莆田三中2023－2024学年下学期期中考试卷
八年级数学
一．试题（共25小题）
1. 下列各式一定是二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相垂直 D. 一组对边平行，一组对角相等
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）．
A. ∠ADB＝∠CBD B. AD＝OD C. AO＝OC D.
7. 下列选项中能使成为菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直角三角形的两条边长分别是和，则第三边长（ ）
A. B. C. 或 D. 或
9. 如图，在中，是斜边上中线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A. B.
C. D.
11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ___________．
12. 在平面直角坐标系中，O为原点，点到原点的距离是______．
13. 若最简二次根式3与5可以合并，则合并后的结果为___．
14. 如图，中，三条中位线围成的周长是则的周长是________．
15. 如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于_________．
16. 如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，则线段的长度为_________．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，求a．
19. 如图，在正方形中，点E是对角线上的点，求证：．
20. 如图，矩形的对角线相交于点O，，求矩形对角线的长．
21. 如图，和的顶点D、B、E、F在同一条直线上．求证：．
22. 如图，将长方形沿着对角线折叠，点的对应点为，交于点．若，，求的长．
23. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点A作于点H，求的长．
24. 如图，在，，平分交于于，为上一点，且，为上一点，，连接．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若，，求的长．
25. 如图，在正方形中，边长为3，点M，N边，上两点，
且，连接，；
（1）则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）延长至P，连接，若，试求的长．莆田三中2023－2024学年下学期期中考试卷
八年级数学
一．试题（共25小题）
1. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式定义，关键是正确理解二次根式的定义．根据“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”判断即可．
【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不合题意；
B、是二次根式，故此选项符合题意；
C、，该代数式无意义，故此选项不合题意；
D、的根指数是3，不是二次根式，故此选项不合题意；
故选：B．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】= ．
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用只有同类二次根式才能合并，可对A，C作出判断；合并同类二次根式是把同类二次根式的系数相加，被开方数不变，可对B，D作出判断．
【详解】解：A、不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、不能合并，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘法运算法则以及加减法则．
4. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝22
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
C、∵22+32≠42
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
D、∵42+52≠62
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
5. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相垂直 D. 一组对边平行，一组对角相等
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行四边形的判定可求解．
【详解】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等，可得另一组对角相等，由两组对角相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是本题的关键．
6. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（ ）．
A. ∠ADB＝∠CBD B. AD＝OD C. AO＝OC D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
【详解】解：A. ∵四边形ABCD是平行四边形，
∠ADB＝∠CBD，正确，故不符合题意
B∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，不正确，故此选项符合题意；
C∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，正确，故此选项不符合题意；
D.
，正确，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
7. 下列选项中能使成为菱形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定和矩形的判定是解题的关键．由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：如图，
A、∵四边形是平行四边形，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴为菱形，故选项B符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
8. 已知直角三角形的两条边长分别是和，则第三边长（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意分类讨论．已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：当12是斜边时，第三边长；
当12是直角边时，第三边长；
故第三边的长为：或13．
故选：．
9. 如图，在中，是斜边上的中线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
10. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接EF，
∵正方形ABCD的面积为3，
∵
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∵分别为的中点，
故选D
【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解是解本题的关键．
11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，再求出答案即可．
【详解】解：要使二次根式有意义，必须，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，O为原点，点到原点的距离是______．
【答案】5
【解析】
【分析】将坐标转化为线段的长，然后利用勾股定理可求出点M与O的距离即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，
故答案为：5．
【点睛】本题考查直角坐标系中坐标与图形的性质及勾股定理，熟练掌握和运用求两点间距离的公式是解决本题的关键．
13. 若最简二次根式3与5可以合并，则合并后结果为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据这两个最简二次根式可以合并，得出它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出方程求出m，然后合并同类二次根式即可．
【详解】解：∵最简二次根式3与5可以合并，
∴2m+5=4m-3，
解得：m=4，
∴最简二次根式，，
∴合并后的结果=，
故答案为：
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义和合并同类二次根式，根据被开方数相同，列出方程求出m是解题的关键．
14. 如图，中，三条中位线围成的的周长是则的周长是________．
【答案】30
【解析】
【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵△DEF的周长是15，
∴DE+DF+EF=15，
∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，AC=2DF，AB=2EF，
∴△ABC的周长=BC+AC+AB=2（DE+DF+EF）=30（cm），
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于_________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质定理是解题的关键．
由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为24，
∴，，
∴，
∵点E是中点，
∴，
故答案为：3．
16. 如图，在正方形中，点E，F分别是的中点，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，则线段的长度为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质；构造三角形是破解本题的关键．根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
【详解】解：连接，，
点，分别是，的中点，
四边形是矩形，
是的中点，
在正方形中，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
在三角形中，是的中点，是的中点，
是三角形的中位线，
．
故答案为：．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可；
（2）先将二次根式化为最简，然后进行乘除运算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算．解题的关键在于正确的化简计算．
18. 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知，求a．
【答案】
【解析】
【分析】根据面积公式列式，根据二次根式的运算法则即可求解．
【详解】解：因为，所以．
【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意列式求解．
19. 如图，在正方形中，点E是对角线上的点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，根据正方形的性质可得，再由，根据即可证明．
【详解】证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴．
20. 如图，矩形对角线相交于点O，，求矩形对角线的长．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由矩形的性质得出，再证明为等边三角形，得出，即可求出．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
21. 如图，和的顶点D、B、E、F在同一条直线上．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先证明，，再结合线段的和差关系可得答案．
【详解】证明：连接，交于点O．
∵四边形是平行四边形，
∴．
同理，
∴，即．
22. 如图，将长方形沿着对角线折叠，点的对应点为，交于点．若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，由折叠可得，由平行可得，得到，即可得，设，则，在中，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为．
23. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点A作于点H，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的性质：
（1）首先根据平行四边形的性质得到，，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而证明即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后利用列方程求解即可．
【小问1详解】
证明：在中，对角线，相交于点，，，，
，，
，且，
，
是直角三角形，且，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
，
，
解得：．
24. 如图，在，，平分交于于，为上一点，且，为上一点，，连接．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）平行，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）．证明得到，，然后利用角平分线的性质以及等量代换证得内错角，即可求证；
（）在直角中根据勾股定理求得，然后在直角中利用勾股定理来求的长；
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行的判定，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：（）直线与相互平行，理由如下：
如图，连接，
∵平分，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，，，，
又∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即直线与相互平行；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，，
∵在，，
∴，
设．则，
∵，
∴，
直角中，，
即，
解得，
∴．
25. 如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，
且，连接，；
（1）则与的数量关系是__________，位置关系是__________；
（2）若点E，F分别是与的中点，计算的长；
（3）延长至P，连接，若，试求的长．
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证△BCM≌△CDN，得出，∠BCM=∠CDN，再证∠CDN+∠DCM=90°即可；
（2）连并延长交于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；
（3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可．
【详解】解：（1）设CM与DN交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
∵，
∴△BCM≌△CDN，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD=90°，
∴∠CDN+∠MCD=90°，
∴∠CQD=90°，
∴，
故答案为：，．
（2）连并延长交于G，
∵BC∥AD，
∴∠ENC=∠EDG，
∵NE=DE，∠NEC=∠GED，
∴，NC=GD=1，
又∵，
∴，
∵正方形的边长为3，，
∴
∴
（3）过点B作于点H，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算．
