2024年初三年级学业水平考试
数学模拟试题二
温馨提示：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.
2.答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题.
第Ⅰ卷 选择题（40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.的倒数是（ ）
A.2024 B. C. D.
2.花期有约，共赴“玫”好，2024玫瑰产品博览会于4月26日盛大开幕，美丽经济如花绽放，平阴玫瑰品牌价值达到31.75亿元，将31.75亿用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程有一个解为，则另一个解为（ ）
A.1 B. C.3 D.4
6.对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调、和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
7.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为（ ）
A.、 B.、 C.、 D.、
8.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，.以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，.给出四个结论：①②③④.其中正确的结论有个（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10.经过，两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A.10 B.12 C.13 D.15
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）
11.因式分解：______.
12.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是______.
13.若代数式与的值相等，则的解为______.
14.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得，则图中线段扫过的阴影部分的面积为______.
15.一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的路程与慢车行驶时间之间的函数图象如图所示.则慢车的速度为______千米/时.
16.如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论：
①的长为10；②；③的周长为；④的长为5.
其中正确的结论有______.（写出所有正确结论的序号）
图1 图2 图3
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分6分）
计算：.
18.（本小题满分6分）
解不等式组并写出它的整数解.
19.（本小题满分6分）
如图，已知矩形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点.
求证：；
20.（本小题满分8分）
如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为（伸出部分不计），，、在同一直线上.量得，，，，灯杆长为，灯管长为.（参考数据：，，，，，.）
（1） （2）
（1）求与水平桌面（所在直线）所成的角；
（2）求台灯的高（点到桌面的距离，结果精确到）
21.（本小题满分8分）
为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动.学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别 类 类 类 类
阅读时长（小时）
频数 8 4
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）此次调查共抽取了______名学生，______，______；
（2）扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角是______度；
（3）已知在类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
22.（本小题满分8分）
如图1，在中，为的直径，点为上一点，为的平分线交于点，连接交于点.
图1 图2
（1）求的度数；
（2）如图2，过点作的切线交延长线于点，过点作交于点.若的半径为，，求的长.
23.（本小题满分10分）
由于新能源电动汽车越来越受到消费者的青睐.某汽车经销商销售，两种型号的新能源汽车，已知购进3台型新能源汽车和2台型新能源汽车需要85万元，购进2台型新能源汽车和1台型新能源汽车需要50万元.
（1）问型，型新能源汽车的进货单价分别是多少万元？
（2）若该经销商计划购进型和型两种新能源汽车共20辆，且购进型新能源汽车数量不低于型新能源汽车数量的2倍.每辆型新能源汽车售价25万元，每辆型新能源汽车售价28万元，那么购进型、型新能源汽车各多少辆时，全部销售后获得的利润最大？
24.（本小题满分10分）
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质.
… 0 1 2 3 4 …
… …
（1）列表，写出表中，的值：______，______；
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
（2）观察函数图象，下列关于函数性质的结论正确的有______.
①函数的图象关于轴对称；
②当时，函数有最小值，最小值为；
③在自变量的取值范围内函数的值随自变量的增大而减小.
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集.
25.（本小题满分12分）
如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上.点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止.
图1 图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由.
（3）如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动.连接，，直接写出的最小值.
26.（本小题满分12分）
如图在四边形中，，，，，，点在边上，且.将线段绕点顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点，连接.
图1 图2 备用图
（1）若点在上，求证：；
（2）如图2.连接，直接写出的度数；当时，请求出的长度
（3）若点到的距离为2，直接写出的值；
2024年初三年级学业水平考试（2024.5）
数学模拟试题二答案
一、单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D C A C A C B
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11. 12. 13.
14. 15.80 16.①②④
三、解答题
17.解：原式.
18.解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集是，
整数解为，，.
19.证明：四边形是矩形，，
又，四边形是平行四边形，
，；
其它正确做法按步骤得分
20.解：（1）如图所示：过点作，过点作于点，于点，
（1） （2）
由题意可得：四边形是矩形，则
，，，
，
即与水平桌面（所在直线）所成的角为；
（2）如图所示：，，，
，则，
灯杆长为40，，
在中，，
，
则.
在中，，灯管长为15，
，
解得：，
故台灯的高为：.
21.（1），，；
（2）
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
22.证明：（1）是的直径，，
平分，，即，
，，
，
，，
（2）如图，连接，
半径为7，，
，
是的切线，，
，，
其它正确做法按步骤得分
23.解：（1）设型新能源汽车的单价为万元，型新能源汽车的单价为万元，
依题意得：，解得，
答：型新能源汽车的单价为15万元，型新能源汽车的单价为20万元；
（2）设购进型新能源汽车辆，则购进型新能源汽车辆，全部销售后获得的利润为元，依题意得：，
，随的增大而增大，
又，，
当时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元，
此时（辆），
答：购进型新能源汽车6辆，型新能源汽车14辆时，全部销售后获得的利润最大，最大利润为172万元.
24.解：（1），，
画出函数的图象如图：
（2）根据函数图象正确的有①②
（3）不等式的解集为或.
25.（1）解：抛物线过点，
，，
（2）四边形是平行四边形.
理由：如图1，作交抛物线于点，垂足为，连接，.
图1
点在上，，，
连接，，，
，，
，
当时，，
，
，，，
轴，轴，，
四边形是平行四边形；
（3）的最小值为
26.（1）将线段绕点顺时针旋转到，
的平分线所在直线交折线于点，
又，
（2）；
如图所示，当时，
图2
平分，
，
，
，，
，，
，即
解得
（3）的值为或
