2023-2024年人教版八年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷
专题十三、平行四边形检测题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．平行四边形的对角线长为x、y，一边长为12，则x、y的值可能是( )
A.8和14 B.10和14 C.18和20 D.10和34
3．如图，中，E，F是对角线上两点，，，，则___________．
4．如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：
①；
②；
③；
④，
其中符合要求的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
5．如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（ ）
A．18 B．28 C． D．
6．如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕，，分别长，，，，则该正方形玻璃的边长为( )
A.5 B. C. D.6
7．如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
8．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为( )
A. B.4 C.4.5 D.5
9．如图，正方形与正方形（边长不等），B，C，F三点共线，连接交于M，连接交、、分别于N、P、Q，下面结论正确的有( )
①；
②；
③；
④.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为 ．
12．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为_________.
13．如图，在平行四边形中，，则_______°.
14．如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为 ．
15．四边形是正方形，点E是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线与直线交于点H，若，，则点F到的距离为___________.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在长方形ABCD中，，，，，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求DE的长.
17．（9分）在和中，，且点是的中点，将绕点旋转，与交于点．
(1)如图1，当点为的中点时，求的长度；
(2)如图2，若点刚好在的平分线上，求的长度；
(3)如图3，当在的上方，且时，求的长．
18．（8分）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，且，，求的长.
19．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小.
20．（8分）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；
【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
21．（9分）如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形.解答下列问题：
（1）如果，，
①当点D在线段上时（与点B不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为_________，数量关系为_________.
②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果，点D在线段上运动，试探究：当满足一个什么条件时，（点C、F重合除外）？并说明理由.
22．（12分）【感知】如图①，四边形、均为正方形.可知.
（1）【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且.求证：.
（2）【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上.若，，的面积为8，则菱形的面积为_____.
23．（13分）已知：E、F分别为正方形的边DC、BC上两点且.
（1）如图1，求证：.
（2）如图2，过E作于G，连接DG，求证：.
（3）如图3，连接EF，若，，则DE的长度为.（直接写出答案）
2023-2024年人教版八年级下期末备考攻略
知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷
专题十三、平行四边形检测题（解析版）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．平行四边形的对角线长为x、y，一边长为12，则x、y的值可能是( )
A.8和14 B.10和14 C.18和20 D.10和34
答案：C
解析：平行四边形的两条对角线的一半，和平行四边形的一边能够构成三角形，
∴、、6能组成三角形，令x>y
∴x-y<6
故选C.
3．如图，中，E，F是对角线上两点，，，，则___________．
【答案】/19度
【分析】设，由等腰三角形的性质和直角三角形得出，，则，推出，再由平行四边形的性质得出，得出方程，解方程即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
4．如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：
①；
②；
③；
④，
其中符合要求的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
答案：B
解析：①若，根据对角线相等的菱形是正方形即可得菱形是正方形，①符合要求；
②是菱形具有的性质，不能得出菱形是正方形，②不符合要求；
③，则，根据有一个角为直角的菱形是正方形可得菱形是正方形，③符合要求；
④若菱形是正方形，则，由，可得，故不能得出菱形是正方形，④不符合要求；
故符合要求的为①③，
故选：B.
5．如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（ ）
A．18 B．28 C． D．
【答案】D
【分析】过点B作，交的延长线于点，根据的最值分别得到，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用面积公式计算．
【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点，
当M运动到点D，N运动到点B时，最大，
∴，
当时，最小，
∴，
∴，
在菱形中，，设，
则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
6．如图为破裂的正方形玻璃，已知裂痕，，分别长，，，，则该正方形玻璃的边长为( )
A.5 B. C. D.6
答案：A
解析：过点D作线段延长线的垂线，垂足为H，连接.
，，
四边形是矩形.
，.
，
在中，，
设正方形玻璃的边长为x，则.
在中，，
即，
解得：.
即正方形玻璃的边长为.
故选：A.
7．如图，在矩形中，、相交于点O，平分交于点E，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：在矩形中，平分，
，，，
，
.
，，
，
又，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
.
故选：B.
8．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为( )
A. B.4 C.4.5 D.5
答案：D
解析：设，则，
，四边形为矩形，点为的中点，
，，
在中，，，，，
，即，解得：.
故选：D.
9．如图，正方形与正方形（边长不等），B，C，F三点共线，连接交于M，连接交、、分别于N、P、Q，下面结论正确的有( )
①；
②；
③；
④.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
答案：B
解析：四边形和四边形是正方形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，，故②正确；
在和中，
，
于不全等，
，
，
，
，故③不正确，
，
，，
，则，故④正确；
综上：正确的有①②④，共3个，
故选：B.
10．如图，菱形的边长为8，，点E，F分别是，边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接与相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接与相交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点O是菱形的中心，
连接，取中点M，连接，，则，为定长，
∵菱形的边长为8，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵M是的中点，
∴，
在Rt中，，
在Rt中，，
∵，
当A，M，G三点共线时，最小为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出，的值．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，点D、E、F分别是直角各边的中点，，、分别为，，则DF的长为 ．
【答案】4
【分析】由三角形中位线定理得到，由平行线的性质推出，由勾股定理求出即可．
【详解】解：点D、E、F分别是直角各边的中点，
，是的中位线，
，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，证明是解题的关键．
12．如图，四边形为正方形，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为点F，延长交线段于点P，若，则的长度为_________.
答案：2
解析：连接，如图所示，
四边形为正方形，
，，
点E是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
，，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
，解得，则的长度为2，
故答案为：2.
13．如图，在平行四边形中，，则_______°.
答案：
解析：四边形是平行四边形，
，
.
，
，，
故答案为：.
14．如图，在四边形中，点、分别是、边的中点，，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：连接，如图：
∵点、分别是、边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理，熟记三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．四边形是正方形，点E是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），直线与直线交于点H，若，，则点F到的距离为___________.
答案：
解析：四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
如图，过点F作于点N，过点C作于点M，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
点F到的距离，
故答案为：.
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）如图，在长方形ABCD中，，，，，将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，设DE与BC相交于点F.
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求DE的长.
答案：（1）是直角三角形，理由见解析
（2）
解析：（1）是直角三角形，
四边形ABCD是矩形，
，
将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处，
，
是直角三角形；
（2）将矩形纸片沿CD折叠，使点A落在点E处，
，
四边形ABCD是矩形，，
，
.
17．（9分）在和中，，且点是的中点，将绕点旋转，与交于点．
(1)如图1，当点为的中点时，求的长度；
(2)如图2，若点刚好在的平分线上，求的长度；
(3)如图3，当在的上方，且时，求的长．
【答案】(1)3
(2)3
(3)
【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求得答案；
（2）如图，连接，过点作于点，先证得与全等，得到，利用勾股定理得，求得的值为10，进而求出的值为4，设，根据勾股定理得，列出关于方程，解方程即可得出答案；
（3）如图，连接，由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，列出关于的方程，解方程可求出的值，再根据勾股定理得，即可得出答案．
【详解】（1）解：点是的中点，是的中点，
为的一条中位线．
．
（2）如图，
当点刚好在的平分线上时，
连接，过点作于点，
设，则，
．
又，
，
，
在中，，
，
在中，，
，解得，
∴当点刚好在的平分线上时，的长为3．
（3）如图，
当在的上方，且时，连接，
则垂直平分，
，
是的中点，，
，
设，则，，
在中，，
则，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了三角形中位线，角平分线，垂直平分线，全等三角形判定与性质及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，熟练掌握三角形中位线，角平分线，垂直平分线的性质和定理，灵活应用全等三角形判定与性质及勾股定理是解题关键．
18．（8分）如图，已知E、F分别是的边、上的点，且.
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，且，，求的长.
答案：（1）见解析
（2）5
解析：（1）证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形.
（2）如图，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
，
，
.
19．（8分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE.
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小.
答案：（1）证明见解析
（2）40°
解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB//CD.
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE//CD.
∴四边形BECD是平行四边形.
∴BD=EC.
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°.
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC丄BD.
∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°.
20．（8分）【操作一】如图①，作两条互相垂直的直线m、n交于点O；以点O为圆心、适当长为半径画弧，交直线m于点A、C；再以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，交直线n于点B、D；顺次连接 A、B、C、D．求证：四边形是菱形；
【操作二】如图②，取图①中菱形的各边中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H得到四边形，四边形称为四边形的中点四边形，若，，则四边形的面积为 ．
【答案】[操作一]见解析；[操作二]60
【分析】[操作一]根据作图过程得到，，证明四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证明菱形；
[操作二]根据菱形的性质和勾股定理得到，再根据三角形中位线定理证明出四边形是平行四边形，进一步得到四边形是矩形，从而利用面积公式计算即可．
【详解】解：[操作一]
由作图可知：，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
[操作二]
∵，
∴，
∴，即，
∵E、F分别是，中点，
∴，
同理：，，，，，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解中点四边形的定义，依据中位线定理证明矩形．
21．（9分）如图甲，在中，为锐角，点D为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形.解答下列问题：
（1）如果，，
①当点D在线段上时（与点B不重合），如图乙，线段、之间的位置关系为_________，数量关系为_________.
②当点D在线段的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果，点D在线段上运动，试探究：当满足一个什么条件时，（点C、F重合除外）？并说明理由.
答案：（1）①，
②成立，理由见解析
（2）当时，成立.理由见解析
解析：（1）①，；
理由：正方形中，，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
，即；
故答案为：，；
②成立.
理由：在等腰直角中，，，
在正方形中，，，
，
，
在与中
，
，
，，
在等腰直角中，，
，
，
；
（2）当时，成立.
理由：过点A作，交的延长线于点G，则，如图所示：
，
是等腰直角三角形，
，
在正方形ADEF中，，，
，
，
，
在与中
，
，
，
，
.
22．（12分）【感知】如图①，四边形、均为正方形.可知.
（1）【拓展】如图②，四边形、均为菱形，且.求证：.
（2）【应用】如图③，四边形、均为菱形，点E在边上，点G在延长线上.若，，的面积为8，则菱形的面积为_____.
（1）答案：拓展：见解析
解析：拓展：四边形、四边形均为菱形，
，，，.
，
.
，
即.
在和中，
，
，
.
（2）答案：应用：
解析：应用：四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
23．（13分）已知：E、F分别为正方形的边DC、BC上两点且.
（1）如图1，求证：.
（2）如图2，过E作于G，连接DG，求证：.
（3）如图3，连接EF，若，，则DE的长度为.（直接写出答案）
答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）
解析：（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
.
（2）延长与延长线交于点H，
，
，
，
，
在和中，
，
，即点D为的中点.
在中，
.
（3）过点A作交于点M，
在和中，
，
，，
在和中，
，
，
，即.
设，则，，
在等腰直角中，
，解得：，
.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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