平谷五中2023~2024学年度第二学期期中试卷
2024.5 初二数学
一、选择题（每小题2分,共16分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．点P的坐标为，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知点和点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．BO＝OD D．∠BAD＝∠BCD
5．如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是正方形
7．一次函数的图像不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．在平面直角坐标系中，矩形，，，，点在边上，．点在边上运动，连接，点A关于直线的对称点为．若，，下列图像能大致反映与的函数关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题（每空2分,共18分）
9．函数中，自变量的取值范围是 ；函数中，自变量的取值范围是 ．
10．点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标为 ．
11．如图，中的度数为，则的度数为 .
12．如图，为了测量池塘边上A，B两点间的距离，在池塘外选一点C，分别连接和并延长到点D，E，使，，连接．若测得，则A，B两点间距离是 ．
13．如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
14．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，若，则菱形的面积为 ．
15．如图，直线与直线交于点P，则不等式的解集为 ．
16．在中，，平分交于点交于点，交于点，有以下结论：①四边形一定是平行四边形；②连接所得四边形一定是平行四边形；③保持的大小不变，改变的长度可使成立；④保持的长度不变，改变的大小可使成立，其中所有的正确结论是： ．（填序号即可）
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象经过A(-2，0)，B(1，3)两点．
(1)画出一次函数的图象；
(2)求这个一次函数的解析式；
(3)求OAB的面积．
18．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若x轴上有一点C，且，求点C的坐标．
19．在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到的，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)画出一次函数的图像；
(3)当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，直接写出的取值范围．
20．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形（点E在上，点F在上）．
作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；
③连接．
所以四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
(2)完成下面的证明．
证明：∵，，
∴______=______．
在中，．
即，∴四边形为______形．
∵，∴四边形为菱形（______）（填依据）
21．如图，平行四边形，E、F两点在对角线上，且，连接．求证：四边形是平行四边形．
22．已知：如图，正方形分别为中点．求证：．
23．下面是证明直角三角形斜边中线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 已知：如图，中，，点为中点，求证：
方法一 证明：如图，取中点E，连接． 方法二 证明：如图，延长至点，使，连接、．
24．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
(1)求证：四边形ADFE为矩形；
(2)若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
25．如图，□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
（1）求证：BF=DE；
（2）如果∠ABC=75°, ∠DBC=30°，BC=2，求BD的长．
26．有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是___________；
(2)下表是y与x的几组对应值．m的值为_______；
x -2 -1 1 2 3 4 …
y 0 m 1 …
(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：____________．
(5)结合函数图象估计的解的个数为_______个．
27．如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，取中点G，连接并延长交于H，连接．
①依题意，补全图形；
②求证：；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P、Q两点为垂距等点．如图所示P、Q两点即为垂距等点．
(1)已知点A的坐标为．
① 在点中，为点A的垂距等点的是 ；
② 若点B在y轴的负半轴上，且A、B两点为垂距等点，则点B的坐标为 ；
(2)直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
① 当E为线段上一点时，若在直线上存在点F，使得E、F两点为垂距等点，求n的取值范围．
② 已知正方形的边长为2，是对角线的交点，且正方形的任何一条边均与某条坐标轴垂直．当E为直线l上一动点时，若该正方形的边上存在点G，使得E、G两点为垂距等点，直接写出t的取值范围．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了点与象限的关系，根据象限的符号特征判断即可．熟练掌握点的坐标与象限的符号特征是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴点P在第四象限，
故选D．
3．A
【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而增大，
又∵点和点在直线上，且，
∴．
故选：A．
4．A
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，则选项B说法正确，不符合题意；
又根据平行四边形的对角线互相平分，
∴BO=OD，则选项C说法正确，不符合题意；
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ABCD，ADBC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD=∠BCD，则选项D说法正确，不符合题意；
由BO=OD，假设AC⊥BD，
又∵OA=OA，
∴△ABO≌△ADO，
∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，
∴AC不垂直BD，则选项A说法错误符合题意．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标．
【详解】解:∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点B的纵坐标为3，
∵点O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点C，
∴点A向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为：；
故选：A．
6．B
【分析】根据菱形，矩形及正方形的判定定理逐项分析即可．
【详解】：A、对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故该选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项错误，不符合题意；
D、对角线相等，互相垂直且互相平分的平行四边形是正方形，故该选项错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了菱形，矩形及正方形的判定定理，掌握菱形，矩形及正方形的判定定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．利用一次函数的性质判断即可确定正确的选项．
【详解】解：∵，
∴一次函数图像呈上升趋势，交y轴于正半轴，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，选项D符合题意，
故选：D．
8．A
【分析】先根据坐标和轴对称的性质得到，进而得到，然后再根据函数图像确定极值点的函数值，可排除D；然后再根据函数的线性关系即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴,
∵
∴,
∵，
∴
当时，A与重合，，此时，；
当时，P与B重合，此时，；
故可排除D选项.
在中，，则的长度不随x线性变化，即y不随x线性变化，可排除B、C．
故选A．
【点睛】本题主要考查了函数图像的确定，掌握排除法解答的方法是本题的关键．
9．
【详解】根据题意若函数有意义，
可得-2≠0；
解得≠2；
若函数有意义，
则-3≥0，
解得≥3．
故答案为≠2，≥3．
10．（1，2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【详解】解：点P（1，-2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2）．
故答案为:（1，2）．
【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
11．##度
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是解题关键．平行四边形中，利用邻角互补即可求得的度数．
【详解】解： 四边形为平行四边形，
，又，
．
故答案为：．
12．
【分析】先由，得到，又由得到，则，即可得到A，B两点间距离．
【详解】解：∵，，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即A，B两点间距离是．
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】根据的性质得到，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可．
【详解】解：如图，在中，，则．
当添加时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是能够灵活应用平行四边形的判定解决问题．
14．
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．首先求得， ，然后在直角三角形中，利用角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴， ，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴该菱形的面积是：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，解题关键是通过函数图象判断两条函数的大小关系．根据函数图象，要使，则表示在下方的部分，读图可得．
【详解】解： ，，
在函数图象上反映为在下方的部分，
对应的自变量范围为：．
故答案为：．
16．##③①
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断①；只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故可判断②；保持 的大小不变，改变的长度能使 成立，故可判断③；保持的长度不变，改变的大小不一定能使成立，故可判断④，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
【详解】解：①、
∴四边形是平行四边形，故①符合题意；
②、只有一组对边平行，不能证明四边形一定是平行四边形，故②不符合题意；
③、改变的长度，与的交点为中点时，则
即为的中点，
∴是的中位线，
∵四边形是平行四边形，
故③符合题意；
④保持的长度不变且时，
∵平分
∴为的中点，
∴
即为的中点，
∴是的中位线，
∵四边形是平行四边形，
∴改变的大小都能使
当的长度不变且不等于时，点不是的中点，
∴不可能使成立，故④不符合题意，
综上所述，正确的结论是，
故答案为：．
17．(1)见解析
(2)
(3)3
【分析】（1）描出点A、B，然后过两点作直线即可；
（2）利用待定系数法求得即可；
（3）利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）
如图：
（2）把（-2，0），（1，3）代入 ，
∴
解得：k=1，b=2
∴此函数解析式
（3）∵A(-2，0)，B（1，3），
∴OA=2，
∴
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．(1)
(2)点C的坐标或
【分析】（1）设直线的解析式为：，把点与点代入解方程组即可得到结论；
（2）设点C的坐标，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，
把点与点代入得，
∴
∴直线的解析式为：；
（2）解：设点C的坐标，
∵，
∴，
解得：或，
∴点C的坐标或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与三角形面积的应用，利用三角形面积公式建立等式求出C的横坐标是解题的关键．
19．(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质可得，再将点代入即可求出一次函数表达式；
（2）求出当时所对应的函数值，可得一次函数经过两个点，根据两点确定一条直线画图即可；
（3）根据点结合一次函数的性质即可求得．
【详解】（1）解：由题意，可得，
∵一次函数的图像经过点，
∴，
解得：．
∴一次函数的表达式为．
（2）当时，，
∴一次函数的图像经过点，
又∵一次函数的图像经过点，
∴过点和点画直线，如图所示，即得一次函数的图像．
（3）把代入函数解析式，得：，
把代入函数解析式，得：，
∵当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)，平行四边，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）作图如下：
（2）∵，
∴，
在中，，
即
∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∵
∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故答案是：；平行四边；一组邻边相等的平行四边形是菱形.
【点睛】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的判定，菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
21．证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接与交于O，由平行四边形的性质可得，再证明，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
22．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．熟练掌握性质与判定方法是解题关键．
先由正方形的性质得．再根据中点的性质可知，所以．于是利用可得，所以．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴．
∵为中点，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
23．见解析
【分析】方法一：由题意易得，然后根据为线段的垂直平分线可求得，问题可求证；方法二：由题意易证四边形是矩形，然后根据矩形的性质可进行求证．
【详解】方法一 ：
∵为中点，E为中点，
∴，
∴，
∴为线段的垂直平分线，
∴；
方法二：
∵为中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)2+2．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DFAC，EFAB，则四边形ADFE是平行四边形，再由∠BAC＝90°，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得BC＝2AF＝4，再由含30°角的直角三角形的性质得ABBC＝2，则AC＝2，然后由矩形的性质即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DFAC，EFAB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴平行四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵∠BAC＝90°，F是BC的中点，
∴BC＝2AF＝4，
∵∠C＝30°，
∴ABBC＝2，
∴AC，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴ADAB＝1，AEAC，
由（1）可知，四边形ADFE为矩形，
∴EF＝AD＝1，DF＝AE，
∴矩形ADFE的周长＝2（1）＝2+2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)证明见解析；（2） +1．
【分析】(1)根据矩形的性质和已知条件证得△ADE≌△CBF，再利用全等三角形的性质即可证明；
(2)先根据矩形的性质、勾股定理等知识求得AE的长,进而求得DE和BD的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，
∠AED=∠BFC，∠ADE=∠CBF，AD=BC，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．
（2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠BDC=45°，
∵AD=BC=2， ∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，DE==．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°．
故AE=BE=1，则BD= +1．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，弄清题意、证得△ADE≌△CBF是解答本题关键．
26．（1）x≥-2且x≠0；（2）-1；（3）见详解；（4）当 2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小，答案不唯一；（5）1
【分析】（1）根据分式有意义分母不为0和二次根式有意义的条件被开方数非负，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即求出自变量x的取值范围；
（2）将x=-1代入解析式求m的值即可；
（3）根据图中描出各点，连点成线画出图象即可；
（4）观察函数图象，根据函数图象可寻找到函数具有性质；
（5）在第（3）基础上做出函数y=x+4的图象，数出它们的交点个数，
【详解】解：（1）根据题意得，x+2≥0且x≠0
解得：x≥-2且x≠0
∴函数的自变量x的取值范围是：x≥-2且x≠0
（2）当x=-1时，m=,
∴m=-1
（3）图象如图所示：
（4）在-2≤x＜0时，函数随着x的增大而减小，在x＞0时，y随着x的增大而减小；
故答案为：当 2≤x＜0或x＞0时，y随x增大而减小．
（5）∵方程组的解为两个函数图象的交点，两函数图象如下图，
也就是图象中的交点个数只有一个
∴方程的解的个数也是1个
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围、函数图象、以及利用函数图象交点求方程的解，连点成曲线画出函数图象是解题的关键．
27．(1)证明见解析；
(2)① 补全图形见解析；② 证明见解析； ③；
【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明，即可得证；
（2）① 按题意补全图形即可；
②由，得到为等腰直角三角形，结合G为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明；
③由为等腰直角三角形，G为中点，，证明，得到，在中，应用勾股定理即可得证；
【详解】（1） 四边形为正方形，
，，
，
又 ，
，
，
，
，
．
（2）①补全图如下所示，
② 第（1）问中已证，
，又，
为等腰直角三角形，
G为中点，
在中，有，
在中，有，
．
③ 若，则，
证明： 前面已证为等腰直角三角形，G为中点，
，且有，，
，，
，
，，
，
，
，又，，
，
，
在中，应用勾股定理得，
，
又 ，，
．
28．(1)①，②
(2)①②或
【分析】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、垂距等点的定义的有关知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为熟悉的内容上来，解决数学问题．
（1）①垂距等点的定义一一验证即可；
②设，所以，解得，从而求出点的坐标；
（2）①设点的坐标为，点在第三象限，结合垂距等点的定义可求出答案；②因为点到两坐标轴的距离之和最小值为，所以可考虑正方形上的两个顶点，，只要、两点满足垂距等点的要求，则存在点使得，两点为垂距等点．
【详解】（1）解：①点A的坐标为，
，
在点，，中，
、为点的垂距等点，
故答案为：，；
②点在轴负半轴上，
点的横坐标为，
设，
，
，
；
故答案为：；
（2）①由题意，直线与轴交于，与轴交于，
点在线段上，设点的坐标为，
，，
点到坐标轴的距离之和为：
，
、两点为垂距等点，
点满足横、纵坐标的绝对值之和等于，
点在如图所示的正方形上，
点的坐标为，点在直线上，
；
即：的取值范围；
②是对角线的交点，
不妨设，，
由①可知，点到两坐标轴的距离之和的最小值为，
当时，由，得：
；
当时，由，得：
；
的取值范围是或．
