如图，，2，则，即即为所求．
21．（1）∵四边形AB平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DE＝2AE，
∴，∵CE＝8，
∴，
∴GE＝4．
（2）∵，DE∥BC，DE＝2AE，
∴，
∴，
∴（）．
（3）如图，取CD的中点H，连接AH，则即为所求．
22．（1），．
故答案为：，．
（2）如图，延长CD到H，使得DH＝AE，连接EH．
∵，
∴向量即为所求．
∴，
∴向量即为所求．
23．（1）如图，∵DE∥BC，且DEBC，
∴．
又AC＝6，
∴AE＝4．
（2）∵，，
∴．
又DE∥BC，DEBC，
∴（）．
24．（1）∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF．
∵AC∥BD，
∴∠CBF＝∠ACB．
∴∠ABC＝∠ACB．
∴AC＝AB．
∵AE＝2，BE＝3，
∴AB＝AC＝5．
∵AC∥BD，
∴．
∴．
∴BD；
（2）∵AC∥BD，
∴．
∵，
∴．
∴．
